Радиоавтоматика
 Скачать 2.39 Mb.
|
|
Система РА будет неустойчива, если решение характери- стического уравнения системы РА имеет хотя бы один корень с по- ложительной вещественной частью. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Если при решении характеристического уравнения будет хотя бы один ну- левой корень α 0 i либо пара чисто мнимых корней β β i i j j , и при этом все остальные корни будут иметь отрицательную вещественную часть, значит си- стема находится на границе устойчивости, и решение уравнения (6.4) будет иметь постоянную величину A i или гармоническую составляющую с постоянной амплитудой. В случае линеаризованной системы при наличии нулевых или чисто мни- мых корней об устойчивости системы можно судить только после исследования ее нелинейных уравнений. Как и любое комплексное число, корни характеристического уравнения можно представить в виде точек на комплексной плоскости (рис. 6.3). По виду графика корней характеристического уравнения легко судить об устойчивости системы. Для устойчивости линейной или линеаризованной си- стемы необходимо и достаточно, чтобы все точки (корни характеристиче- ского уравнения) лежали в левой полуплоскости (рис. 6.3, а). В данном случае мнимая ось является границей устойчивости, если на мнимой оси находится один или несколько корней, то система находится на границе устойчивости (рис. 6.3, в, г), первый случай будет иметь место при 0 0 a . Если один или несколько кор- ней находятся в правой полуплоскости графика, то система неустойчива (рис. 6.3, б). 95 +j + +j + а) +j +j + + г) в) б) Рис. 6.3 – Расположение корней характеристического уравнения пятого порядка для устойчивой (а) и неустойчивой (б) систем; систем, находящихся на границе устойчивости (г); систем, находящихся на границе устойчивости при 0 0 a (в) Вычисление корней характеристического уравнения реальной системы большого порядка весьма проблематично, поэтому были разработаны некие пра- вила, основанные на приведённых выше вычислениях и называемые критериями устойчивости, которые позволяют оценивать устойчивость системы, не вычис- ляя корней характеристического уравнения. Системы первого и второго порядка устойчивы, если все коэффициенты 0 1 , , , n a a a характеристического уравнения (6.4) положительны. Для систем бо- лее высокого порядка положительность коэффициентов является необходимым, но не достаточным условием устойчивости. Если все коэффициенты характери- стического уравнения положительные, то все его вещественные корни будут от- рицательными, но среди комплексных корней могут быть и корни с положитель- ной вещественной частью. Если хотя бы один из коэффициентов отрицательный, система заведомо неустойчива. При равенстве нулю коэффициента a 0 система находится на границе устойчивости, при равенстве нулю коэффициента a i при 0 i система находится на границе устойчивости или неустойчива. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Пример · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 96 Оценить устойчивость системы первого порядка, передаточная функция которой имеет вид: ( ) 1 k W p Tp Решение Характеристическое уравнение 1 0 Tp имеет только один корень 1 λ , T который будет отрицательным при 0 Т · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Следовательно, положительность коэффициентов характеристического уравнения для системы первого порядка является необходимым и достаточным условием устойчивости. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Пример · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Получить условия устойчивости для системы второго порядка: 2 2 ( ) 2ξ 1 k W p T p Tp Решение Запишем ее характеристическое уравнение: 2 2 2ξ 1 0 T p Tp – и определим корни: 2 1,2 ξ 1 ξ λ T T Они будут иметь отрицательную вещественную часть, когда знаки коэф- фициентов ξ и Т совпадают. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Таким образом, положительность коэффициентов характеристического уравнения для системы второго порядка также является необходимым и доста- точным условием устойчивости. 97 6.3 Критерии устойчивости Точно вычислить корни можно лишь для систем не выше четвёртого по- рядка, поэтому были разработаны критерии, которые позволяют оценить устой- чивость (то есть отрицательность вещественной части корней) по виду характе- ристического уравнения системы или её частотной характеристике. Их называют критериями устойчивости. 6.3.1 Критерий устойчивости Гурвица Критерий устойчивости Гурвица находит широкое применение при ана- лизе систем третьего и четвертого порядков, когда известны параметры системы. Кроме того, он позволяет получить аналитическое выражение (выражения) для границ области возможных значений какого-либо параметра (параметров) си- стемы, при которых сохраняется устойчивое состояние системы. Это алгебраический критерий, который предполагает рассмотрение харак- теристического уравнения (6.4) в стандартной форме: 1 1 1 0 ( ) 0. n n n n D p a p a p a p a Из его коэффициентов по следующему правилу составляется матрица Гурвица: на главной диагонали сверху вниз вписываются коэффициенты харак- теристического уравнения от 1 n a до a 0 включительно. В каждом столбце вниз от диагонали записывают коэффициенты при возрастающих степенях оператора Лапласа р, вверх при убывающих степенях р. Недостающие элементы в столбце заполняются нулями. Либо в каждой строке справа от главной диагонали располагаются коэффициенты при убывающих через одну степенях p, слева от главной диагонали располагаются коэффициенты при возрастающих через одну степень оператора Лапласа p 1 3 5 , , n n n a a a 98 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 2 3 1 a a a a a a a a H n n n n n (6.10) dim H n n . Приведём без доказательства критерий Гурвица. Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы необхо- димо и достаточно, чтобы при 0 n a все n определителей, получаемых из мат- рицы Гурвица Н, были положительны, где 1 3 5 1 3 1 1 2 3 2 4 2 1 3 0; det 0; det 0; 0 n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a (6.11) 0 1 det 0. n n H a Условие границы устойчивости согласно критерию Гурвица имеет вид: 0 1 det 0; 0, , 1. n n i H a i I n (6.12) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Пример · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Оценить устойчивость системы третьего порядка, передаточная функция которой имеет вид: 3 2 3 2 1 0 k W p a p a p a p a Запишем характеристическое уравнение согласно (6.4): 3 2 3 2 1 0 a p a p a p a и составим матрицу Гурвица для этой системы третьего порядка (6.10): 2 0 3 1 2 0 0 0 0 a a H a a a a k · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 99 Условия устойчивости системы в соответствии с критерием Гурвица и (6.11) следующие: 1) 1 2 0; a 2) 2 1 2 3 0 ( ); a a a a k 3) 3 0 2 det ( ) 0 H a k или 0 ( ) 0. a k Поскольку положительность всех коэффициентов характеристического уравнения следует из необходимого условия, то условие устойчивости системы третьего порядка принимает вид: 1 2 3 0 ( ) a a a a k . 6.3.2 Критерий устойчивости Михайлова Частотный, графоаналитический критерий Михайлова применяется при исследовании замкнутых, линейных систем с постоянными параметрами. Он был сформулирован А. В. Михайловым в 1936 г. и базируется на принципе аргу- мента. При этом для анализа устойчивости рассматривается характеристический комплекс системы ( ω) F j , который получается из характеристического поли- нома (6.4) [2–4]: 1 1 1 0 ( ) n n n n F p a p a p a p a (6.13) заменой р на jω и имеет вид: 1 1 0 ( ω) ( ω) ( ω) , n n n n F j a j a j a (6.14) где можно выделить вещественную и мнимую части, а также амплитуду и фазу: φ (ω) ( ω) (ω) (ω) (ω) F j F F F F j R jI A e (6.15) Для конкретного численного значения ω = ω 1 характеристический ком- плекс представляет собой комплексное число 1 ( ω ) F j , которое можно изобразить на плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой (ω); (ω) F F R jI При изменении ω от 0 до ∞ конец вектора ( ω) F j выписывает на комплекс- ной плоскости некоторую кривую, которую называют годографом Михайлова. 100 Причем начинается годограф, как следует из соотношения (6.14), в точке с коор- динатами 0 0 ; a j (рис. 6.4). Рис. 6.4 –Годограф Михайлова Формулировка критерия. Для устойчивости системы необходимо и до- статочно, чтобы годограф Михайлова при изменении ω от 0 до ∞ начинался на вещественной оси в точке a 0 и проходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов, не обращаясь в ноль и стремясь к ∞ в n-м квадранте. Доказательство.Утверждение основано на расположении годографа Ми- хайлова на комплексной плоскости, поэтому проанализируем, как связаны корни характеристического уравнения i с видом функции ω ( ) F j . Поскольку полином (6.13) можно представить как произведение простейших сомножителей: 1 ( ) ( λ ) ... ( λ ), n F p p p (6.16) характеристический комплекс (6.14) также принимает вид: 1 ( ω) ( ω λ ) ... ( ω λ ). n F j j j (6.17) Его можно представить в форме: 1 φ (ω) φ (ω) 1 ( ω) (ω) (ω) n j j n F j A l A l (6.18) Из выражений (6.15) и (6.18) следует, что 1 (ω) (ω); n F i i A A (6.19) 1 (ω) (ω). n F i i (6.20) Если характеристическое уравнение системы содержит чисто мнимые корни, то, как следует из (6.19), (ω) 0 F A при определённом значении частоты 101 0 ω ω , так как при этом один из сомножителей обратится в ноль. В случае устой- чивой системы корни расположены только в левой полуплоскости плоскости корней и не могут быть чисто мнимыми, следовательно, в ноль годограф Михай- лова устойчивой системы не обращается. Определим теперь угол поворота вектора (ω) F при изменении частоты от 0 до ω. Поскольку φ (ω) F в соответствии с (6.20) есть сумма отдельных φ (ω), i то рассмотрим угол поворота каждого сомножителя выражения (6.17). Корень характеристического уравнения вещественный и отрицательный (λ α i i , α 0 i ). Соответствующий сомножитель в (6.17) имеет вид ( ω α ) i j Изобразим этот элементарный вектор на комплексной плоскости; при изменении ω от 0 до ∞ его вещественная часть остается неизменной и равна а i , а его мнимая часть возрастает до бесконечности (рис. 6.5). Рис. 6.5 – Элементарный вектор, соответствующий параметрам устойчивого вещественного корня Как видим, угол поворота элементарного вектора, соответствующего устойчивому вещественному корню, равен φ π 2 i Если корень характеристического уравнения вещественный положитель- ный (λ α ) i i , то угол поворота элементарного вектора ( ω ) i j a равен π 2 Рассмотрим теперь пару устойчивых комплексно-сопряжённых корней , 1 (λ α β ) i i i i j и соответствующий им угол поворота произведения (α β ω)(α β ω) i i i i j j j j (рис. 6.6). 102 Рис. 6.6 – Векторы, соответствующие устойчивым комплексно-сопряженным корням У этих двух векторов начальные фазы одинаковы по модулю φ 0 , но имеют противоположные знаки. При изменении ω от 0 до ∞ один вектор поворачивается на угол, равный 1 0 φ φ π 2 i , а второй – на угол 1 0 φ φ π 2 i Суммарный угол поворота для пары устойчивых комплексно-сопряжён- ных корней равен +π. Если комплексно-сопряжённые корни имеют положительную веществен- ную часть, то суммарный угол поворота равен –π. Таким образом, в устойчивой системе каждый из п корней даст прираще- ние фазы φ π 2 i , а общий угол поворота F(ω) согласно (6.20) равен +(π/2)n, что и требовалось доказать. Вид годографа Михайлова для устойчивых и не- устойчивых систем третьего порядка показан на (рис. 6.7). Im Re Re Im –a a 1 n = 3 n = 3 a 1 Устойчивая Неустойчивая Рис. 6.7 – Годограф Михайлова для устойчивых и неустойчивых систем третьего порядка Система будет находиться на границе устойчивости, если годограф Михай- лова при некотором значении частоты 0 ω ω обращается в ноль, т. е. при вы- полнении условия 0 0 (ω ) 0; (ω ) 0. F F R I (6.21) 103 Здесь частота ω 0 есть частота незатухающих колебаний системы. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Пример · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Оценить устойчивость системы, структурная схема которой имеет вид (рис. 6.8). y x 3 2 2 2 2 1 p p p Рис. 6.8 – Структурная схема системы Решение Определим передаточную функцию системы 3 2 2 2 2 3 p p p p W и запишем ее характеристический полином: 3 2 ( ) 2 2 3. F p p p p Заменой р на jω перейдем к выражению для годографа Михайлова: 3 2 ( ω) ω 2ω 2 ω 3, F j j j которое представим в форме: 2 3 ( ω) (ω) (ω) (3 2ω ) (2ω ω ). F F F j R jI j Для построения годографа Михайлова вычислим значения вещественной и мнимой части при конкретных значениях частоты и занесём их в таблицу: ω 0 1 1,22 1,41 … ∞ R F (ω) 3 1 0 –1 … ∞ I F (ω) 0 1 0,61 0 … ∞ По данным таблицы построим годограф Михайлова (рис. 6.9). 104 Рис. 6.9 – Годограф системы РА по критерию Михайлова Как видим, годограф проходит последовательно три квадранта, не обраща- ясь в ноль, и стремится кбесконечности в третьем квадранте. Следовательно, исследуемая система устойчива. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · |