матан. заочники матем 1 семестр по вариантам. Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей

Название	Программа, методические указания и контрольные задания 1 семестра для студентов заочной формы обучения всех специальностей
Анкор	матан
Дата	22.01.2021
Размер	374.69 Kb.
Формат файла
Имя файла	заочники матем 1 семестр по вариантам.docx
Тип	Программа #170540
страница	5 из 23

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 23

Задание 2.1.

Даны координаты трех точек А (9, 4), В (3, 8), С (5, 6).

а) Найти уравнение прямой АН, перпендикулярной прямой ВС в общем, каноническом и параметрическом виде.

б) Определить взаимное расположение векторов середина ВС.

Решение.

а) Дано: А (9, 4), В (3, 8), С (5, 6).

Найти: АН, где AH  BC.

и BC , где О–

Для того чтобы написать уравнение прямой АН, нужно сначала ее описать, т.е. определить, что нам о ней известно и записать всю информацию аналитически (с помощью математических выражений).

Во-первых, по названию прямой известно, что она проходит через точку

А (9, 4). Во-вторых, имеется условие AH  BC.

Поскольку на прямой ВС известны координаты точек В и С, то мы можем найти вектор BC , который для прямой ВС называется направляющим¹.

Рисунок 1. Направляющий вектор прямой ВС

Для того чтобы найти координаты вектора нужно из координат конца

вектора – точки С (5, 6) вычесть соответствующие координаты начала

вектора - точки В(3, 8): 2}.

¹ Вектор, который параллелен прямой, называется направляющим вектором этой прямой. Можно представить, что направляющий вектор задает «направление» прямой в пространстве. Понятно, что параллельные друг другу прямые будут иметь один и тот же направляющий вектор. Поэтому для описания конкретной прямой указания только направляющего вектора недостаточно. Достаточно указать еще одну точку, через которую проходит эта прямая.

Из рис. 1 видно, что BC  AH.

Вектор, перпендикулярный прямой, называется для нее нормальным.

Значит, BC – нормальный вектор прямой АН.

Получили, что искомая прямая АН задана точкой А (9, 4) и нормальным

вектором

ⁿAH

 BC {2;  2}.

Известно, что координаты нормального вектора есть коэффициенты перед х и у в общем уравнении прямой².

Пусть общее уравнение прямой АН имеет вид: Ax  By  C  0.

Тогда вместо А и В подставляем координаты нормального вектора

ⁿAH

{2;  2}.
AH : 2x  2y  C  0.

Чтобы найти значение неизвестного параметра С, используем известную на АН точку А. Точка А лежит на прямой АН тогда и только тогда, когда координаты точки удовлетворяют уравнению прямой. Это значит, что при подстановке координат точки в уравнение прямой мы получим верное равенство.

2  9  2  4  C  0.

Откуда следует, что C = − 10.

Итак, получили общее уравнение прямой AH : 2x  2y 10  0.

Каноническое уравнение прямой на плоскости имеет вид:

x  x₀_

l₁

y  y₀_,

l₂

где

l₁, l₂

− координаты направляющего вектора прямой, а

x₀, y₀–

координаты произвольной точки на этой прямой. Точка на прямой АН у нас известна: А (9, 4).

²На плоскости прямая задается линейным уравнением Такое уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.

Для того чтобы найти направляющий вектор, нам нужна еще одна точка прямой АН. Известно, что точка лежит на прямой, если при подстановке координат точки в уравнение прямой мы получаем верное равенство (говорят:

«координаты точки удовлетворяют уравнению прямой»).

Поскольку мы ищем любую точку прямой, то одну из координат можно

выбрать произвольно. Пусть

x  2. Подставим его в уравнение прямой АН:

2  2  2y 10  0.

Получим

y  3.

Вторая точка прямой АН найдена:

H (2, 3).

AH {2  9,  3  4} {7,  7} − направляющий вектор прямой АН.

Поскольку направляющим вектором будут также все векторы, коллинеарные вектору АН , то в качестве направляющего вектора можно взять вектор

Итак, прямая АН задана точкой А (9, 4) и направляющим вектором

Запишем каноническое уравнение прямой