матан. заочники матем 1 семестр по вариантам. Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей

• Название: Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей
• Анкор: матан
• Дата: 22.01.2021
• Размер: 374.69 Kb.
• Имя файла: заочники матем 1 семестр по вариантам.docx
• Тип: Программа; #170540
• страница: 3 из 23

Решение нулевого варианта

Контрольная работа № 1

Задание 1.1.

_ 2 2 1 _{ }

2 1 1 _

Решить матричное уравнение

X  ^ 1 1 0 ^  ^ 3 1 4 ^.

   

^ 0 1 2

  _{2 0}

1^

Решение.

   

Матричное уравнение имеет вид

X  A  B,

где А и B известные

матрицы. Выразим Х:

X  A B 

X A А^1  B А^1; A А^1  Е, Е−

единичная матрица (аналог единицы для действительных чисел). Получим

X  B  А^1.

Заметим, что поскольку умножение матриц не обладает свойством

коммутативности ( A B

 В  А),

то если мы в левой части умножаем на

_А1

справа, то и в правой части тоже умножаем на А^1 справа!

_ 2 1 1 _{ } 2 2

_{1 }1

Итак,

X  ^ 3 1 4 ^  ^ 1 1 0 ^ .

   

^ 2 0

_1 

0 1 2 ^

   
 ^{ 2  2}


^{ 1} 




Находим обратную матрицу для матрицы _ 1

_ 0

1 0 _ .



1 2 _

1. 
   способ – метод присоединенной матрицы. Находим определитель исходной матрицы:
   

2 2 1

А 1 1 0

 2 ^{1 0}  2 ^{1 0} 1 ^{1 1}  2(2  0)  2(2  0) 1(1  0)  1.

0 1 2

1 2 0 2 0 1
_ 2 1 0_


Транспонируем исходную матрицу А^Т= ^ 2 1



^ 1 0



1 _ .


2




Находим алгебраические дополнения элементов матрицы А^Т:

1 1  2 1  2 1

А₁₁= <sub>0

2</sub> =2, А₁₂=(–1) <sub>1

2</sub> =3, А₁₃= _1

=1,

0

1 0  2 0  2 1

А₂₁=(–1) <sub>0

2</sub> = –2, А₂₂= <sub>1

2</sub> = –4, А₂₃=(–1) _1

= –1,

0

1 0  2 0  2 1

А₃₁= <sub>1

1</sub> =1, А₃₂= (–1) <sub> 2

1</sub> =2, А₃₃= _{ 2}

=0.

1

 ^{2 3 1} 

Строим присоединенную матрицу

A  ^ 2 4 1^,

делим каждый

_ 2  3 1_

^p  


 
^ 1 2 0 ^


элемент на |A|, получим А^–1= ^ 2 4 1 ^ .







^ 1  2 0 _

_ 2

 2  1_{ } 2

 3 1_{ } 1 0 0 _

Делаем проверку: АА^–1= ^ 1

 

1 0 2

4 1 ^ = ^ 0 1 0 ^  E.

  


0

1

2
  

  






1
 2 0 ^

 


 
^ 0 0 1 ^

2. 
   способ – метод элементарных преобразований.
   

 2



 2 1 1

0 0




Строим матрицу вида (А|Е): _ 1

_ 0

1 0 0 1 0_


1


1 2 0 0 ^

С помощью элементарных преобразований будем приводить матрицу А к

виду единичной матрицы:
 2	2	1 1	0	0 		1	1	0	0	1	0 	 1	1	0	0	1	0 
 1	1	0 0	1	0  1   		0	1	2	0	0	1  2  0  		1	2	0	0	1  
 0 1 2 0 0 1   2 2 1 1 0 0   0 0 1 1 2 0       

3

_

 1	1	0	0	1	0 	 1	1	0	0	1	0 	1 	0	0  2	 3	1 
  0	1	2	0	0	1  4  0  		1	0	2	4	1  5 0  		1	0 2	4	1 

3





^ 0 0 1 1
2 0 ^


^ 0 0 1 1
2 0 ^{ }
.


0


0 1 1  2 ^







0
В ходе решения были выполнены следующие преобразования

1. 
   поменяли строки местами;
   
2. 
   умножили первую строку на 2 и прибавили к третьей;
   
3. 
   умножили третью строку на (–1);
   

4. 
   умножили третью строку на (–2) и прибавили ко второй;
   
5. 
   умножили вторую строку на (–1) и прибавили к первой.
   

_ 2  3 1_



Справа от черты стоит искомая матрица А^–1= ^ 2 4 1 ^ .







Подставляем А^–1 в выражение для Х:

^ 1  2 0 _

_ 2 1 1 _{ } 2 3 1 _{ } 3 4

1 _

X  ^ 3 1 4 ^  ^ 2 4 1 ^  ^ 4 5 4 ^.

     

^ 2 0 1^{ } 1 2 0 ^{ } 3 4 2 ^

     

_  3  4



 1 _



Ответ.

X  _ 4 5 4 _.




^  3  4  2 ^
Замечание. При решении данной задачи в контрольной работе нужно применить только один из двух способов нахождения обратной матрицы.