матан. заочники матем 1 семестр по вариантам. Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей

• Название: Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей
• Анкор: матан
• Дата: 22.01.2021
• Размер: 374.69 Kb.
• Имя файла: заочники матем 1 семестр по вариантам.docx
• Тип: Программа; #170540
• страница: 17 из 23

Вариант 4

Задание 1.1. Решить матричное уравнение:

_ 1 3 0 _{ }1 4 2 _

^ 0 1 1 ^  X  ^1 0 1 ^.

   

^ 2 4 1 ^{ } 3 7 2 ^

   

Задание 1.2. Решить системы линейных уравнений:

_3x  y  z  10;


а) ^2x  2 y  z  7;



^x  y  2z  1

_x 3y 2z 6;



б) ^x  y  2z  4;

методом Крамера;


методом Гаусса (если система имеет бесконечное


^2x  5 y  2z  11

множество решений, то найти общее решение через свободную переменную z и частное решение при z = 1).

Задание 2.1. Даны координаты трех точек: А (8, –8), В (3, 4), С (–5, 2).

а) Найти уравнение прямой АН, перпендикулярной прямой ВС в общем, каноническом и параметрическом виде.

б) Определить взаимное расположение векторов середина ВС.

и BC , где О–

Задание 2.2. Привести уравнения второго порядка к каноническому виду.

Определить тип кривой, которое оно задает. Построить кривую.

а) x² 16 y²  96 y 128  0;

б) y  5 

3  2x.

Задание 2.3. Даны координаты четырех точек:

A (2, 1, –1), B (4, 2, 3), C (1, 0, –1), D (2, 1, –4).

а) Написать уравнение плоскости АВС; б) Найти площадь треугольника АВС;

в) Найти двумя способами длину высоты, опущенной из вершины D тетраэдра АВСD на грань АВС (используя формулы векторной алгебры и формулу расстояния от точки до прямой).

Задание 3.1. Вычислить пределы:

2x⁴  3x 1

а) lim

5 3 2

(отношение степенных функций);

x _x

• 
  9x  x
  

б) lim

x0

tg(3x)  sin(2x)


_x2
(использование первого замечательного предела

или использование эквивалентных функций);


в) lim ^1 

_{3 }x




(использование второго замечательного предела).

^x_ 2x1 _

Задание 3.2. Найти производные:

а) y  ln(3 9x⁴ 1) 

sin x


cos x 1

 ²;

_{б) y  x}arcsin x _.

Задание 3.3. Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

lim

1  sin x _.

x 2

^{ 2  x}²

Задание 3.4. Провести полное исследование функции с помощью производных первого и второго порядков. По результатам исследования построить графики функций:

а) y 

8 _;

4  x²

б) y  ln(1  x² ).

Задание 4.1. Найти экстремум функции двух переменных

z  x³  y² 12x  4y 2 или доказать, что его не существует.

Задание 4.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z   y²  2xy 10 в области D : 0  x  4  y².