лод. Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика

• Название: Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика
• Дата: 17.09.2019
• Размер: 7.21 Mb.
• Имя файла: [CHerkasov_R.S.,_Stolyar_A.A.]_Metodika_prepodavan(BookFi).doc
• Тип: Программа курса; #87048
• страница: 70 из 109

— иррациональное число».

Умение рассуждать включает в себя и умение оценивать истин­ность или ложность высказываний, правильно составлять сложные высказывания и суждения, т. е. логически правильно употреблять союзы «и», «или», отрицание «не». Обучение вер­ному применению этих связок помогает воспитанию у учащихся мате­матически грамотной речи, а мышление, как известно, связано с язы­ком, речью человека.

Пример 5. Верны или неверны следующие формулировки:

1) Число 4 удовлетворяет неравенству х < 8 и неравенству х > 2,5. 2) Не все простые числа нечетные. 3) Число 0,5 удовлетво­ряет неравенству: а) х < 0,5; б) х < 0,5; в) л;>0,5; г) х >0,5?

Полезно научить школьников верно формулировать отрицания тех или иных предложений. Такое умение особенно важно при ре­шении задач сведением к противоречию.

Существенно для развития математического мышления учащихся формирование умений правильно выделять посылки и заключения. Такие умения формируются обычно при решении задач на доказатель­ство. На первых же порах необходимы упражнения в расчленении некоторых предложений на посылки и заключения.

Пример 6. Выделите в следующих предложениях условие и заключение: 1) «Сумма двух четных чисел — четное число»; 2) «Вер­тикальные углы равны»; 3) «Произведение любых трех последователь­ных натуральных чисел делится на 6»; 4) «Расстояние между центра­ми двух касающихся окружностей равно сумме длин радиусов этих окружностей».

Отсюда прямой путь к верному построению импликаций и эквиваленций, т. е. к правильным, четким формулировкам математических предложений.

3) Задачи, активизирующие мыслительную деятельность уча­щихся. Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач. Следовательно, необходимы матема­тические задачи и упражнения, которые бы активизировали мысли­тельную деятельность школьников. А. Ф. Эсаулов [26] подразделяет задачи на следующие виды: задачи, рассчитанные на воспроизведение (при их решении опираются на память и внимание); задачи, ре­шение которых приводит к новой, неизвестной до этого мысли, идее; творческие задачи. Активизирует и развивает мышление учащихся решение задач двух последних видов. Рассмотрим некоторые из них.

а) Задачи и упражнения, включающие эле­менты исследования. Простейшие исследования при ре­шении задач следует предлагать уже с первых уроков алгебры и гео­метрии и даже на уроках математики в IV—V классах. Например:

1. Существуют ли числа, обратные самим себе? Сколько таких чисел? Назовите их.

2.При каких значениях а и b верны: а) равенства б) неравенства

3. Установите вид треугольника (классифицируя по углам), если один из его внутренних углов: 1) равен сумме двух других; 2) боль­ше ее; 3) меньше ее.

В последующих классах следует предлагать не только задачи с элементами исследований, но и задачи, включающие исследование в качестве обязательной составной части. Такие исследования необ­ходимо включаются в решение многих геометрических задач на по­строение (как в планиметрии, так и в стереометрии), уравнений и неравенств (особенно тригонометрических, показательных и логариф­мических с параметрами) и др. Задачи и упражнения с выполнением некоторых исследований могут найти свое место во всех разделах школьного курса математики, например при изучении действительных чисел в IX классе.

4. Все десятичные приближения по недостатку к действительному числуначиная с некоторого, совпадают. Рациональным или ирра­циональным является число

И конечно же, исследования находят широкое применение при изучении функций и их свойств в курсе алгебры и начал анализа.

б) Задачи на доказательство (см. 3).) доказывают существенное влияние на развитие мышления учащихся. Именно при выполнении доказательств оттачивается логическое мышление уче­ников, разрабатываются логические схемы решения задач, возникает потребность учащихся в обосновании математических фактов.

в) Задачи и упражнения в отыскании оши­бок также играют значительную роль в развитии математического мышления учащихся. Такие задачи приучают обращать внимание на особо тонкие места в логических рассуждениях, помогают различать во многом сходные понятия, приучают к точности суждений и матема­тической строгости и т. д. Первые упражнения в отысканий ошибок должны быть несложными, например:

5. Ученик выполнил сокращение дроби так: перечеркнул в числителеа в знаменателе _у, написав надбукву у затем перечеркнул — 4 и 2, записав над — 4 число — 2.

Правильно ли выполнено сокра­щение? Объясните.

Задачи в отыскании ошибок сле­дует постепенно усложнять. К чис­лу таких задач относится и отыс­кание ошибок, допущенных в изве­стных математических софизмах. Разбор софизмов прививает навы­ки правильного мышления. Обна­ружить ошибку в софизме —зна­чит осознать ее, а осознание ошиб­ки предупреждает от ее повторения в других рассуждениях. Разбор софизмов развивает наблюдательность, вдумчивое и критическое отношение к изучаемому, воспитывает у учащихся критичность мышления. Математические софизмы приучают тщательно следить за точностью формулировок, правильностью за­писей и чертежей при решении задач, за допустимостью обобщений и т. д. К тому же разбор софизмов увлекателен. Примеры софизмов:

6.Имеем верное числовое равенство 16 — 36 = 25 — 45, отсюда

или

. В чем заключается ошибка?

7. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC как на диаметрах по­строим полуокружности (рис. 30), пересекающиеся со стороной АС в точках Е и D., т. е.

Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.

В чем заключается ошибка?

Другие софизмы можно найти в литературе для учащихся, на­пример в [15].

г) Занимательные задачи. Интерес к математике должен быть следствием прежде всего увлекательности самой мате­матики, ее логического построения, практических применений. Но на уроках математики нужны хотя и несложные, но занимательные, требующие смекалки и сообразительности задачи и упражнения, ко­торые оживили бы уроки. Особенно полезны занимательные задачи на уроках математики в восьмилетней школе.

8. Как с помощью одного знака неравенства записать, что число а больше —2, но меньше 2?

9. Даны точки А и В. Как с помощью циркуля и линейки прове­сти через эти точки прямую, если линейка короче расстояния между ними?

Много занимательных задач в уже указанной книге Ф. Ф. Наги­бина и Е. С. Канина [15], в книге Б. А. Кордемского [12].

д) Отыскание различных вариантов реше­ния и выбор лучшего из них.

Психологи установили, что решение одной задачи несколькими способами приносит больше пользы, чем решение подряд нескольких стереотипных задач. Рассмотрение учеником различных вариантов решения, умение выбрать из них наи­более рациональные, простые, изящ­ные свидетельствуют об умении уче­ника мыслить, рассуждать, проводить правильные умозаключения. Различ­ные варианты решения одной задачи дают возможность ученику применять весь арсенал его математических зна­ний. Таким образом, рассмотрение различных вариантов решения зада­чи воспитывает у учащихся гибкость мышления. Поиск рационального ва­рианта решения лишь на первых порах требует дополнительных за­трат времени на решение задачи. В дальнейшем эти затраты с лих­вой окупаются.

10. Задачу, рассмотренную в примере 2 (с. 155), можно решать различными способами. Так, можно доказать, что диагонали равно­бедренной трапеции равны, а затем рассматривать(по трем сторонам) (рис. 31). Можно опустить на AD перпендикуляры BF и СЕ, доказать, что BF = СЕ иНо приведенное в примере 2 решение более просто, рационально.

11. При решении системы уравнений



можно привести уравнения к общему знаменателю, а затем решать систему уравнений второго порядка, т. е. следовать общему алгорит­му решения таких систем. Однако наблюдательный ученик заметит, что при вычитании первого уравнения из второгоисключаются, а из полученного уравнения легко (практически устно) нахо­дится значение v. Ясно, что второй способ изящней и короче первого.

Надо отметить, что рациональные приемы решения не появляются сами, по одному только желанию. Рациональным способам решений надо обучать. Один из путей обучения и есть решение задач несколь­кими способами, выбор лучшего из них.

Вообще же полезно хотя бы знакомить учащихся с различными подходами к решению наиболее распространенных задач. Приведем пример.

Один из заключительных уроков геометрии в VIII классе учитель начал с простейшей задачи: разделить данный отрезок пополам. К огорчению учителя и учеников, обнаружилось, что полный набор чертежных инструментов имеют только 6 человек, а у некоторых учеников вообще не оказалось никакого инструмента. Тогда учитель предложил каждому решить задачу, применяя тот инструмент, кото­рый у него имеется, а тем, у кого не было инструмента, использовать

прямой угол из плотной бумаги (тетрадный лист сложили по осям симметрии в 4 слоя) или его половину — угол в 45°.

В результате на уроке были рассмотрены 8 вариантов решения с помощью: а) циркуля и линейки; б) прямого угла; в) двусторонней линейки; г) чертежных угольников; д) угла величиной 45°; е) угла в 30°; ж) острого угла и односторонней линейки; з) транспортира и односторонней линейки. Польза такого обсуждения задачи несомненна, е) Составление задач учащимися. Сознательное изучение математики и развитие мышления учащихся стимулируется самостоятельным составлением (конструированием) математических задач. При этом, во-первых, воспитывается самостоятельность (школь­ники оперируют изученными и изучаемыми объектами и фактами ма­тематики, т. е. рассматривают и оценивают свойства, различия и ха­рактерные особенности этих объектов); во-вторых, развивается твор­ческая мыслительная активность учеников.

Конструирование задач учениками заставляет их использовать больший объем информации, применять рассуждения, обратные при­меняемым при обычном решении задач. Следовательно, при состав­лении задачи ученик применяет логические средства, отличные от тех, с помощью которых решаются обычные задачи, открывает новые связи между математическими объектами. Это развивает их мышле­ние. При изучении первых понятий алгебры (например, действий с рациональными числами) следует предлагать учащимся составлять вычислительные упражнения, в которых бы для упрощения вычисле­ний применялись законы действий, особенно дистрибутивный. Уча­щиеся должны свободно оперировать законами действий.

Очень полезны упражнения в составлении уравнений по задан­ным их корням, систем уравнений по данным решениям, задач по за­данным уравнениям или их системам.

Составление задач по заданным уравнениям полезно хотя бы потому, что задачи эти бывают разнообразны по фабуле, а это убеж­дает в общности математических методов.

Следует предостеречь учителя от чрезмерного увлечения конструи­рованием задач. Нет необходимости доводить конструирование задач до навыка, поэтому не нужно предлагать ученикам трафареты для составления математических объектов и задач. Всякий трафарет, шаб­лон в конструировании губит главное, ради чего эти упражнения вводятся: творческую мысль ученика.

2.3. Воспитательная роль математических задач. Процесс обуче­ния теснейшим образом связан с воспитанием учащихся. В советской школе обучение не мыслится в отрыве от воспитания. Обучая решению математических задач, учитель математики в то же время воспитыва­ет учащихся, формирует у них качества, присущие советскому об­щественному строю.

Но воспитательное воздействие на учащихся оказывают и сами математические задачи. В п. 1.4 говорилось о воспитательном воздей­ствии фабулы, сюжета задачи. Воспитанию советского патриотизма существенно помогает решение задач, составлен­ных по материалам наших пятилетних планов, сводок и сообщений ЦСУ СССР о выполнении планов развития народного хозяйства. Та­кие задачи может составлять и учитель математики.

Возбуждению и развитию интереса к изучению математики спо­собствует решение задач, предваряющих изучение новых математиче­ских сведений, создающих проблемную ситуацию (см. 2.1). Но ин­терес к математике поддерживается и с помощью решения увлекатель­ных и занимательных задач, старинных задач и т. д., так что и в про­явлении интереса учащихся к математике, в воспитании увлеченных математикой учеников не последнюю роль играют математические

задачи.

Правильно организованное решение задач воспитывает у уча­щихся трудолюбие, особенно при самостоятельном решении задач. При решении задач формируются некоторые навыки умственного труда учащихся: усидчивость, внимательность, сосредоточенность. Решение трудных задач требует от учащихся проявления настойчивости в преодолении трудностей, упорства в достижении целей. При этом воспитывается и развивается чувство долга и ответственности учащегося за приобретение математических знаний, умений и навыков. Решения задач учащиеся записывают в тетради, учитель показы­вает различные формы записей решения, воспитывая тем самым у ' учащихся аккуратность. Поиск рационального пути решения при­учает к аккуратности и лаконичности записей в тетрадях по матема­тике. Этому способствует и по возможности точное выполнение чер­тежей с помощью различных чертежных инструментов.

Решение математических задач у учащихся воспитывает особый математический стиль мышления. По А. Я- Хинчину [24], такой стиль характеризуется соблюдением формально-логической схемы рассуж­дений (построение импликаций при доказательстве с использованием правил вывода, соблюдение схемы «анализ—построение — доказа­тельство — исследование» при решении геометрических задач на по­строение и т. д.), лаконичным выражением мыслей как в словах, так и в записях (чему в немалой степени способствует применение мате­матической символики), четким расчленением хода мышления (уже начиная с решения арифметических задач «по действиям»), точностью применяемой символики. Такой стиль мышления также приучает к аккуратности.

Большую роль играют математические задачи в осуществлении политехнического воспитания. С помощью задач, решаемых на уро­ках математики, учащиеся знакомятся с ролью математики в других науках. Но нельзя забывать и значение других наук для математики. Задачи других наук, приводящие к новым математическим понятиям, приемам и методам решения, тоже имеют немаловажное значение для политехнического воспитания уча­щихся.

Политехническому воспитанию способствуют практические задачи, например, такие:

1. Арка моста имеет форму дуги параболы (рис. 32). Высота арки 2 м, а длина стягивающей ее хорды 24 м. Арка имеет 5 вертикальных стоек, укрепленных в точках хорды и делящих эту хорду на части равной длины. Вычислите длины стоек.

2. На прямолинейной железной дороге надо построить платформу для остановки поездов так, чтобы сумма расстояний от платформы до двух населенных пунктов А и В была наименьшей. Решите задачу с помощью циркуля и линейки.

Математические задачи имеют значение и в воспитании диалектико-материалистического мировоззрения учащихся. Ф. Энгельс в «Анти-Дюринге» писал: «...математика переменных величин, самый значительный отдел, который составляет исчисление бесконеч­но малых, есть по своей сущности не что иное, как применение диа­лектики к математическим отношениям». Таким образом, в воспита­нии диалектико-материалистического мировоззрения учащихся поло­жительную роль играют некоторые задачи начал анализа, приложе­ний начал анализа в геометрии, физике, астрономии. Задачи о радио­активном распаде вещества, о росте населения страны приводят к диф­ференциальному уравнению показательного роста или убывания у'= ky. Это уравнение, являющееся математической моделью явле­ния, схематизирует его. Поэтому модель дает правильные результа­ты лишь в некоторых пределах, в частности при решении задачи о ро­сте населения лишь при большой численности населения и не слишком малых промежутках времени. За этими пределами, пишет в [81 А. Н. Колмогоров, «...математическая модель теряет реальный смысл и при ее бездумном применении приводит к ошибочным или бессмыс­ленным результатам». В [8] рассматривается и более простой при­мер о движении подброшенного вверх мяча. В вопросах взаимоот­ношений «теории и действительности, математической модели и реаль­ного мира, — пишет А. Н. Колмогоров, — проявляется глубокая диалектическая взаимосвязь теории и практики». Учитель должен подчеркивать, что математические модели решаемых задач, модели действительности дают нам возможность получать вполне реаль­ное знание о самой действительности, если действовать в пределах применимости модели.