матан. заочники матем 1 семестр по вариантам. Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей

• Название: Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей
• Анкор: матан
• Дата: 22.01.2021
• Размер: 374.69 Kb.
• Имя файла: заочники матем 1 семестр по вариантам.docx
• Тип: Программа; #170540
• страница: 12 из 23

Задание 4.1.

Найти экстремум функции двух переменных доказать, что его не существует.

Решение.
z  x³  3xy² 15x 12y или

Воспользуемся необходимыми условиями экстремума:

0
z^_{x M}

 0,

z^  0.


y
M₀

Для этого найдем частные производные первого порядка:

z^'  _x³  3xy² 15x12 y_'

 3x²  3y² 15,

x _x

z^'  _x³  3xy² 15x12 y_'
 6xy 12.

y _y
Приравняем их к нулю, получим систему:
^^{3x2  3y2 15  0,}



_6xy12  0.

Решая систему, найдем четыре стационарные точки:

M_{1 }2,1_,

M_{2 }1,2_,

M_{3 }2, 1_,

M_{4 }1, 2_.

Проверим каждую из них на экстремум с помощью достаточного признака.

Найдем частные производные второго порядка:

_z'' ₂

 _3x²  3y² 15_'
 6x,

x _x

z^''  _3x²  3y² 15_'
 6 y,

xy _y

2
_z''

y

 _6xy12_^'

 6x.

y
^{Исследуем стационарную точку M}₁ ^2,1 ^:

A  z^''

x

 12, B  z^''


2
_M1 xy_M1

 6, C  z^''

y

 12,


2
M₁

  AC  B²  144  36  0 и A  12  0.

Следовательно, точка

M_{1 }2,1_

является точкой минимума:

M
z_min _x³  3xy² 15x12 y_  28.

1

Исследуем характер точки

M_{2 }1, 2_ :

A  z^''

x

 6, B  z^''


2
_M2 xy_M2

 12, C  z^''

y

 6,


2
M₂

  AC  B²  36 144  0.

Следовательно, в точке

M_{2 }1, 2_ функция экстремума не имеет.

Исследуем стационарную точку M_{3 }2, 1_ :

A  z^''

x

 12, B  z^''


2
_M3 xy_M3

 6, C  z^''

y

 12,


2
M₃

  AC  B²  144  36  0 и A  12  0.

^{Следовательно, точка M}₃ ^{2, 1}

является точкой максимума:

M
z_max _x³  3xy² 15x12 y_  28.

3

^{Исследуем стационарную точку M}₄ ^{1,  2} ^:

A  z^''

x

 6, B  z^''


2
_M4 xy_M4

 12, C  z^''

y

 6,


2
M₄

  AC  B²  36 144  0 .

Следовательно, в точке

M_{4 }1,  2_

функция экстремума не имеет.

Ответ.

^M₁ ^2,1 ^{является точкой локального минимума,}

M_{3 }2, 1_

является точкой локального максимума, в точках функция экстремума не имеет.