матан. заочники матем 1 семестр по вариантам. Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей

• Название: Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей
• Анкор: матан
• Дата: 22.01.2021
• Размер: 374.69 Kb.
• Имя файла: заочники матем 1 семестр по вариантам.docx
• Тип: Программа; #170540
• страница: 18 из 23

Вариант 5

Задание 1.1. Решить матричное уравнение:

_1 1 0 _{ } 3 1 4 _

^1 0 1 ^  X ^ 1 2 4 ^.

   


   
^1 0 2 ^{ } 0 3 5 ^

Задание 1.2. Решить системы линейных уравнений:

_3x  4 y  2z  5;


а) ^2x  7 y  5z  0;



^2x  y  z  0

_x  4 y  2z  3;



б) ^x  3y  3z  1;



^2x 7 y 5z 4

методом Крамера;


методом Гаусса (если система имеет бесконечное

множество решений, то найти общее решение через свободную переменную z и частное решение при z = 1).

Задание 2.1. Даны координаты трех точек: А (6, 3), В (2, –6), С (8, 4).

а) Найти уравнение прямой АН, перпендикулярной прямой ВС в общем, каноническом и параметрическом виде.

б) Определить взаимное расположение векторов середина ВС.

и BC , где О–

Задание 2.2. Привести уравнения второго порядка к каноническому виду.

Определить тип кривой, которое оно задает. Построить кривую.

а) 4 y²  8y x²  2x 1;

б) x  1 

3  y.

Задание 2.3. Даны координаты четырех точек:

A (0, 3, –3), B (2, 1, –4), C (–1, –3, 2), D (2, 1, 3).

а) Написать уравнение плоскости АВС; б) Найти площадь треугольника АВС;

в) Найти двумя способами длину высоты, опущенной из вершины D тетраэдра АВСD на грань АВС (используя формулы векторной алгебры и формулу расстояния от точки до прямой).

Задание 3.1. Вычислить пределы:

x³  4x²  x  4

а) lim

x4

x²  4x

(отношение степенных функций);

б) lim

sin_3x1_
(использование первого замечательного предела или

_x¹ arctg_9x  3_

3

использование эквивалентных функций);

^{в) lim} ^{5x 1}^{1 x}x0

(использование второго замечательного предела).

Задание 3.2. Найти производные:

а) y  arctg
x


1  x

x

 e²  (x²  4x  8)  3ln 2;

б) y  _x  е³ _ .

Задание 3.3. Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

_e^x e  ln x_

lim

x1

.

x² 1

Задание 3.4. Провести полное исследование функции с помощью производных первого и второго порядков. По результатам исследования построить графики:

_ x 1 _²


 
а) y  _{ x  1 } ;

x


y 
б) .

x²  1

Задание 4.1. Найти экстремум функции двух переменных

z  2x²  5y²  6xy  2x  4 y 1 или доказать, что его не существует.

Задание 4.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z  2xy  3x²  2y² 1 в области

D : 0  x 1, 1 y  0.