Радиоавтоматика
 Скачать 2.39 Mb.
|
|
5.4 Выходной сигнал системы радиоавтоматики при произвольном воздействии Из определения передаточной функции системы РА следует, что преобра- зования Лапласа для выходного сигнала при нулевых начальных условиях ( ) ( ) ( ) Y p W p X p На основании теоремы свёртки сигнал на выходе будет иметь вид [3]: 0 τ τ τ. y t x t d (5.20) В нестационарных системах РА сигнал на выходе определяется как 0 τ , τ, t t y t x t d (5.21) где t 0 – время подачи входного сигнала. Выражения (5.20) и (5.21) позволяют определить выходной сигнал си- стемы РА при произвольном виде входных сигналов. 5.5 Комплексный коэффициент передачи и частотные характеристики Рассмотрим случай, когда на вход системы РА действует гармонический сигнал с амплитудой X m и частотой : sin ω . m x t X t (5.22) Сигнал на выходе системы при нулевых начальных условиях в соответ- ствии с выражением (5.5) имеет вид: 2 2 , ω m N p X Y p W p X p D p p (5.23) изображению (5.23) соответствует оригинал: λ 1 ω sin ω Res ω i n pt m m p i N i y t W p X p X t X Y p e D i (5.24) 85 В устойчивой системе все полюсы имеют отрицательные вещественные ча- сти, поэтому в установившемся режиме выходной сигнал имеет вид: lim ω sin ω ω , m t y t W j X t W j x t (5.25) т. е. на выходе системы также получается гармонический сигнал, частота кото- рого равна частоте входного сигнала. Отношение гармонического сигнала на выходе в установившемся режиме к гармоническому сигналу на входе называют комплексным коэффициентом пе- редачи или частотной характеристикой системы РА. Из выражения (5.25) сле- дует, что ω ω p j W j W p (5.26) Частотная характеристика системы РА может быть представлена в виде: ω ω ω , W j P jQ (5.27) где ω P – вещественная частотная характеристика; ω Q – мнимая частотная характеристика. Частотная характеристика системы РА в показательной форме имеет вид: φ ω ω ω , j W j W j e (5.28) где 2 2 ω ω ω W j P jQ – амплитудно-частотная характеристика; ω φ ω arctg ω Q P – фазочастотная характеристика. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) определяет зависимость от частоты отношения амплитуды сигнала на выходе системы к амплитуде сигнала на входе. Фазочастотная характеристика (ФЧХ) устанавливает зависимость сдвига фаз между входным и выходным сигналами. На плоскости комплексного переменного частотная характеристика изоб- ражается в виде вектора (рис. 5.3), который при изменении частоты от нуля до бесконечности описывает кривую, называемую амплитудно-фазовой характери- стикой или годографом частотной характеристики системы РА. 86 0 + = 0 +j 1 = 2 3 1 < 2 < 3 Рис. 5.3 –Годограф частотной характеристики системы РА В инженерной практике применяют логарифмические амплитудно-частот- ные характеристики. Логарифмическая АЧХ имеет зависимость: ω 20lg ω . W j (5.29) При построении ЛАЧХ (рис. 5.4) по оси ординат откладывают значение (5.29) в децибелах, а по оси абсцисс – частота в логарифмическом масштабе. Октава Декада , с –1 10 4 2 1 0,5 0,1 0 –10 –20 10 20 , дБ Рис. 5.4 –К описанию логарифмической частотной характеристики При построении логарифмической ФЧХ по оси ординат откладывают ее значение в радианах, используя десятикратное изменение частоты, называемое изменением на декаду, а двукратное – изменением на октаву. В ряде случаев воз- можно пренебрежение кривизной ЛАЧХ на небольших участках частот, поэтому построение ЛАЧХ производится отрезками прямых линий – асимптотами. Ос- новным достоинством ЛАЧХ является возможность их построения без вычисле- ний. 87 Наиболее характерный вид имеют ЛАЧХ при следующих значениях мо- дуля () частотной передаточной функции: а) k . В этом случае 20lg k есть постоянная величина и ЛАЧХ пред- ставляет собой прямую, параллельную оси абсцисс (рис. 5.5, а); б) Λ ω k . В этом случае 20lg – 20lgω k . При ω 1 имеем 20lg k и на протяжении одной декады (с увеличением в 10 раз) L уменьшается на 20 дБ. ЛАЧХ представляет собой прямую с наклоном –20 дБ/дек, проходящую через точку B с координатами [1; 20lg k ] (рис. 5.5, б); в) ω k . В этом случае 20lg 20lgω k . При ω 1 имеем 20lg k и на протяжении одной декады (с увеличением в 10 раз) L увеличива- ется на 20 дБ. ЛАЧХ представляет собой прямую с наклоном +20 дБ/дек, проходящую через точку B с координатами [1; 20lg k ] (рис. 5.5, в); г) 2 Λ 1 ω k T . В этом случае 2 2 20lg – 10lg 1 ω ( ) k T . При малых ча- стотах 2 2 ω 1 T и 20lgk . Это низкочастотная асимптота, парал- лельная оси абсцисс. При больших частотах 2 2 ω 1 T и 20lg –10lgω k T . Это высокочастотная асимптота с отрицательным наклоном 20 дБ/дек. Следовательно, асимптотическая ЛАЧХ образу- ется двумя асимптотами, которые сопрягаются при частоте 1 ω c T (рис. 5.5, г), так как при этой частоте удовлетворяются уравнения обеих асимптот; д) 2 Λ 1 ωτ k . В этом случае 2 2 20lg 10lg 1 ω ( τ ) k . ЛАЧХ образу- ется двумя асимптотами, которые сопрягаются на частоте 1 ω τ c , но высокочастотная асимптота имеет наклон +20 дБ/дек (рис. 5.5, д); 88 е) 2 2 2 2 4 4 2 2 2 Λ 1 2ω 2ξ 1 ω 1 ω 2ωξ k k T T T T , где ξ 1 . В дан- ном случае 2 2 2 4 4 20lg – 10lg 1 2ω 2ξ [ ] ω ( ) – 1 k T T . На малых ча- стотах 20lg k и на высоких частотах 20lg – 40lgω k T . Асимп- тотическая ЛАЧХ, как и в двух предыдущих случаях, составляется двумя асимптотами, которые сопрягаются при частоте ω 1/ с Т . Низко- частотная асимптота параллельна оси абсцисс, а высокочастотная имеет наклон –40 дБ/дек (рис. 5.5, е); ж) 2 2 2 2 2 2 2 4 4 Λ 1 ω τ 2ωξτ 1 2ω τ 2ξ 1 ω τ k k , где ξ 1 . В этом случае 2 2 2 4 4 20lg 10lg 1 2ω 2ξ [ τ – ω ( ] 1 τ ) k . Асимптотиче- ская ЛАЧХ составляется двумя асимптотами, которые сопрягаются при частоте ω 1/τ с . Низкочастотная асимптота 20lg k параллельна оси абсцисс, а высокочастотная имеет наклон +40 дБ/дек (рис. 5.5, ж). а) 0 дБ/дек 2 0 lg k –20 дБ/дек B 2 0 lg k б) +20 дБ/дек 2 0 lg k в) с 2 0 lg k +20 дБ/дек д) –40 дБ/дек с 2 0 lg k е) с 2 0 lg k +40 дБ/дек ж) г) с 2 0 lg k –20 дБ/дек Рис. 5.5 –Типовые асимптотические ЛАЧХ 89 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Контрольные вопросы по главе 5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1. Перечислите основные характеристики, описывающие процессы, про- исходящие в системах РА. 2. Что характеризуют корни числителя и знаменателя передаточной функ- ции, описывающей свойства системы радиоавтоматики? 3. Дайте определение свойств минимально-фазовой системы РА. 4. В каком случае система РА обладает неминимально-фазовыми свой- ствами? 5. Какие свойства системы РА описывают переходная и импульсная функции? 6. Какие свойства системы РА характеризует комплексный коэффициент передачи? 7. Дайте определение понятию изменения частоты на октаву и декаду. 90 6 Устойчивость линейных систем радиоавтоматики 6.1 Основные понятия и определения устойчивости систем Устойчивость это основное качественное свойство системы автоматиче- ского управления, без которого она неработоспособна. Физически понятие устойчивости системы означает, что процессы в системе с течением времени ( ) t стремятся к определённой величине при любых начальных условиях (рис. 6.1) [2–7]. t h(t) Устойчивая система Неустойчивая система Рис. 6.1 – Переходные характеристики системы Для устойчивой системы справедливо равенство: lim ( ) t h t k Также об устойчивости можно судить и по импульсным переходным ха- рактеристикам, которые для устойчивой системы удовлетворяют условию: lim ( ) 0 t t (рис. 6.2). (t) t Рис. 6.2 – Импульсная переходная характеристика 91 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Система устойчива, если после прекращения внешнего воз- действия она по истечении некоторого времени возвращается к тому состоянию равновесия или вынужденного колебания, в кото- ром находилась до начала воздействия. Оценка устойчивости системы – оценка принципиальной способности осуществлять регулирование системы автоматиче- ских систем, в том числе и систем РА, по заданным критериям по- казателей качества и с заданной точностью. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6.2 Условие устойчивости линейных систем В случае стационарной линейной или линеаризованной системы устойчи- вость определяется только ее структурой и параметрами и не зависит от внешних воздействий. Если к системе РА приложено задающее воздействие – ( ) ( ) z t g t и возмущающее воздействие (возмущение) – ( ) ( ) x t f t , то система уравнений в общем случае будет выглядеть так: 11 1 12 2 1 11 12 21 1 22 2 2 21 22 1 1 2 2 1 1 2 ; ; ...; , k k k k k k kk k k k Q y Q y Q y R g R f Q y Q y Q y R g R f Q y Q y Q y R g R f (6.1) где ; ( ) ( ) ij ij ij ij Q Q p R R p – линейные дифференциальные операторы с постоян- ными коэффициентами, некоторые из них могут равняться нулю, ( ) i i y y p – вы- ходные величины элементов системы РА (параметры напряжений управления). Система уравнений для стационарной системы может быть сведена к од- ному уравнению относительно одной из координат (чаще всего рассматривают уравнение САР для управляющего напряжения): 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) , n n m m n n m m l l l l a p a p a p a y b p b p b p b g c p c p c p c f (6.2) 92 где ( ) y y t – регулируемая величина; ( ) g g t – задающее воздействие; ( ) f f t – возмущающее воздействие; a, b, c – постоянные коэффициенты; n m и n l ; р – оператор Лапласа. Для оценки устойчивости необходимо исследовать свободную составляю- щую решения уравнения (6.2) или решение однородного уравнения: 1 1 1 0 ( ) 0. n n n n a p a p a p a y (6.3) Общим решением однородного уравнения (6.3) является сумма частных решений, которые определяются значениями корней характеристического урав- нения: 1 1 1 0 0. n n n n a p a p a p a Д (6.4) Коэффициенты уравнения (6.4) зависят только от параметров системы, способа соединения и параметров составляющих систему звеньев. Каждому вещественному корню α i соответствует частное решение вида i i t A e (6.5) Каждому вещественному корню α i кратности k соответствует k частных ре- шений вида 1 2 1 2 1 ( ) i k k i k i k i i t A t A t A t A e (6.6) Каждой паре комплексных сопряжённых корней α β i i j и α β i i j соответ- ствует два частных решения вида ( sinβ cosβ ) sin(β ψ ) i i i i i i i i i t t A t B t e C e t (6.7) (в частном случае α i может быть равно нулю). Каждой паре комплексных сопряжённых корней кратности k α β i i j и α β i i j соответствует 2k частных решений вида 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 α α ( sin β sin β sin β cosβ cosβ cos β ) ( sin(β ψ ) sin(β ψ ) ... sin(β ψ )) , i i k k k k k i k i i k i k i k k i k i k k i k i t t A t t A t t A t B t t B t t B t t e C t t C t t C t e (6.8) 93 где α ,β i i постоянные величины, а , , , A B C постоянные интегрирования всегда ограничены по абсолютной величине и зависят только от параметров си- стемы, способа соединения и параметров, составляющих систему звеньев (ана- логично коэффициентам характеристического уравнения), и определяются из си- стемы алгебраических уравнений, составленных на основании начальных усло- вий. Если характеристическое уравнение системы радиоавтоматики не имеет кратных корней (что весьма вероятно), тогда корни вычисляют приближённо и решение характеристического уравнения (6.4) согласно (6.5), (6.7) будет иметь только слагаемые вида α α и sin(β ψ ). i i i i i i t t A C e t e (6.9) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Пример · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Пусть корни характеристического уравнения α 1 , α 2 – кратности 2, 3 3 α , β j 3 3 α , β j ( 4 4 α β j и 4 4 α β j ) – кратности 3. Тогда свободная составляющая ре- гулируемой величины: 3 1 2 4 α α α 1 2 3 3 3 3 α 2 4 4 4 5 5 5 6 6 6 sin β ψ sin β ψ sin β ψ sin β ψ t t t t y A e A A t e C t e C t C t t C t t e Из решения уравнения (6.4) видно, что при неограниченном возрастании одного из слагаемых неограниченно возрастает по абсолютной величине и вся сумма, независимо от наличия членов с разными знаками (6.6). Поэтому присут- ствие одного положительного вещественного корня α 0 i достаточно для того, чтобы соответствующее ему слагаемое в решении уравнения (6.4) неограни- ченно возрастало по абсолютной величине. При наличии пары сопряжённых комплексных корней с положительной вещественной частью в решении уравне- ний (6.3) и (6.4) появляется гармоническое слагаемое (6.7) с неограниченно воз- растающей амплитудой. В обоих случаях система оказывается неустойчивой. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 94 Следовательно, для того чтобы линейная или линеаризованная система РА была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характери- стического уравнения имели отрицательную вещественную часть. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · |