матан. заочники матем 1 семестр по вариантам. Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей

• Название: Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей
• Анкор: матан
• Дата: 22.01.2021
• Размер: 374.69 Kb.
• Имя файла: заочники матем 1 семестр по вариантам.docx
• Тип: Программа; #170540
• страница: 14 из 23

Контрольные задания

Вариант 1

Задание 1.1. Решить матричное уравнение:

_ 2 1 2 _{ } 5 4 3 _

^ 0 1 1 ^  X  ^ 0 1 0 ^.

   

^ 1 3 1^{ } 3 0 2 ^

   

Задание 1.2. Решить системы линейных уравнений:

_x  y  2z  1;



а) _5x  2 y  3z  3; методом Крамера;



^2x  y  2z  4

_x  4 y  3z  7;



б) ^x  3y  2z  4; методом Гаусса (если система имеет бесконечное



^2x  y  z  7
множество решений, то найти общее решение через свободную переменную z и частное решение при z = 1).

Задание 2.1. Даны координаты трех точек: А (2, –4), В (6, 3), С (4, –5).

а) Найти уравнение прямой АН, перпендикулярной прямой ВС в общем, каноническом и параметрическом виде.

б) Определить взаимное расположение векторов середина ВС.

и BC , где О–

Задание 2.2. Привести уравнения второго порядка к каноническому виду.

Определить тип кривой, которое оно задает. Построить кривую.

а) x²  2x16 y 4 y²  19; б) x  2  3 7  y.
Задание 2.3. Даны координаты четырех точек:

A (4, –1, 3), B (1, 0, –1), C (2, 1, 1), D (–1, 5, 4).

а) Написать уравнение плоскости АВС; б) Найти площадь треугольника АВС;

в) Найти двумя способами длину высоты, опущенной из вершины D тетраэдра АВСD на грань АВС (используя формулы векторной алгебры и формулу расстояния от точки до прямой).

Задание 3.1. Вычислить пределы:

4x³  2x  5

а) lim

x _3x

³  2x²

 3x 7

(отношение степенных функций);

б) lim

sin² x

2
(использование первого замечательного предела или

^x0 _2  x_  x

использование эквивалентных функций);

1



в) lim _1 


_x²  ^x



(использование второго замечательного предела).

^x0 _ 2 _
Задание 3.2. Найти производные:

а) y
 (x
²  2) 

_ex <sub>

x</sub>2

^ln 1  x²
 ;
б) y  x ^x.

Задание 3.3. Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

^cos2 ^2x

lim

x 4 _

.

4  x_²

Задание 3.4. Провести полное исследование функции с помощью производных первого и второго порядков. По результатам исследования построить графики:

x² 1

а) y 

x²  1^;

б) y  x 

x  2.

Задание 4.1. Найти экстремум функции двух переменных

^{z  y2  x}^{6  x  y} ^{или доказать, что его не существует.}

Задание 4.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z 2x²  4xy x 2 y 4 в области

D : 0  x 1, 1 y 1.