матан. заочники матем 1 семестр по вариантам. Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей

• Название: Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей
• Анкор: матан
• Дата: 22.01.2021
• Размер: 374.69 Kb.
• Имя файла: заочники матем 1 семестр по вариантам.docx
• Тип: Программа; #170540
• страница: 11 из 23

Задание 3.4.

Провести полное исследование функции с помощью производных первого и второго порядков. По результатам исследования построить графики функций.

а) y 

_x3

x²  4 ;

б) y  ^{ln x}.

Решение.

а) Исследуем первую функцию.

1. 
   Область определения функции дроби не может быть равен нулю.
   

D(x) 

\{2,2}, т.к. знаменатель

2. 
   Проверяем четность (нечетность функции):
   

(x)³ x³

y(x)  _{(x)2  4}  _{x2  4}   y(x).

Следовательно, функция является нечетной (ее график симметричен относительно начала координат).

3. 
   Функция не является периодической, т.к. является отношением двух элементарных не периодических функций.
   
4. 
   Находим асимптоты.
   

Из области определения имеем точку разрыва

_x3

x 2, причем

lim

x2 _x² _{ 4}

 ,

следовательно,

x  2

является вертикальной асимптотой

графика функции. В силу нечетности функции вертикальной асимптотой.

Ищем наклонную асимптоту y  kx  b :

x  2

так же является

y x³ x² : x² 1

k  lim

^x x

 lim

x _x(x²

 4)

 lim

x _(x

²  4) : x²

 lim

x _{1  4}

 1;

_x2

 _x³ 

x³  x(x²  4) 4x : x²

b lim _ y kx_ 

lim <sub>

2  4</sub>  x_ 


lim

x²  4

 lim



x²  4 : x²

x
 lim ^{4 x}

x _{ x}
 0.

_ x

x _{ }

^x 1  4 x²

Уравнение наклонной асимптоты: y  x .

5. 
   Находим экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания:
   



3
y^  ^{ x}


_^ 3x²  _x²  4_  x³  2x



_{ 2} 

x⁴ 12x²

2

x² _x² 12_

 ₂ ;

_ x  4 <sub>

</sub>x²  4_{ }x²  4<sub>

</sub>x²  4_

y^  0

при

x  0, x   2 3;

при

x  2

y^ не существует.

Найденные точки разбивают область определения функции на промежутки монотонности. Определим знак производной и в зависимости от него возрастание или убывание функции. Результаты исследования представим в виде таблицы (в силу нечетности функции достаточно рассмотреть только область при х  0 ).

х	0	(0;2)	2	(2;2 3)	2 3	(2 3;)
у'	0	−		−	0	+
у	0				3 3 min

Точка

x  0

не является экстремумом, т.к. при переходе через нее

производная не меняет знак.

6. 
   Находим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба:
   


 ^

3 2 ²

4 2 2

_ x⁴ 12x² <sub>

</sub>4x

 24x__x  4_  _x 12x _ 2_x  4_ 2x

y  _






^ _x²  4_2 ^

_x²  4_4


 





_4x³  24x__x²  4_  _x⁴ 12x² _ 4x


_x²  4_3

4x _x²  6__x²  4_  _x⁴ 12x² _





;
_x²  4_3




4x  _x⁴  4x²  6x²  24  x⁴  12x² <sub>


</sub>x²  4_3

4x _2x²  24<sub>


</sub>x²  4_3

8x _x² 12<sub>


</sub>x²  4_3

y^  0

при

x  0;

при

x  2

y^ не существует.

Найденные точки разбивают область определения функции на интервалы выпуклости и вогнутости. Определим знак второй производной и в зависимости от него поведение функции. Результаты исследования представим в виде таблицы (в силу нечетности функции достаточно рассмотреть только область при х  0 ).

х	0	(0;2)	2	(2;)
у"	0	−		+
у	0 перегиб			

Точка

x  0

является точкой перегиба, т.к. при переходе через нее вторая

производная меняет знак, точка

x  2

не является точкой перегиба, т.к. она не

входит в область определения функции.

7. 
   Находим точки пересечения графика с осями координат.
   

Точка пересечения графика с осью Оу была найдена при исследовании функции на экстремум.

Для определения точек пересечения с осью Ох решаем уравнение: у  0,

_x3

т. е.

x₂  4  0 . Единственное решение уравнения: x  0 . Значит, график

пересекает оси координат только в начальной точке (0, 0).

Используя полученные данные, строим график функции при отражаем его симметрично относительно начала координат (рис. 5).
х  0 ^{, затем}

_x3

Рисунок 5. График функции y  _{x2  4}

б) Исследуем вторую функцию.

1. 
   Область определения функции D(x)  или
   

D(x)  (0; ), т. к.

логарифм и подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, существуют только при положительных значениях аргумента.

2. 
   Функция не является четной или нечетной (следует из области определения), т. е. имеем функцию общего вида.
   
3. 
   Функция не является периодической, т. к. является отношением двух элементарных не периодических функций.
   
4. 
   Находим асимптоты.
   

Из области определения имеем точку разрыва

x  0 , причем

^{lim lnx    }^{ }^{  ,}
следовательно,
x  0
является вертикальной

x0

_{ 0} _

асимптотой графика функции.

Ищем невертикальную (правостороннюю) асимптоту только при х  :

k  lim ^y  lim


ln x_
lim

ln x

 ^{ }  /используемправило Лопиталя/ 

^x x

1

x

x

_{ } _

 lim


х _

lim

²  0;

^{x 3} _х1 2

2

x _3х^{3 2}

b  lim

x

_ y kx_ 

1

lim

x

^{ln x} ^{ }  /используемправило Лопиталя/ 


 
^ 

 lim

x


х _

lim

^x x

 lim ²

x

 0;

Получаем уравнение правосторонней горизонтальной асимптоты (т. к.

угловой коэффициент

k  0 при

^{х }):

y  0 .

5. 
   Находим экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания:
   

_ ¹   ln x ¹

 
_{y }  ^{ln x}  _{ x}

 

_{2 x } 2  ln x _ 2  ln x_;

x

y^  0

при

x  e²,

y^ существует только при

x  0 .

Определим интервалы монотонности и экстремум функции с помощью таблицы:

х	(0;e2)	e2	(e2; )
у'	+	0	−
у		2 e , max

6. 
   Находим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба:
   

_{ }  ¹  x^{3 2}  _2  ln x_  ³  x^{1 2}

_{y  } 2  ln x<sub>

</sub> 1 _{ } 2  ln x_


 ¹  ^{x 2} 

  ₂   _{2 x3}

   

_ 1 2


³ 1 2

  


_x1 2

 ¹  x

 _2  ln x_   x

2

 ¹ 

_{2 }2  _2  ln x_  3_{ 263lnx 3lnx8}

_{2 x}3

_{2 x}3

_4x5 2

_4x5 2 ^;

y^  0

при

x  e^{8 3};

y^ существует только при

x  0 .

Определим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, а также точку перегиба с помощью таблицы:

х	(0;e8 3)	e8 3	(e8 3;)
у"	−	0	+
у		8 3e4 3 , перегиб	

7. 
   Находим точки пересечения графика с осями координат:
   

График не пересекает ось Оу, т.к. точка

x  0

не принадлежит области

определения функции (ось Оу является вертикальной асимптотой).

Находим пересечение с осью Ох:
у  0,

т.е. ^{ln x}  0 . Единственное

решение уравнения:

x  1. Получаем точку пересечения (1;0).

По результатам исследования строим график функции (рис. 6).




Рисунок 6 График функции y  ^{ln x}