матан. заочники матем 1 семестр по вариантам. Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей

• Название: Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей
• Анкор: матан
• Дата: 22.01.2021
• Размер: 374.69 Kb.
• Имя файла: заочники матем 1 семестр по вариантам.docx
• Тип: Программа; #170540
• страница: 15 из 23

Вариант 2

Задание 1.1. Решить матричное уравнение:

_ 2 0 1 _{ } 0 1 1_

^ 1 1 1^  X  ^ 3 1 3 ^.

   

^ 4 1 3 ^{ } 2 1 4 ^

   

Задание 1.2. Решить системы линейных уравнений:

_3x  3y  z  3;


а) ^x  5 y  2z  0;



^2x  3y  z  4

_x  2 y  5z  6;



б) ^x  y  3z  1;



^2x  y  4z  3

методом Крамера;


методом Гаусса (если система имеет бесконечное

множество решений, то найти общее решение через свободную переменную z и частное решение при z = 1).

Задание 2.1. Даны координаты трех точек: А (3, 1), В (2, –2), С (8, 4).

а) Найти уравнение прямой АН, перпендикулярной прямой ВС в общем, каноническом и параметрическом виде.

б) Определить взаимное расположение векторов середина ВС.

и BC , где О–

Задание 2.2. Привести уравнения второго порядка к каноническому виду.

Определить тип кривой, которое оно задает. Построить кривую.

а) 9x²  36x  y²  27  0;

б) y  1 

2x  4.

Задание 2.3. Даны координаты четырех точек:

A (2, –1, 3), B (4, 7, –3), C (–1, 2, 0), D (3, 1, –1).

а) Написать уравнение плоскости АВС; б) Найти площадь треугольника АВС;

в) Найти двумя способами длину высоты, опущенной из вершины D тетраэдра АВСD на грань АВС (используя формулы векторной алгебры и формулу расстояния от точки до прямой).

Задание 3.1. Вычислить пределы:

x³  x²  2x  2

а) lim

x1

x² 1

(отношение степенных функций);

б) lim

xsin_2x_
(использование первого замечательного предела

x 2

_ 2  x_²

или использование эквивалентных функций);


в) lim ^1 

_{4 }x




(использование второго замечательного предела).

^x_ 2x 3 _

Задание 3.2. Найти производные:
x _x

а) y  cos(5  2x) 

2 x

^{б) y } ^{cos x} ^.

Задание 3.3. Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

x²  x  sin x

lim .

x0 _x³

Задание 3.4. Провести полное исследование функции с помощью производных первого и второго порядков. По результатам исследования построить графики функций:

а) y 

x _;

1  x²

б) y  x  e^x.

Задание 4.1. Найти экстремум функции двух переменных

z  x³  8y³  2xy  3 или доказать, что его не существует.

Задание 4.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z  x²  2y²  2xy  y  x в области

D :  2  x  0, 0  y 1.