лод. Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика

• Название: Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика
• Дата: 17.09.2019
• Размер: 7.21 Mb.
• Имя файла: [CHerkasov_R.S.,_Stolyar_A.A.]_Metodika_prepodavan(BookFi).doc
• Тип: Программа курса; #87048
• страница: 51 из 109

Мы получили теперь множество предложений



Возникает задача, аналогичная той, которую решили для M₁ т. е. найти такую систему исходных предложений, среди следствий которых находились бы все предложения из М₂.

Возьмем, например, системуисходных предложений для M₁ и присоединим к ней предложение p₁₀. Иными словами, при­мем систему исходных предложений Так как из A₁ следуют все предложения из М₁ то остается доказать, что из А₂ следует каждое из предложений р₁₁-p₁₅. Легко заметить, что



так как всякие симметричные фи­гуры равны.





(Каждое из перечисленных следо­ваний представляет собой задачу на доказательство.)

Итак, множество А₂ = {p₃,p₈,p₁₀) годится в качестве системы исходных предложений (посылок) Для доказательства всех осталь­ных предложений из М₂. Полу­ченная дедуктивная структура (по­рожденная выбором исходных пред­ложений А₂ и отношением следова­ния) изображена на рисунке 19.

Если проанализировать дока­зательства предложений р₁₁-p₁₅ (которые мы опустили), то легко обнаружить, что в них используются,

свойства изучаемого объекта, очень часто требует анализа того, что уже известно о нем.

В математике, чаще всего, под анализом понимают рассуждение в «обратном направлении», т. е. от неизвестного, от того, что необхо­димо найти, к известному, к тому, что уже найдено или дано, от того, что необходимо доказать, к тому, что уже доказано или принято за истинное.

В таком понимании, наиболее важном для обучения, анализ яв­ляется средством поиска решения, доказательства, хотя в большин­стве случаев сам по себе решением, доказательством еще не является.

Синтез, опираясь на данные, полученные в ходе анализа, дает решение задачи или доказательство теоремы.

Мы ограничимся этим пониманием анализа и синтеза.

7.2. Анализ лежит в основе весьма общего подхода к решению задач (имеется в виду нестандартных задач, для которых нет соот­ветствующего алгоритма), известного под названием сведения (ре­дукции) задачи к совокупности подзадач.

Идея такого подхода состоит именно в свойственном для анализа «размышлении в обратном направлении» от задачи, которую пред­стоит решить, к подзадачам, затем от этих подзадач к подподзадачам и т. д., пока исходная задача не будет сведена к набору элемен­тарных задач. Что же понимают под «элементарными задачами»? Это, во-первых, задачи, решаемые за один шаг поиска, во-вторых, более сложные задачи (т. е. не решаемые за один шаг поиска), реше­ние которых уже известно из имеющегося опыта решения задач.

Из такого понимания элементарной задачи следует, что чем боль­ший опыт решения задач, тем больше задач становятся для нас «эле­ментарными» в упомянутом выше смысле, а следовательно, тем мень­ше объем поиска при решении новых задач, их сведения к элемен­тарным, так как цель поиска состоит в получении элементарных задач, останавливающих процесс поиска.

Рассмотрим пример применения описанного подхода к решению задачи на доказательство: «Если через точку вне окружности прове­сти секущую и касательную, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной».

Обозначим для краткости через Р условие: — касательная, С — точка касания; — секущая,— ее внешняя часть; через Q — заключение: (рис. 20).

Во введенных обозначениях задача запишется так:



где Г — совокупность уже известных истинных предложений гео­метрии.

Доказываемое равенство непосредственно из ранее известного получить как будто нельзя. Нельзя ли это равенство несколько пре­образовать? Его можно представить в виде пропорции



кроме исходных предложений из А2, ранее уже изученные геометри­ческие факты, например определения и свойства осевой и центральной симметрии, равенства фигур.

Как видно, мы построили маленькую теорию, описывающую фигу­ру, изображенную на рисунке 16, в (равнобедренный треугольник), в рамках «большой» геометрической теории, кусок которой (некоторые аксиомы, определения и теоремы) мы уже знали и использовали.

Для множества предложений М₂ (так же как для М₁ или М) мож­но, разумеется, выбрать различные системы исходных предложений. Наряду с А₂ можно выбрать, например, А₃ = {р₃, р₅, р₁₂} или А₄ = {р₃, р₅, р₇, р₁₀}, А₅ = {р₃, р₅, р₁₁}, А₆ = {р₁₅} и др.

Важно заметить, что каждая система определяет вариант «теории равнобедренного треугольника» и соответствующий вариант опреде­ления: треугольник равнобедренный, если

(А₂) две вершины симметричны относительно прямой, проходящей через третью вершину, или

(А₃) две стороны симметричны относительно прямой, на которой лежит медиана, опущенная на третью сторону, или

(А₄) медиана и высота, опущенные из одной вершины, совпадают, или

(А₅) две стороны равны, или

(А₆) имеется ось симметрии и др.

Все эти определения с логической точки зрения равносильны, так как они определяют один и тот же класс фигур. Обычно в школь­ных учебниках выбирается определение, соответствующее А₅. Этот выбор уже связан не с логическими, а с дидактическими соображения­ми (равенство двух сторон — свойство наглядное, поэтому оно и при­нимается за определяющее, исходное для построения теории).

Иллюстрированная приведенным примером обобщенная схема (1) применения дедукции в обучении математике, как и любой другой метод обучения, не является универсальной.

Выбор темы, учебного материала, к изучению которого целесо­образно применить описанный, как и вообще тот или иной метод обу­чения, представляет собой сложную педагогическую проблему, для решения которой требуется глубокий анализ подлежащего изучению материала.