Радиоавтоматика
 Скачать 2.39 Mb.
|
|
Решение В соответствии с выражением (7.26) спектральная плотность будет равна 2 2 2 к0 0 1 к к 2 4 4 2 2 2 2 к к 2 1 0 1 ω ω ω ω 4ξ ω 1 ω ω ω T b b j N N T T a j a j a Из последнего выражения найдём, что 0 1 0 1; ; к b b T 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1; ; ξ 2 к к a T a a T Таким образом, передаточная функция формирующего фильтра имеет вид: к0 фк к 2 2 к к к 1 , 2ξ 1 T p W p N p T p T p (7.27) где 2 к 2ξ 2 2ξ 1 . На вход формирующего фильтра с передаточной функцией (7.27) нужно подать белый шум с уровнем спектральной плотности N к · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Пример · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Определить среднюю квадратическую ошибку системы автоматического сопровождения цели РЛС, передаточная функция которой в замкнутом состоя- нии имеет вид: 2 З 1 3 1 , 1 1 pT W p pT pT где 1 0.37 с T ; 2 0.5 с T ; 3 0.14 с T На систему поступают: 1. Сигнал, обусловленный перемещением сопровождаемой цели относи- тельно РЛС, установленной на летательном аппарате. Математическое ожидание и спектральная плотность случайной составляющей этого сигнала определяется выражениями: 139 к 2 2 2 α , ω , ω 1 ω x x x N m t S T где –1 α 0.175 рад с ; –4 2 3.05 10 рад с x N ; 20 с x T 2. Случайное воздействие, возникающее из-за колебаний летательного ап- парата относительно центра масс. Спектральная плотность этого воздействия: 2 2 к0 к к 2 4 4 2 2 2 к к 1 ω ω , ω ω 4ξ ω 1 T S N T T где –4 2 к 0.15 10 рад N ; к 0.4 с T ; к0 2.5 с T ; 2 4ξ 1 . 3. Угловой шум, возникающий из-за того, что центр отражения радиолока- ционного сигнала «блуждает» по сопровождаемой цели. Этот шум можно счи- тать белым с уровнем спектральной плотности 2 yω 0.25 / S L R , где L – геомет- рический размер цели; R – дальность до сопровождаемой цели. 4. Помехи, обусловленные тепловым шумом приёмника РЛС и флуктуаци- ями отражённого от цели сигнала. Эти воздействия при анализе можно считать белыми шумами и объединить в одно воздействие с уровнем спектральной плот- ности ф ф ω S N , где –6 ф 0.31 10 рад с N Решение Математическое ожидание (динамическая ошибка системы) в соответ- ствии с выражением (7.15): 2 1 3 2 2 0 ра α lim α 0.17 д, 10 e e p m pW p T T T p где З 1 e W p W p – передаточная функция ошибки системы автоматического сопровождения цели РЛС. Дисперсия ошибки системы относительно случайной составляющей сиг- нала вычисляется по формуле (7.22), в которой спектральная плотность под зна- ком интеграла: 2 ф ω ω ω , ex x e x S N W j W j 140 где ф 1 ω ω 1 ω x x W j j j T – частотная характеристика формирующего фильтра сигнала. Таким образом, дисперсия ошибки относительно сигнала будет опреде- ляться как 2 2 2 З П З П З П 2 2 2 2 1 σ ω ω ω ω 2π ω ω ω ω ω ω ω σ σ σ σ . e e x e x e x ex eп exп епх W j S W j S W j W j S W j W j S d (7.28) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Таким образом, средняя квадратичная ошибка исследуемой системы рав- няется сумме квадратов ошибок, обусловленных действиями на систему мешаю- щих воздействий и помех. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Контрольные вопросы по главе 7 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1. Перечислите показатели качества систем РА. 2. Какова реакция системы РА на скачкообразный сигнал? 3. Какие методы используются для оценки показателей качества системы РА? 4. Перечислите основные показатели качества переходного процесса в си- стемах РА. 5. Перечислите частотные показатели качества работы системы РА. 6. Для каких систем РА значение ошибки регулирования равно нулю, а для каких – не равно нулю? 7. Дайте определение эффективной полосе пропускания системы РА. 141 8 Основы проектирования систем радиоавтоматики 8.1 Постановка задачи Задача проектирования системы РА состоит в выборе структурной схемы параметров и способа технической реализации системы из условия обеспечения требований, которые следуют из назначения проектируемой системы и обеспе- чения заданных характеристик. Один из возможных способов описания требова- ний к проектируемой системе – задание показателей качества работы системы, таких как статическая, динамическая и среднеквадратическая ошибки системы. Это справедливо, когда известны характеристики системы управляющих и воз- мущающих воздействий. Детерминированные воздействия должны быть заданы как функции времени или их производные. Для случайных сигналов и помех должны быть известны их корреляционные функции или спектральные плотно- сти. При такой постановке синтез системы сводится к выбору структурной схемы, с помощью которой можно обеспечить заданные показатели качества ра- боты системы РА. Если характеристики управляющих и возмущающих воздействий из- вестны, то систему РА можно спроектировать как оптимальную, обеспечив ми- нимальное значение суммарной среднеквадратической ошибки. Решить эту за- дачу позволяет теория оптимальных фильтров Н. Винера и Р. Калмана, примени- мая к проектированию оптимальных систем РА. Возможна иная постановка за- дачи синтеза оптимальных систем, с учётом достижения минимума функционала (критерия качества). 0 ( ) ( ) , T e u J v t v t dt (8.1) где 2 2 2 1 ( ) ( ) α ( ) ... α ( ) k e k v t e t e t e t – квадратичная форма относительно ошибки системы e t ; 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k u k v t u t q u t q u t – квадратичная форма относительно сигнала управления ( ) u t ; T – время работы системы. 142 Первая квадратичная форма в функционале (8.1) выбирается из требова- ний, предъявляемых к точности проектируемой системы, вторая учитывает огра- ничения на сигнал управления. При этом задача оптимального синтеза формули- руется следующим образом. Из допустимого множества ( ) u t необходимо вы- брать и технически реализовать такой сигнал управления, который переводит объект управления из начального состояния в конечное и минимизирует функ- ционал (8.1). Для решения таких задач используются методы вариационного ис- числения, принцип максимума Л. С. Понтрягина, метод динамического програм- мирования Р. Белмана. Здесь возможны два случая: 1) полностью известна информация о состоянии объекта управления; 2) информация об объекте управления неполная или вообще неизвестна. Во втором случае при синтезе системы возникает дополнительная задача оценки состояния объекта управления, на основании которой формируется опти- мальный сигнал управления. Синтез оптимальных систем из условия минимума функционала (8.1) свя- зан с рядом трудностей. Одна из трудностей состоит в том, что в настоящее время нет каких-либо методов, позволяющих связать коэффициенты квадратичных форм функционала (8.1) i и q i , с заданными показателями качества работы про- ектируемой системы. Поэтому в процессе синтеза системы приходится рассчи- тывать большое число вариантов оптимальных систем с различными видами квадратичных форм и их коэффициентов, объем расчётов при этом может быть весьма значительным. Другая трудность связана с реализацией найденных опти- мальных алгоритмов управления, которые получаются особо сложными и могут быть реализованы лишь приближённо. Вследствие отмеченных трудностей ме- тоды проектирования оптимальных систем из условия минимума функционала (8.1) в основном используются в научных исследованиях для оценки предельных соотношений и мало пригодны в инженерных задачах проектирования систем РА. 143 В данной главе рассматривается синтез систем РА из условия обеспечения допустимых ошибок в системе и удовлетворения других показателей качества работы. Такой метод называют динамическим синтезом систем РА. Помимо требований к качеству функционирования в процессе синтеза си- стем РА предъявляются требования и к их сложности. Всегда желательно, чтобы спроектированная система была простой, а требования к элементам системы – минимальными. В качестве функционала сложности системы можно применять следующий интеграл [8]: 2 2 Р 1 ω ω ω, 2π J W j d (8.2) где p ω ( ) W j – частотная характеристика разомкнутой системы; v – порядок аста- тизма. Чем меньше значение интеграла (8.2), тем ниже требования к устройствам системы. Помимо требований к качеству работы проектируемой системы РА, к ее сложности предъявляется и ряд требований, связанных с надёжностью работы системы, стабильностью ее характеристик при изменении условий окружающей среды, эксплуатацией, массой, габаритами и т. п. В настоящее время теория оп- тимальных систем не позволяет объединить всю совокупность требований к про- ектируемой системе в виде единого критерия, поэтому удовлетворение их во многом зависит от опыта и квалификации инженера-исследователя. 8.2 Синтез передаточной функции разомкнутой системы радиоавтоматики Синтез систем РА имеет своей целью выбор ее структуры и параметров так, чтобы удовлетворялись определённые (заданные) требования к качеству ре- гулирования. При этом известен объект регулирования, т. е. имеются его харак- теристики (математическое описание), а иногда уже выбраны основные функци- ональные элементы регулятора. 144 Синтез объекта регулирования есть лишь один из этапов ее проектирова- ния. Синтезу предшествует по крайне мере следующее: 1. Исследование объекта регулирования для определения его динамиче- ских свойств и условий, в которых его используют. Динамические свойства определяют теоретически или на основе экспериментальных исследований и фиксируют в виде дифференциального уравнения (си- стемы уравнений) или передаточной функции. 2. Составление требований к качеству регулирования. Требования опре- деляются назначением объекта, а также опытом проектирования и экс- плуатации системы подобного класса. 3. Выбор основных элементов регулятора (датчика регулируемой вели- чины, элемента сравнения, усилителя и исполнительного элемента) и определение их динамических свойств. При синтезе систем РА полагают, что по известным характеристикам управляющих и возмущающих воздействий определены допустимые значения ошибок по положению, скорости, ускорению, ширине полосы пропускания, найденной из условия обеспечения требуемого значения средней квадратиче- ской ошибки, а также допустимая колебательность системы. Требования к ука- занным ошибкам формулируются в виде следующих неравенств: 0 0д д д ; ; , x x x x x x e e e e e e (8.3) где 0 x e ; x e ; x e – ошибки проектируемой системы по положению, скорости и уско- рению. На первом этапе задача синтеза систем РА состоит в нахождении желае- мой передаточной функции разомкнутой системы, которая позволяет удовле- творить заданные требования к проектируемой системе РА. Очевидно, что жела- емую передаточную функцию разомкнутой системы следует формировать в бо- лее простом виде. Желаемая передаточная функция разомкнутой системы имеет вид: 145 РЖI 1 3 4 ; 1 1 1 n i i K W p pT pT pT (8.4) РЖII 2 1 3 4 1 1 1 n i i K W p pT pT pT (8.5) При синтезе систем с астатизмом первого порядка передаточная функция определяется по выражению: 2 РЖI 1 3 4 1 ; 1 1 1 n i i K pT W p p pT pT pT (8.6) 2 РЖII 2 1 3 4 1 1 1 1 n i i K pT W p p pT pT pT (8.7) При проектировании систем с астатизмом второго порядка желаемая пере- даточная функция разомкнутой системы имеет вид: 2 РЖII 2 3 4 1 , 1 1 n i i K pT W p p pT pT (8.8) где Π – знак произведения. Задача синтеза систем РА сводится к определению по заданным показате- лям качества параметров желаемой передаточной функции K, Т 1 , Т 2 и T 3 . Звенья с постоянными времени T i в такой функции учитывают влияние на проектируе- мую систему РА устройств с малыми постоянными времени (например, прием- ника РЛС в системе автоматического сопровождения цели и т. п.). Прежде чем рассматривать методику нахождения параметров желаемой передаточной функции, проанализируем типичные логарифмические АЧХ, соот- ветствующие передаточным функциям (8.6) и (8.7) (рис. 8.1). На этих характери- стиках различают три диапазона частот. Вид характеристики в диапазоне низких частот (ДНЧ) характеризует точность работы системы относительно управляю- щего воздействия. В диапазоне средних частот (ДСЧ) находится частота среза. В 146 этом диапазоне частот вид характеристики определяет запас устойчивости по фазе, полосу пропускания, показатели качества переходного процесса. Вид ха- рактеристики в диапазоне высоких частот (ДВЧ) влияет на запасы устойчивости в системеРА. 1 2 ср 3 4 ДНЧ ДСЧ ДВЧ р K Рис. 8.1 – ЛЧХ разомкнутой системы Найдем параметры желаемой передаточной функции системы с астатиз- мом первого порядка (8.6). По заданному значению колебательности системы и формуле (8.7) вычисляют запас устойчивости по фазе: 1 φ arcsin M (8.9) Требуемое значение полосы пропускания и выражение (7.6) позволяют рассчитать частоту среза проектируемой системы: ср ω ω 2cos φ п (8.10) По допустимым значениям ошибок по скорости и ускорению находят ко- эффициенты ошибок: 0 1 2 2 0, , , x x m m e e C C C x x (8.11) где m x , m x – максимальные значения первой и второй производных от управля- ющего воздействия. 147 Коэффициент ошибки по скорости определяет коэффициент усиления в си- стеме РА: 1 1 K C (8.12) Для нахождения постоянных времени Т 1 и Т 2 , установим связь частот со- пряжения 1 1 ω 1/T и 2 2 ω 1/T с коэффициентом усиления и частотой среза. Из рисунка 8.1 следует, что ср 1 2 1 1 ω ω 20lg , ω 20lg ω ω K (8.13) Наклон характеристики между частотами 1 и 2 равен –40 дБ/дек, по- этому 2 1 2 1 ω ω ω 40lg ω (8.14) Согласно (8.13) и (8.14), 2 1 ср 1 2 ω ω ω K T T (8.15) Постоянные времени Т 1 и Т 2 можно получить и из выражения для коэффи- циента ошибки по ускорению: 1 3 2 4 1 2 2 2 1 2 2 n i i T T T T T T C K K K (8.16) Упрощения в (8.16) не приводят к невыполнению требований по точности работы проектируемой системы РА. Из выражений (8.15) и (8.16) находим, что 2 ср 2 2 1 ср ср ω 1 , 2 ω ω KC KT T T K (8.17) Постоянная времени T 3 функции (8.6) определяется условием обеспечения в проектируемой системе запаса устойчивости (8.9): ср 1 ср 2 ср 3 ср 4 π φ arctgω arctgω arctgω arctgω 2 n i i T T T T (8.18) 148 При высоких требованиях к точности работы системы не всегда можно удовлетворить заданные условия, используя функцию (8.6), поэтому приходится применять более сложную передаточную функцию (8.7). Коэффициент усиления в этом случае вычисляют по формуле (8.12), а постоянные времени T 1 и T 2 в со- ответствии с выражениями: 1 2 2 1 2 ср ср 1 ; , 4 ω ω KC K K T T T (8.19) тогда постоянную времени Т 3 рассчитывают по формуле ср 1 ср 2 ср 3 ср 4 π φ 2arctgω 2arctgω arctgω arctgω 2 n i i T T T T (8.20) Аналогично определяются параметры желаемых передаточных функций статических систем РА (8.4) и (8.5) и систем с астатизмом второго порядка (8.8). |