лод. Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика

• Название: Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика
• Дата: 17.09.2019
• Размер: 7.21 Mb.
• Имя файла: [CHerkasov_R.S.,_Stolyar_A.A.]_Metodika_prepodavan(BookFi).doc
• Тип: Программа курса; #87048
• страница: 5 из 109

§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
1.1. Термин «понятие» обычно применяется для обозначения мысленного образа некоторого класса вещей, процессов, отношений объективной реальности или нашего сознания.

Математические понятия отражают в нашем мышлении определен­ные формы и отношения действительности, абстрагированные от ре­альных ситуаций.

Каждое понятие объединяет в себе класс объектов (вещей, отно­шений) — объем этого понятия — и характеристическое свойство, присущее всем объектам этого класса, и только им, — содержание этого понятия. Например, понятие «треугольник» соединяет в себе класс всевозможных треугольников (объем этого понятия) и характе­ристическое свойство — наличие трех сторон, трех вершин, трех уг­лов (содержание понятия); понятие «уравнение» соединяет в себе класс всевозможных уравнений (объем понятия) и характеристическое свойство — равенство, содержащее одну или несколько переменных (содержание понятия).

Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем — с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимо­связанных понятий.

1.2. Формирование понятий — сложный психологический про­цесс, начинающийся с образования простейших форм познания — ощущений — и протекающий часто по следующей схеме: ощущения — восприятие — представление — понятие.

Обычно разделяют этот процесс на две ступени: чувствен­ную, состоящую в образовании ощущений, восприятия и представ­ления, и логическую, заключающуюся в переходе от представ­ления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования.

Чувственная ступень в процессе формирования понятий соответ­ствует первому этапу пути познания вообще, т. е. «живому созерца­нию», и поэтому ее осуществление требует широкого применения наглядности. Если ученику никогда не показывали модель куба или предметы, имеющие форму куба, то у него не может образоваться представления, а следовательно, и понятия куба.

Процесс формирования понятий будет эффективным, если он ориен­тирует учащихся на обобщение и абстрагирование существенных признаков (характеристического свойства) формируемого понятия.

Рассмотрим процесс формирования понятий на примере понятия куба.

Детям (6—7лет) показывают много предметов, отличающихся фор­мой, размерами, окраской, материалом, из которого они сделаны, причем таких, что одни из них имеют форму куба, а другие нет. Де­ти, после того как им показывают на одно из этих тел и говорят, что то куб, безошибочно отбирают все те тела, которые имеют такую же форму, пренебрегая различиями, касающимися размера, окраски, материала. Здесь выделение из класса предметов подкласса, отождествление тел производится по одному еще недостаточно проанали­зированному признаку — внешней форме. Дети еще не знают свойств куба, они распознают его только по форме.

Дальнейшая работа по формированию понятия куба состоит в анализе этой формы с целью выяснения ее свойств. Учащимся предлагают путем наблюдения найти, что есть общего у всех отобранных тел, имеющих форму куба, чем они отличаются от остальных. Уста­навливается, что у каждого куба 8 вершин, 6 граней. Но у некото­рых тел, которые мы не отнесли к кубам, тоже 8 вершин и 6 граней. Оказывается, у куба все грани — квадраты (эта работа обычно про­водится после аналогичной работы по выделению класса квадратов из множества плоских фигур).

Остается один шаг к образованию понятия куба— переход от представления к понятию путем абстрагирования, т. е. отделения об­щих свойств от прочих, несущественных. Разумеется, на начальном этапе обучения нельзя еще говорить о полном абстрагировании этих свойств, у детей еще не образовывается понятие куба в чистом виде, они еще не определяют куб и противопоставляют его прямоугольному параллелепипеду с различными измерениями. В дальнейшем же, когда будет сконструирована логически упорядоченная система гео­метрических понятий (в рамках систематического курса геометрии), учащиеся узнают, что куб — это вид прямоугольного параллелепи­педа. В этом — диалектика развития понятий.

Приведенный пример показывает, что процесс формирования по­нятий, как правило, длительный процесс, способствующий развитию обобщающей и абстрагирующей деятельности учащихся.

Однако формирование математических понятий не всегда протека­ет по приведенной выше схеме, начинающейся с ощущений. В частно­сти, когда формируемое понятие связано, в той или иной форме, с ка­тегорией бесконечности (как, например, понятия прямой, плоскости, плотности множества рациональных чисел, предела и др.), то чув­ственная ступень играет меньшую роль, так как мы не в состоянии воспринимать бесконечное (ни в какой форме), и наглядность из средства, способствующего формированию понятия, иногда становит­ся тормозящим фактором.

Например, бесконечность множества рациональных чисел, лежа­щих между любыми двумя рациональными числами, не подкрепляет­ся, а, наоборот, «опровергается» конкретным восприятием конечного отрезка, содержащего это множество. Свойство плотности множества рациональных чисел нельзя обнаружить опытным путем, оно не под­тверждается наглядными геометрическими представлениями, а уста­навливается логически. Этот и другие многочисленные примеры под­тверждают выводы наших психологов о том, что восприятие нагляд­ного материала в силу объективных особенностей этого материала может играть не только положительную, но и отрицательную роль.

1.3. Заключительным этапом формирования понятия, как пра­вило, является его определение.

В математике и в обучении математике применяются различные способы определения понятий.

Наиболее часто, особенно в обучении геометрии, встречается оп­ределение «через ближайший род и видовое отличие».

Примером такого определения является следующее:

Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом.

Как видно, это определение состоит из двух частей: «прямоуголь­ник» — определяемое понятие и «параллелограмм с прямым углом»— определяющее понятие. Связка «есть» (иногда вместо «прямоугольник ч:ть » говорят «прямоугольником называется...») означает здесь, что термин «прямоугольник» (вновь введенный) обозначает то же по­нятие, что и выражение «параллелограмм с прямым углом», состав­ленное из ранее уже известных терминов («параллелограмм», «прямой угол»).

Анализируя определяющее понятие «параллелограмм с прямым углом», выделяем понятие «параллелограмм» (ближайший род) и свойство «наличие прямого угла» (видовое отличие). Название «бли­жайший род» оправдано тем, что не выделено другое понятие, объем которого включается в множество параллелограммов и включает множество прямоугольников. Если бы мы определили прямоугольник как четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и имеется прямой угол, то мы получили бы, как видно, более громоздкое определение именно потому, что понятие «четырех­угольник» не является ближайшим родом для прямоугольника (имеет­ся понятие «параллелограмм», объем которого включается в множе­ство четырехугольников и включает множество прямоугольников), и поэтому усложнилось характеристическое свойство (видовое от­личие).

Общая схема определения «через ближайший род и видовое отли­чие» может быть записана на языке множеств (классов):



(класс В состоит из объектов х, принадлежащих А — ближайшему роду — и обладающих свойством Р — видовым отличием) или на языке свойств:



(объект х обладает свойством В тогда и только тогда, когда обладает свойством А и свойством Р).

В нашем примере В — определяемый класс прямоугольников (или свойство «быть прямоугольником»), А — класс параллелограм­мов (или свойство «быть параллелограммом»), Р — свойство «нали­чие прямого угла».

Такое определение является явным определением, в котором четко (явно) выделены определяемое и определяющее понятия. Оно позволяет нам заменить при необходимости одно понятие другим. Очень часто такой заменой пользуемся в доказательствах теорем.

Однако не все математические понятия могут определяться таким образом. Процесс формально-логического определения, как видно из приведенного выше примера, есть процесс сведения одного понятия к другому, с более широким объемом, второго — к третьему, с еще более широким объемом, и т. д. Процесс сведения не может быть бес­конечным. Должны быть некоторые исходные, первоначальные понятия, которые неопределяемы через другие понятия данной теории, так как им не предшествуют никакие другие понятия этой тео­рии.

В процессе обучения должны создаваться такие педагогические ситуации, которые помогли бы учащимся открыть характерную осо­бенность системы математических понятий, связанную с дедуктивным построением теории. Для этой цели можно использовать различный конкретный материал. Например, можно построить такую последова­тельность определений:

O₁: квадрат — ромб с прямым углом;

О₂: ромб — параллелограмм с равными смежными сторонами;

О₃: параллелограмм — четырехугольник, у которого противопо­ложные стороны попарно параллельны;

О₄: четырехугольник — многоугольник с четырьмя сторонами;

О₅: многоугольник — фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией;

О₆: фигура — множество точек.

Как видно, этот процесс сведения одних понятий к другим доходит до понятий «множество» и «точка», которые принимаются за перво­начальные и именно поэтому не определяются через другие по­нятия.

Итак, первоначальные, исходные понятия не определяются явным образом через другие понятия данной теории. Это, однако, не означа­ет, что они никак не определяются. В аксиомах выражаются основные свойства исходных понятий и отношений между ними, которыми пользуются при развертывании теории на базе этих аксиом, т. е. при доказательстве теорем и определении других (определяемых) по­нятий. Поэтому системы аксиом можно рассматривать как неявные, косвенные определения исходных понятий. Таким образом, когда говорят, например, что понятия «точка» и «прямая» — исходные понятия и поэтому не определяются, надо это понимать точнее: «не определяются явно через другие понятия».

Один и тот же раздел школьного курса математики может строить­ся с помощью различных систем понятий, различающихся между со­бой порядком введения понятий или самими понятиями. Выбор ис­ходных понятий не определяет однозначно последовательность изучения понятий системы. Система понятий оказывается лишь ча­стично упорядоченной. Например, в традиционной системе понятий стереометрии такие понятия, как «угол скрещивающихся прямых» и «перпендикулярность прямых и плоскостей», могут изучаться в любом порядке. В учебнике А. П. Киселева угол скрещивающихся прямых изучался после перпендикулярности и поэтому перпендикулярность прямых в пространстве, признак перпендикулярности прямой и пло­скости, теорема о трех перпендикулярах формировались лишь в ча­стных случаях. В результате такого расположения материала уча­щиеся изучали теорему о трех перпендикулярах лишь для случая, когда прямая на плоскости проходит через основание наклонной, и не могли видеть ее применение в задачах, где прямая на плоскости не проходит через основание наклонной. В большинстве же случаев именно такая ситуация наблюдается в задачах.

Об определении не имеет смысла говорить, истинно оно или ложно. Определение может быть правильным (корректным) или неправильным (некорректным) в зависимости от того, удовлетворяет оно или нет определенным требованиям.

Важнейшим требованием, предъявляемым к определениям, явля­ется отсутствие порочного круга. Нарушение этого требования проявляется в том, что определяемое содержится (явно или неявно) в определяющем. Например, фразы: «Решение уравнения — это то число, которое является его решением», «Подобными называются фигуры, которые между собой подобны» — не могут служить определениями решения уравнения и подобных фигур со­ответственно, так как в каждом из этих предложений содержится порочный круг.

Порочный круг может относиться не к отдельному определению, а к двум или нескольким определениям. Например, в двух определе­ниях: «Угол называется прямым, если его стороны взаимно перпенди­кулярны» и «Две прямые взаимно перпендикулярны, если они обра­зуют прямой угол» — имеется порочный круг, так как в одном поня­тие прямого угла определяется через перпендикулярные прямые, а в другом это второе понятие определяется через первое.

Другое важное требование, выполнение которого необходимо для корректности определения, — это отсутствие омонимии: каждый термин (символ) должен встретиться не более одного раза в качестве определяемого. Нарушение этого требования приводит к тому, что один и тот же термин (символ) обозначает различные поня­тия, т. е. нарушается один из принципов употребления символов или терминов в качестве имен.

1.4. Определенные языковые выражения (символы искусственного языка или термины, слова или группы слов естественного языка) вы­полняют функцию обозначения. Они сопоставляются определенным классам объектов (вещей, отношений) или их мысленным образам (понятиям) в качестве названий, имен.

Связь имен с их значениями (с обозначаемыми ими объектами) отражает связь мышления с речью. Формирование понятий возможно лишь при условии их именования, т. е. приписывания им определен­ных имен. Поэтому важно напомнить принципы корректного употреб­ления имен.

1) Принцип предметности: предложение говорит о предметах, имена которых встречаются в этом предложении (а не об их именах). Например, предложение «3 < 5» говорит о том, что чис­ло, обозначенное цифрой 3, меньше числа, обозначенного цифрой 5, т. е. говорит о числах, а не об их именах, встречающихся в этом пред­ложении; предложение «Треугольник — многоугольник» говорит о том, что класс объектов, обозначаемых термином «треугольник», яв­ляется подклассом класса объектов, обозначаемых термином «много­угольник», т. е. говорит об объектах, имена которых встречаются в этом предложении, а не о самих этих именах.

2) Принцип однозначности: каждый символ (тер­мин), используемый в качестве имени, обозначает не более одного объекта, иными словами, каждое имя имеет не более одного значения.

Почему не говорим, что каждое имя имеет точно одно значение, а говорим: «не более одного значения»? Например, утверждая, что число а нельзя делить на 0, мы не утверждаем, что невозможна за­пись «а : 0»; эта запись столь же допустима, как, например, запись «а : 2». Утверждается лишь отсутствие объекта, имя которого есть языковое выражение «а : 0», т. е. это выражение не является именем какого-либо числа, или это имя без значения.

Нарушение принципа однозначности имеет серьезные последствия, особенно в обучении, так как это означает применение имен с более чем одним значением, приводящее к путанице и смещению понятий.

Примером такого нарушения является применение символа «АВ» для обозначения следующих объектов: прямой, проходящей через точки А и В; отрезка с концами А и В; длины отрезка АВ; луча с на­чалом А, содержащего точку В; вектора с началом А и концом В. В предложениях, записанных на естественном языке, можно избе­жать разночтения, применяя наряду с символом «АВ» название обо­значаемого объекта («прямая АВ», «отрезок АВ», «длина отрезка АВ», «луч АВ», «вектор АВ»). Однако это не годится при символических записях (не будем же писать, например, «прямая АВ