матан. заочники матем 1 семестр по вариантам. Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей

• Название: Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей
• Анкор: матан
• Дата: 22.01.2021
• Размер: 374.69 Kb.
• Имя файла: заочники матем 1 семестр по вариантам.docx
• Тип: Программа; #170540
• страница: 7 из 23

Задание 2.3.

Даны координаты четырех точек:

(x  3)²  6( y  2), где x  3.

А(4,1,3),

B(0,2,1),

C(1,3,2),

D(2,2,  5).

а) Написать уравнение плоскости АВС; б) Найти площадь треугольника АВС;

в) Найти двумя способами длину высоты, опущенной из вершины D тетраэдра АВСD на грань АВС (используя формулы векторной алгебры и формулу расстояния от точки до прямой).

Решение.

а) Для того чтобы написать уравнение плоскости нужна произвольная точка на этой плоскости и два вектора, параллельные плоскости.



⁴ Каноническое уравнение параболы имеет вид (x  x₀ )²  2 p( y  y₀ ) или ( y  y₀ )²  2 p(x  x₀ )

⁵ Для более точного построения можно найти дополнительную точку. В частности, при х = 6 получаем, что у = 0,5; т. е. ветвь параболы проходит через точку (6; 0,5).

АВС :

A(4,1,3),

AB {4,1,  2}, AC {5,2, 1}.

Находим уравнение плоскости АВС по данной точке и двум направляющим векторам:

x  4

 4

y 1

1

z  3

 2

 x 4 <sup>1

 2</sup>  y1 <sup> 4

 2</sup>  z 3 ^{ 4 1} 

 5 2 1

2 1

 5 1

 5 2

 3_ x  4_  _6_ y 1_  _3_ z  3_  3x  6 y  3z  9  0.

АВС :

x  2y  z  3  0.

Ответ.

АВС:

x  2y  z  3  0.

б) Площадь треугольника можно найти с помощью приложений

векторного произведения:

S_ABC  [ AB, AC] .

Площадь ΔABC, построенного на векторах и длины их векторного произведения

Вычисляем векторное произведение:

равна половине

Найдем длину полученного вектора:
 3 6.

Тогда

S_ABC  ^{1 }_ AB, AC ^<sub>

</sub> 3 6 _.

2

2
Ответ.

_ 3 6


S_ .
ABC ₂

в) Двумя способами найти длину высоты, опущенной из вершины D

тетраэдра АВСD на грань АВС.

1. 
   способ: через приложение смешанного произведения векторов к вычислению объема тетраэдра.
   

Рисунок 4. Высота тетраэдра


6
Объем тетраэдра, с одной стороны, равен одной шестой модуля смешанного произведения трех векторов, на которых он построен:

^VABCD

 ¹ _ AB, AC, AD_ .

С другой стороны, V
ABCD

 ¹ S

3
ABC

 DH,

отсюда

_{DH } ^3VABCD _.

 AB, AC, AD
	 AB, AC

^SABC

Получим, что

DH 

_ AB, AC, AD_ 

4 1

5 2

2 1

2

1  24.

8

DH 

24 _ 8

_ 4 6 _.

3

2. 
   способ: применить формулу расстояния от точки до плоскости.
   

Длина высоты тетраэдра равна расстоянию от точки плоскости ABC

Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле:

D(2,2, 5)

d (D, ABC)  .
Числитель получается, если в левую часть уравнения плоскости ABC

подставить координаты точки D

В знаменателе находится длина нормального вектора плоскости ABC (координаты нормального вектора плоскости – коэффициенты перед неизвестными в ее уравнении).

Получим:

DH  d (D, ABC) 

_ 8 _ 4 6 _.

3

Ответ.

DH  ^{4 6} .

3