матан. заочники матем 1 семестр по вариантам. Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей

• Название: Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей
• Анкор: матан
• Дата: 22.01.2021
• Размер: 374.69 Kb.
• Имя файла: заочники матем 1 семестр по вариантам.docx
• Тип: Программа; #170540
• страница: 9 из 23

Задание 3.2.

Найти производные функций:

x³  4
sin x 4 e

_{ x }ln x

а) y 

x² 1  3

 ln(1  x

)   ;

б) y  _{ x  1 } .

 
Решение.

а) Для нахождения производной первой функции используем правила дифференцирования и таблицу производных элементарных функций.

Данную функцию представим в виде суммы трех функций и вычислим

производную каждого слагаемого:

y  y₁  y₂  y₃.

_ ^ x³  4 ^

y  ^

1 _

x² 1

^  [используем правила дифференцирования частного



 

^{ u} ^{ uv uv , суммы и разности функций} ^{u v}^{  u  vи правило}


v

_v2
 

 

дифференцирования сложной функции: если

y  y(u), u  u(x), то

y^_x y_u^  u^_x] =

_ x³  4 _^  _x² 1_ 

_x² 1_

x³  4  _x² 1_^

₂ 

 ₂ 
_x² 1_





 ₂ 
_x² 1_

3x²  _x² 1_  4x _x³  4_

3x⁴  3x²  4x⁴ 16x

_x⁴  3x²  16x_

   ₂ ;

2 x³  4  _x² 1_

2
y^  _3^{sin x} ln_1  x⁴ _^  [используем правила дифференцирования ^{произведения} ^{u  v}^{  u  v  u  v , разности функций и правило} дифференцирования сложной функции] =

= _3^{sin x}_^  ln_1  x⁴ _  3^{sin x} _ln_1  x⁴ _^ 


   
 3^{sin x} ln 3_sin x_^  ln 1  x⁴  3^{sin x}¹  1 x^{4 } 

1 x⁴

_{ 3}sin x

 ln 3  cos x ln_1  x

4 _{  3}sin x_

4x³

4

_{ 3}sin x

 ^ln 3  cos x ln _1  x⁴ _

4x^{3 }

_{4 };


1  x _ x1_

y₃^  _ ^e_^  0

нулю].

[функция является константой, поэтому ее производная равна

Запишем производную исходной функции

y^  y₁^  y₂^
 y₃^ 

_x⁴  3x²  16x_

• 
  3^{sin x} ^ ln 3  cos x ln_1  x⁴ _ 
  

4x^{3 }

_.


^ x⁴ 1 ^

 

Ответ.
y^ 

_x⁴  3x²  16x_

• 
  3^{sin x} ^ ln 3  cos x ln_1  x⁴ _ 
  

4x^{3 }

_.


^ x⁴ 1 ^

 
б) Для нахождения производной второй функции используем правило логарифмического дифференцирования. Логарифмируя обе части равенства,

_{ x }ln x

 
получим

ln y  ln_{ x 1 }

или, по свойству логарифмов,

ln y ln x_ln x ln_ x1_. Продифференцируем обе части последнего равенства по x:
_ln y_^  _ln x_ln x  ln_ x 1_^;

_ln y_^  ¹  y^;

y

 

 
_^{ln x}^{ln x ln} ^{x 1}_^{ } ^{ln x}^{ } ^{ln x ln}  ^{x 1} ^{ ln x }^{ln x}^{ } ^ln  ^{x 1}^{  }

 ¹  _ln x  ln_ x  1_  ln x  ^{ 1}  ^{1 }  ^{2ln x} ^{lnx  1} ^{ln x}.


 
x ^ x x  1 ^ x x x  1

Таким образом,

1 _{ y } 2ln x_ ^ln^{x 1} _ln x_,



y x x x1
откуда получаем

_ ^ 2lnx

ln_x1_

ln x^

_xln x

^ 2lnx

ln_x1_

ln x^

y  y _{ x} 

x ^ x 1^{  } x1 ^{ } x ^

x ^ x 1 ^.


  ^{ }  

 _xln x

^ 2lnx

ln_x1_

ln x^

Ответ.

y  _{ x1 }  _x 

x ^ x 1 ^.

  _{ }