Радиоавтоматика
 Скачать 2.39 Mb.
|
|
7 Анализ качества систем радиоавтоматики 7.1 Постановка задачи исследования качества работы систем радиоавтоматики При анализе качества работы систем РА исходят из того, что структурная схема и параметры звеньев системы известны. Требуется оценить качество ее ра- боты. Кроме устойчивости системы РА оцениваются рядом качественных пока- зателей, основными из которых являются точность работы системы, характер пе- реходного процесса и частотные свойства. Показатели качества работы зависят не только от характеристик системы РА, но и от свойств, действующих на неё сигналов. Известно, что на систему РА помимо сигналов (управляющих воздей- ствий) действуют возмущающие воздействия (помехи), снижающие точность её работы. Например, в системах стабилизации промежуточной частоты, в систе- мах автоматического сопровождения цели РЛС изменение температуры окружа- ющей среды, отклонения напряжений источников энергии от номинальных зна- чений, блуждание центра отражения радиолокационного сигнала от цели, шум электронных приборов приёмника являются возмущающими воздействиями. Законы изменения управляющих воздействий и помех, как правило, зара- нее неизвестны, поэтому качество работы систем РА определяется косвенными признаками, которые называются показателями качества работы системы. По реакции системы РА на скачкообразный сигнал судят о показателях ка- чества переходного процесса и статической ошибке системы. Динамическая ошибка работы систем РА оценивается при управляющем воздействии вида: 0 ( ) α . k i i i x t t (7.1) Частотные показатели качества работы системы РА определяются при гар- моническом входном сигнале. 118 Качество работы систем РА относительно случайных сигналов и помех ха- рактеризуется по суммарной средней квадратической ошибке. В системах автоматической стабилизации входной сигнал является посто- янной величиной, поэтому основными показателями качества таких систем яв- ляются характеристики переходного процесса и суммарная средняя квадратиче- ская ошибка. Качество работы следящих систем, входной сигнал которых явля- ется случайной функцией, оценивается не только по переходному процессу, но и по частотным характеристикам, динамической точности работы и суммарной средней квадратической ошибке. Для оценки качества работы систем РА применяются и косвенные ме- тоды. Эти методы базируются на вычислении интегральных оценок. Широко ис- пользуется квадратичная интегральная оценка: 2 2 2 2 1 2 0 ( ) α ( ) α ( ) ... α ( ) , k k J e t e t e t e t dt (7.2) где e(t) – ошибка системы, равная разности входного x(t) и выходного y(t) сигна- лов; i – постоянные коэффициенты; ( ) , ,..., k e e e – производные от ошибки. Качество работы системы РА определяется интегральной оценкой (7.1). Чем меньше ее значение, тем выше качество работы системы, и наоборот. Меняя значения коэффициентов i , можно изменять влияние на интегральную оценку производных от ошибки системы. Применение интегральных оценок наталкива- ется на ряд трудностей, одна из которых связана с тем, что по значению инте- гральной оценки нельзя судить о показателях качества и точности работы си- стемы РА, другая – с вычислением интеграла (7.2). 7.2 Показатели качества переходного процесса На переходные процессы в системах РА накладываются определённые ограничения, связанные с особенностями работы систем. Например, в системах автоматического сопровождения цели РЛС не допускаются большие углы откло- 119 нения антенны от установившегося значения, так как может произойти срыв со- провождения цели. Для повышения надёжности работы механических узлов ограничивается число колебаний антенны в переходном процессе. К основным показателям качества переходного процесса в системе РА от- носятся следующие параметры (рис. 7.1) [2]: 1) длительность переходного процесса t п , равная интервалу времени с мо- мента подачи сигнала до момента времени, когда выходной сигнал бу- дет отличаться от его установившего значения не более чем на 5%; 2) перерегулирование max γ 100% h h h , равное отношению разности между максимальным значением выходного сигнала в переходном про- цессе и установившимся значением ( ) h к установившемуся значению; 3) время установления первого максимума выходного сигнала t р , характе- ризующее скорость изменения в переходном процессе; 4) частота колебаний в переходном процессе 2π ω t T , где T – период ко- лебаний; 5) колебательность переходного процесса, равная отношению соседних перерегулирований (максимумов переходной характеристики): 100%. G C G t р G G t t п 1 T 0 h(t) Рис. 7.1 – Вид переходного процесса системы РА 120 Кроме перечисленных показателей также определяется число колебаний, наблюдаемых в течение переходного процесса. Для нахождения кривой переходного процесса используются аналитиче- ские методы, или она определяется с помощью ЭВМ. Установившееся значение выходного сигнала системы вычисляется по тео- реме о конечном значении. При единичном входном сигнале переходный про- цесс описывается уравнением: З З 0 1 lim (p) (0). p Y pW W p где З ( ) W p – передаточная функция замкнутой системы. В астатических системах РА установившееся значение выходного сигнала в переходном процессе равно единице, в статических системах – 1 K k Если сигнал на входе системы отличается от единицы, то в переходном процессе изменяется только масштаб выходного сигнала. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Пример · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Найти переходной процесс в системе ФАПЧ (рис. 3.12), передаточная функция которой в разомкнутом состоянии определяется выражением: УЭ ФНЧ ФД 1 ( ) 1 1 K pT W p p pT pT Решение Для упрощения постоянной времени фазового дискриминатора пренебре- жём, а постоянная времени управляющего элемента УЭ 0.04 с T и постоянная времени ФНЧ ФНЧ 0.1 с T . Общий коэффициент усиления системы 200. K То- гда передаточная функция замкнутой ФАПЧ в соответствии с правилами преоб- разования (табл. 4.2) и (4.30) будет иметь вид: З 200 1 0.04 ( ) 1 0.1 200 1 0.04 p W p p p p 121 Преобразование Лапласа для отклонения частоты генератора при измене- нии эталонной частоты на ω 1( ) : t З 2 200 1 0.04 ω ω ( ) ( ) 0.1 9 200 p H p p p p p p Полюсы системы: 1 λ –40 , 2 λ –50 Применив теорему о вычетах (5.10), найдём: 40 50 ( ) ω 1 3 4 t t h t e e На графике переходного процесса системы ФАПЧ (рис. 7.2) видно, что длительность переходного процесса п 0.75 с t , а γ 1.08 t, с 1.0 0.5 t п 0 h Рис. 7.2 –График переходного процесса в системе ФАПЧ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7.3 Частотные показатели качества Частотные показатели качества работы систем РА определяются по АЧХ замкнутой системы (рис. 7.3). АЧХ систем нормируются относительно значения АЧХ, на частоте, равной нулю, т. е. ее начальное значение равно единице. При этом следует отметить, что в астатических системах РА значение этой характе- ристики при частоте, равной нулю, равно единице, а в статических системах – 1 K k К частотным показателям качества работы систем РА относятся следую- щие параметры: 122 1) полоса пропускания п – диапазон частот, в котором АЧХ больше или равна единице. Если АЧХ замкнутой системы РА во всем диапазоне частот меньше единицы, то полоса отсчитывается по уровню 0.7; 2) резонансная частота р – частота, соответствующая максимуму АЧХ замкнутой системы, эта частота характеризует частоту колебаний в пе- реходном процессе; 3) показатель колебательности М – максимальное значение АЧХ за- мкнутой системы. Обычно этот показатель не должен превышать двух и соответствует колебательности переходного процесса системы. п p 1 0 W З (j) М Рис. 7.3 – Нормированная АЧХ замкнутой системы РА Частотные показатели замкнутой и разомкнутой систем связаны соотно- шением: Р 1 φ ω Р З Р Р ω 1 ω 1 , 1 ω ω j W j W j e W j W j где Р ω W j , Р φ ω – АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы. Из последнего выражения находим, что З Р 2 Р Р Р З Р Р 1 ω ; 1 2 1 cos φ ω ω ω sin φ ω φ ω arctg , ω cosφ ω W j W j W j W j (7.3) или при Р φ ω π φ ω – АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы. 123 З 2 Р Р Р З Р 1 ω ; 1 2 1 cos φ ω ω ω sin φ ω φ ω arctg ω cos φ ω W j W j W j W j (7.4) Из уравнений (7.3) и (7.4) следует, что в диапазоне частот, в котором Р ω 1 W j , АЧХ замкнутой системы равна единице, а ФЧХ мало отличается от нуля. В диапазоне частот, где Р ω 1 W j , характеристики З ω W j и З φ ω сов- падают с характеристиками разомкнутой системы. На частоте, равной полосе пропускания, АЧХ замкнутой системы равна единице. Тогда, согласно (7.4), П П 1 ω 2cos φ ω W j (7.5) В диапазоне частот среза и пропускания логарифмическая АЧХ разомкну- той системы имеет наклон –20 дБ/дек. Поэтому ФЧХ в этом диапазоне частот изменяется незначительно и можно принять, что П ср φ ω φ ω φ . Тогда выражение (7.5) принимает вид: П 1 ω 2cos φ W j Полоса пропускания и частота среза связаны соотношением: П Р П ср ω 20lg 20lg ω . ω W j Отсюда П ср ω 2ω cos φ. (7.6) Значение показателя колебательности системы РА можно определить, если исследовать на максимум выражение (7.4). В диапазоне частот, в котором распо- ложена резонансная частота, ФЧХ разомкнутой системы изменяется незначи- тельно и приблизительно равна этой характеристике на частоте среза. Поэтому для отыскания максимума (7.4) можно продифференцировать это выражение по 124 Р ω W j и результат приравнять к нулю. В результате получим, что максимум АЧХ замкнутой системы получается при Р 1 ω cos φ W j . Подставив это выра- жение в (7.4), найдём, что колебательность системы связана с запасом устойчи- вости по фазе выражением: 1 sin φ M (7.7) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Пример · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Оценить частотные показатели качества работы системы фазовой автопод- стройки частоты, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии: Р 2 40 1 ω0.25 ω ω 1 ω0.5 1 ω0.025 j W j j j j Решение На основе построения ЛАЧХ разомкнутой и замкнутой систем (рис. 7.4) видно, что запас устойчивости по фазе равен 0.89 рад; –1 П ω 12.5 с ; 1.2 М 4 16 64 1 р 30 20 з – –/2 10 , дБ , рад , с –1 р 0 Рис. 7.4 – Оценка частотных показателей системы ФАПЧ Оценка показателей по формулам (6.6) и (6.7) позволяет получить следую- щие результаты: –1 П ω 12.6 с ; 1.28 М , т. е. оценка параметров АЧХ по этим формулам обеспечивает достаточную для практики точность. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 125 7.4 Анализ точности работы систем радиоавтоматики Как отмечалась, системы РА подразделяются на статические и астатиче- ские. В статических системах ошибка в установившемся режиме не равна нулю, а в астатических – равна нулю (рис. 7.5). t 0 е с е 2 1 Рис. 7.5 – Временная зависимость ошибки статической (1) и астатической (2) систем Передаточная функция астатической системы относительно сигнала имеет вид: ( ) 1( ) x t c t . В соответствии с определением передаточной функции ошибки (4.32) ( ) ( ) ( ) ( ) e e W p C E p W p X p p . Ошибка в установившемся режиме, называе- мая статической, на основании теоремы преобразования Лапласа о конечном зна- чении функции имеет вид: c 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) . e t p p e e t pE p W p C (7.8) Из выражения (7.8) следует, что статическая ошибка равна нулю, если пе- редаточная функция ошибки содержит множитель p (имеет нуль в точке 0 p ), в противном случае статическая ошибка не равна нулю. Для астатической системы относительно других видов сигнала передаточ- ная функция ошибки для системы с астатизмом порядка содержит множитель p (имеет нуль порядка в точке 0 p ). В такой системе ошибка в установив- шемся режиме равна нулю при входном сигнале 1 ( ) x t c t . Из передаточной функции ошибки (4.34) следует, что система РА имеет порядок астатизма, если передаточная функция разомкнутой системы содержит интегрирующих зве- ньев (имеет полюс порядка в точке 0 p ). 126 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Пример · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Найти передаточные функции и ошибку в системе ФАПЧ (рис. 3.12), в ко- торой ФНЧ описывается передаточной функцией: 2 фнч 1 1 1 k pT W p pT Решение Все звенья в цепи сигнала ошибки от до г включены последовательно, поэтому 2 Р 1 ФД 1 , 1 1 k pT W p p pT pT (7.9) где ФД ФНЧ УЭ ПГ k k k k k – коэффициент передачи системы ФАПЧ; T ФД – постоянная времени фазового детектора. Передаточная функция замкнутой системы в соответствии с выражением (4.30) записывается в виде: 2 З 1 ФД 2 1 1 1 1 K pT W p p pT pT K pT Передаточная функция ошибки определяется по (4.33): 1 ФД e 1 ФД 2 1 1 1 1 1 p pT pT W p p pT pT K pT Из найденных передаточных функций следует, что система ФАПЧ имеет первый порядок астатизма, поэтому ее статическая ошибка равна нулю. При сиг- нале э ω ct ошибка определяется по (7.8) и имеет вид: 2 0 lim e p c c e pW p p K Это выражение определяет динамическую ошибку системы ФАПЧ. Как мы видим, помимо статических ошибок, которые были рассмотрены выше, точность работы систем РА характеризуется динамическими, а также пе- реходными и среднеквадратическими ошибками (рис. 7.6). 127 е д t 0 е п е y x Рис. 7.6 – Временная зависимость динамической и переходной ошибок систем РА · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Динамическая ошибка Д e – ошибка в установившемся режиме работы си- стемы при действии на неё нестационарного сигнала. Переходная ошибка П e – ошибка при работе системы в переходном про- цессе, который возникает при отработке начального рассогласования. Динамическая точность работы систем РА определяется при медленно из- меняющихся входных сигналах (воздействия, число производных от которых ограничено). Сигнал (6.1) относится к медленно изменяющему воздействию, так как число производных от этого сигнала, не равных нулю, равно K, а 1 K – про- изводная, равна нулю. Гармонический сигнал не является медленно изменяю- щимся, так как число производных от него равно бесконечности. Переходные процессы в системах РА затухают значительно быстрее по сравнению с изменением медленно изменяющегося сигнала, поэтому и достига- ется установившийся динамический режим работы системы. В соответствии с определением передаточной функции ошибки (4.32) пре- образование Лапласа для ошибки системы определяется по соотношению: 2 0 1 2 1 1 2 ! k e k E p W p X p C C p C p C p X p k (7.10) или в области действительного переменного: 0 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ). 2 ! k k e t C x t C x t C x t C x t k (7.11) Число слагаемых в последнем выражении ограничено, так как сигнал x(t) является медленно изменяющимся воздействием. Для нахождения неизвестных 128 коэффициентов C i , которые называют коэффициентами ошибки, известны три способа. Первым способом эти коэффициенты вычисляются по формуле: 0 ! k k e k p d С k W p dp Вторым способом коэффициенты ошибок находятся путем деления числи- теля передаточной функции ошибки на ее знаменатель. Наиболее удобным является третий способ. Передаточную функцию ошибки представим в виде: 1 1 1 0 1 1 1 0 n n n n e n n n n b p b p b p b W p a p a p a p a Перемножив полином знаменателя на (7.9), получим: 1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 1 0 1 1 2 ! n n k n n k n n n n a p a p a p a C C p C p C p k b p b p b p b (7.12) Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях p слева и справа в вы- ражении (7.12), определим формулы для последовательного вычисления коэф- фициентов ошибок. В результате найдём, что 0 0 1 1 1 0 2 2 2 0 1 1 0 0 0 1 2 , , b C C b a C C b a C a C a a a Из выражения (7.11) следует, что коэффициенты ошибок имеют размер- ность C i В инженерных расчётах коэффициенты ошибок удобнее рассчитывать че- рез коэффициенты передаточной функции разомкнутой системы: 1 1 0 Р 1 1 0 m m m m n n n n K d p d p d W p p b p b p b (7.13) В таблице 7.1 приведены формулы для расчета первых трех коэффициен- тов ошибок статических и астатических систем РА через параметры передаточ- ной функции (7.12) [2]. |