матан. заочники матем 1 семестр по вариантам. Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей

• Название: Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей
• Анкор: матан
• Дата: 22.01.2021
• Размер: 374.69 Kb.
• Имя файла: заочники матем 1 семестр по вариантам.docx
• Тип: Программа; #170540
• страница: 19 из 23

Вариант 6

Задание 1.1. Решить матричное уравнение:

_ 1 0 1 _{ } 1 0

1_

X  ^ 2 1 1 ^  ^ 5 3 1^.

   

^ 1 1 1 ^{ }13 7 4 ^

   

Задание 1.2. Решить системы линейных уравнений:

_x  2 y  z  2;



а) ^x  2 y  4z  4; методом Крамера;



^5x  2 y  z  6

_x  3y  4z  5;



б) ^x 2 y 3z 2; методом Гаусса (если система имеет бесконечное



^2x  3y  5z  1
множество решений, то найти общее решение через свободную переменную z и частное решение при z = 1).

Задание 2.1. Даны координаты трех точек: А (7, 3), В (–4, –3), С (6, 3).

а) Найти уравнение прямой АН, перпендикулярной прямой ВС в общем, каноническом и параметрическом виде.

б) Определить взаимное расположение векторов AO и BC , где О – середина ВС.

Задание 2.2. Привести уравнения второго порядка к каноническому виду.

Определить тип кривой, которое оно задает. Построить кривую.

а) x²  6x  3y² 18y  21;

б) y 

 4.

Задание 2.3. Даны координаты четырех точек:

A (3, –1, 4), B (1, 0, 3), C (–2, –1, 3), D (4, 1, 1).

а) Написать уравнение плоскости АВС; б) Найти площадь треугольника АВС;

в) Найти двумя способами длину высоты, опущенной из вершины D тетраэдра АВСD на грань АВС (используя формулы векторной алгебры и формулу расстояния от точки до прямой).

Задание 3.1. Вычислить пределы:

а) lim

x3

x²  9

(отношение степенных функций);

б) lim

x0

3x tg 7x


sin 5x
(использование первого замечательного предела или

использование эквивалентных функций);

_ 7  x _^3x

в) lim _{ } (использование второго замечательного предела).

^x_ x _

Задание 3.2. Найти производные:

1 ^ 1  x^{2 }
1 (12x)

а) y  x  arctg x  ₂ ln_{ x }  ; б) y  _2x1_ .

 

Задание 3.3. Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

lim ctg x  x.

x0

Задание 3.4. Провести полное исследование функции с помощью производных первого и второго порядков. По результатам исследования построить графики:

а) y 

_x2

2x 1^;

б) y  ln(1  x² ).

Задание 4.1. Найти экстремум функции двух переменных

z  x²  3y²  3xy  5 или доказать, что его не существует.

Задание 4.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z 4x²  y²  2xy 2 y

в области

D : 1 x  0, 1 y  0.