лод. Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика

• Название: Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика
• Дата: 17.09.2019
• Размер: 7.21 Mb.
• Имя файла: [CHerkasov_R.S.,_Stolyar_A.A.]_Metodika_prepodavan(BookFi).doc
• Тип: Программа курса; #87048
• страница: 107 из 109

= arccos).

Очевидно, что составление уравнения — ведущая идея в решении задачи, геометрической по постановке. Однако прийти к такой мысли, по-видимому, непросто.

Задача 2. Доказать, что если0, то уравнение имеет корень на интервале

Решение. Рассмотрим левую часть уравнения как функцию от х:f (х) = Со + + С₁х + . . . + C_kx^k. Эта функция непре­рывна. Интегрируя ее в пределах от 0 до 1 и используя условие, получаем:






Отсюда следует, что на интервале ]0; 1[ функ­ция / (х) не может сохранять знак, поэтому она должна иметь на нем корень.

На этом примере мы сталкиваемся с ха­рактерной особенностью методики использо­вания задач при углубленном изучении ма­тематики — привлечением к решению средств, которые далеки от области, в которой сфор­мулирована исходная задача.

Задача 3. Доказать равносильность уравнений и

Решение. Прежде всего ясно, что числа 2 и 4 — корни данных уравнений. Рассмотрим функции, стоящие в левых частях уравнений. Легко проверить, что обе они выпуклые (рис. 78). Но график выпуклой функции пересекает любую прямую, в частности интересующую нас прямую у = х, не более чем в двух точках (если только он не содер­жит никакого отрезка, чего в данном случае нет). Следовательно, мно­жества корней данных уравнений совпадают с {2 ; 4}, т. е. уравнения равносильны.

Здесь к исследованию алгебраического вопроса приходится при­влекать «тонкое» аналитическое свойство функции — выпуклость.

Задача 4. Указать большее из чисел log₇ 8 и log₈ 9.

Решение. Представим данные числа как значения функции y=log_x(x+1). Очевидно, что log₇8 = у (7), log₈9 = у (8). Иссле­дование введенной функции с помощью производной (кстати, очень по­учительное) показывает, что она убывает. Следовательно, первое из данных чисел больше.

Этот пример иллюстрирует возможность применения исследования свойств функции к изучению числовой системы.

Приведенные примеры могут быть ориентированы на непосредствен­ное установление связей конкретных тем, что характерно для началь­ных этапов формирования представлений об этих связях. Последующие этапы требуют несколько иных типов учебных заданий, прежде всего сравнения различных методов решения одной и той же задачи, на­правленного поиска нескольких решений и сравнения их между собой.

Пример. Доказать, что сумма всех векторов с началом в центре правильного треугольника и концами в его вершинах равна нулю.

1-е решение. Повернем данный многоугольник на 2/k paдиан вокруг его центра. Сумма рассматриваемых векторов, с одной стороны, не изменится (потому что при таком повороте правильный многоугольник совместится сам с собой), а с другой — преобразуется в вектор той же длины, что и исходный, но повернутый относительно него на те же 2/k радиан. Следовательно, эта сумма равна нулю.

2-е решение. Оно состоит в доказательстве того, что рассмат­риваемые векторы можно переместить и составить из них контур но­вого (правильного) треугольника. Сумма векторов при этом будет рав­на нулю, потому что вдоль них совершается обход контура.

3-е решение. При соответствующем выборе системы коорди­нат данные векторы будут изображать корни k-й степени из единицы (относительно геометрического изображения поля комплексных чисел). Их сумма будет равна нулю как сумма корней уравнения по теореме Виета.

Легко видеть, что сопоставление первых двух решений влечет за собой организацию вокруг данной задачи обширного материала, свя­занного с перемещениями. Сопоставление первого и второго решений с третьим обнаруживает неожиданные связи комплексных чисел с гео­метрией. Теорема Виета получает на этом примере еще одно, геометри­ческое, применение.

Все приведенные примеры достаточно сложны. Не следует ду­мать, что связи разных тем и курсов надо выявлять лишь на таких примерах. На них они могут лишь закрепиться, превратившись в один из полезных методов анализа и решения задач. В процессе формирова­ния связей нужно, разумеется, рассматривать и простые упражнения. При этом основа рассмотрения связей может состоять в выяснении того, какие из решений в том или ином отношении проще.

Пример. Найти наибольшее значение функции у = х/2 + + cos²х на отрезке

1-е решение. Оба слагаемых в аналитическом выражении данной функции возрастают на области определения, следовательно, и их сумма возрастает и принимает наибольшее значение в точке х=.

2-е решение. Стандартное использование процедуры поиска наибольшего значения функции с помощью производной.

Ясно, что первое решение значительно рациональнее, но означает ли это, что оно проще? Оно основано на наблюдении, которое может и не сразу броситься в глаза. Когда же на решение отведено ограничен­ное время, то нет больших оснований искать такого рода остроумный подход, если заведомо известен метод, приводящий к успеху.

Сравнение различных решений задачи особенно уместно при за­ключительном повторении и подготовке к экзамену. Обычно оно проводится при разборе вариантов вступительных работ в вузы.

7) Отражение истории и методологии математики. Математика имеет богатую историю и продолжает интенсивно развиваться. В про­цессе изучения математики это нужно в достаточной мере учитывать. Рассмотрение отдельных вопросов истории, указание на принципиаль­ные компоненты структуры и приложений изучаемых понятий очень оживляют уроки и выполняют важные воспитательные функции, фор­мируя мировоззрение учащихся.

Мы говорим только об отдельных вопросах не случайно. По-види­мому, организация более или менее обширной системы изучения историко-методологического материала не даст положительного эффек­та. Для нее курс математики, в математических классах недостаточно глубок, в нем по понятным причинам уделяется большее внимание изучению конкретных понятий, методов, приемов, нежели их историко-методологическому осмыслению.

Наиболее целесообразно в этой связи освещать те вопросы, которые естественно напрашиваются при изучении материала. Подобных мест в курсе очень много. Инициатива в выделении тех из них, с которыми можно связать историко-методологические отступления, всецело при­надлежит учителю. Однако мимо некоторых вопросов нельзя пройти ни при каких условиях. К их числу принадлежат, например, проис­хождение аксиоматического метода и его роль в математике, связь между математикой и естествознанием, происхождение основных ма­тематических понятий (функция, алгебраическая операция, отдель­ные числовые системы, некоторые классы функций, предел, непрерыв­ность, дифференцирование и интегрирование и т. д.).

Источники, из которых учитель может заимствовать подобный ма­териал, многочисленны и разнообразны: статьи в журналах «Матема­тика в школе» и «Квант», посвященные истории математики и общим вопросам, курсы истории математики, наконец, книги по популярной математике, классическим образцом которых является «Что такое математика» Р. Куранта и Г. Роббинса, выпущенные к настоящему времени 5 томов «Энциклопедии элементарной математики» и многие другие.

8) Специфика системы учебных заданий. Система учебных заданий при углубленном изучении математики была уже в основном охаракте­ризована выше (см. п. 1.3, с. 301—306). Необходимо отметить, что особую роль выполняют задания для развития творческих способно­стей ребят. Работа в этом направлении связана с преодолением значи­тельных трудностей, так как общая математическая культура школь­ников все же недостаточно высока. Следует всячески поощрять стрем­ление учеников к творчеству, возникающее в результате напряжен­ного изучения тех вопросов, которые вызвали у них повышенный интерес.

Наибольшие трудности связаны с отбором заданий, которые были бы одновременно посильны ученикам и требовали бы от них по-настоя­щему творческого подхода к выполнению, т. е. были бы в каком-то отношении новыми. Нередко сами ученики задают вопросы, на кото­рые учителю трудно ответить сразу, но которые заключают в себе возможности поиска. В таких случаях уместно поощрять учеников к са­мостоятельному исследованию. Одна из стандартных ситуаций, в ко­торых возникают подобные вопросы, — рассмотрение свойств и при­знаков в их взаимной связи. Часто, например, свойство доказывается несложными рассуждениями, а признак может оказаться трудно доказуемым. Например, известно такое свойство дуги окружности: если пересечь ее парой параллельных прямых, то дуги, заключенные между этими прямыми, будут равны (рис. 79). В связи с этим утверждением естественно возникает такой во­прос: пусть Г — ограниченная выпуклая линия, в каждой точке которой существу­ет касательная. Пусть выполняется свой­ство: «Части кривой Г, заключенные меж­ду любой парой параллельных прямых, равны по длине». Верно ли, что Г— дуга окружности?

Это очень трудная задача. К ней уча­щиеся могут прийти и самостоятельно, и под руководством учителя. Поиск решения предполагает прочное владение понятием производной и ее геометрическим смыслом. Приведем набросок решения. Заметим, что дуга окружности обладает следую­щим характеристическим свойством: «Углы, образованные хордой и касательными к ду­ге в точках, служащих концами хорды, равны» (рис. 80). Можно показать, что в условиях задачи это свойство выполняет­ся. Действительно, пусть АВ—хорда Г и r— прямая, параллельная (АВ). Рассмотрим касательные к Г в точках А и В. Они наклонены к (АВ) под одним и тем же углом, потому что длины отрезков касательных и соответствующих дуг АС и BD — экви­валентные бесконечно малые при р ((АВ), г), стремящемся к нулю. Ценным источником творческих заданий могут служить задачи, систематически публикуемые в журнале «Квант». Много полезного учитель сможет почерпнуть из раздела задач журнала «Математика в школе». Но следует подчеркнуть, что для развития творческих спо­собностей учащихся, привития смелости в обращении с материалом наиболее ценны, по-видимому, задачи, которые возникают естествен­ным образом в процессе изучения математики в классе или при само­стоятельных занятиях.

Может сложиться впечатление, что первостепенную роль следует придавать только тем формам работы, которые развивают математи­ческие способности учащихся и углубляют владение материалом. В действительности это не так. Акцентирование указанных форм ра­боты может даже пагубно сказаться на успешности обучения в ма­тематическом классе. Не меньшее значение должно придаваться при­витию ученикам прочных навыков выполнения преобразования ал­гебраических выражений, аккуратной записи решений уравнений и различных задач, например стереометрических задач на вычисление. Необходима работа и по формированию навыков вычислений с доста­точно громоздкими числовыми данными.

Из опыта работы в математических классах известно, что значи­тельная часть ошибок допускается учащимися по невнимательности при выполнении вычислительной части задания: даже сильный ученик может неверно вычислить, например, значение интеграла или не­верно записать множество решений простейшего тригонометрического уравнения. Поэтому важно объяснять ученикам, что лишь твердое владение вычислительными процедурами может обеспечить дальней­шее продвижение в математике. Необходимо указывать и на соответ­ствующие требования, предъявляемые на вступительных экзаменах в вузы.

Рассмотренные в этом очерке вопросы обучения математике в математических классах — небольшая часть проблем, с которыми учи­тель столкнется, приступая к работе в таком классе. В заключение мы хотим предостеречь начинающего учителя от распространенной пе­дагогической ошибки, которая может существенно осложнить его ра­боту. Первые уроки во вновь набранном классе нередко приводят к представлению о значительно более высоком уровне математического развития учеников, чем это выясняется в дальнейшем. Под влиянием этого впечатления учитель рискует взять слишком высокий темп изучения материала или предъявить к ученикам слишком высокие тре­бования. Надо сказать, что ученики и сами подчас дают повод для такого мнения — многим подросткам свойственно преувеличивать свои возможности. В этих условиях учитель не должен идти на поводу у учеников. Следует доказать им необходимость достаточно медленного (с их точки зрения) продвижения — убедить на примерах тех оши­бок, которые допускаются ими в работах. Для тех же учащихся, ко­торые показывают действительно хорошее знание предмета, целесо­образно разработать индивидуальные задания, не снижая вместе с тем требовательности к ним в выполнении всего комплекса учебной работы.