Радиоавтоматика
 Скачать 2.39 Mb.
|
|
8.4 Синтез систем с неполной информацией о воздействиях Ранее, при динамическом синтезе систем РА полагали, что характеристики управляющих воздействий и помех известны, т. е. заданы их математические ожидания и спектральные плотности случайных составляющих. 159 На практике это не всегда так. Характеристики воздействий обычно из- вестны не полностью. Кроме того, они изменяются в процессе работы системы, поэтому показатели качества работы могут оказаться ниже расчётных. Построение систем РА с использованием адаптивных систем позволяет ис- ключить зависимость показателей качества работы от изменения характеристик воздействия и нестабильности параметров устройств. На практике используют так называемые робастные системы (от английского слова robust – грубый) [3]. Техническая реализация таких систем РА, по сравнению с адаптивными систе- мами, намного проще, что является их существенным преимуществом. Синтез робастных систем может быть выполнен различными методами. Применительно к задачам синтеза систем РА целесообразно использовать метод, основанный на известных средних квадратических значениях управляющего воздействия и его производных. Данный метод не связан с конкретной формой спектральной плотности управляющего сигнала, поэтому ее изменение не при- водит к несоблюдению точности работы системы РА. Рассматриваемый метод синтеза систем РА сводится к выбору частотной характеристики ошибки из условия непревышения средней квадратической ошибкой заданного значения. После этого можно сформулировать требования к частотной характеристике разомкнутой системы. Дисперсия ошибки относительно управляющего воздействия в соответ- ствии с выражением (8.22) определяется как 2 2 0 1 ω ω ω , 2π ex e x e W j S d D (8.43) где ω ( ) е W j – частотная характеристика ошибки; D e0 – допустимое значение дис- персии ошибки. Представим квадрат АЧХ ошибки в следующем виде: 2 2 4 2 0 1 ω ω ω ω . n e e n W j c c c c (8.44) Тогда дисперсия ошибки (8.43) 2 0 0 1 1 2 2 , ex n n c D c D c D c D (8.45) 160 где D 0 – дисперсия управляющего воздействия; D 1 – дисперсии производных; с i – постоянные коэффициенты. Задача синтеза системы состоит в выборе характеристики ω ( ) е W j , удовле- творяющей условию (8.43). Если известна только дисперсия управляющего воз- действия D 0 , то из выражения (8.45) следует, что 0 0 0 / e с D D и частотная харак- теристика ошибки проектируемой системы должна удовлетворять условию 0 0 0 0 0 σ ω ω , σ e e e e D W j W j D (8.46) где 0 | ( ω) | е W j – АЧХ ошибки, составленная по априорным сведениям об управ- ляющем воздействии. Таким образом, ошибка не должна превышать значения (8.46) в диапазоне частот, в котором возможны спектральные составляющие управляющего воздей- ствия. В том случае, если известна только дисперсия первой производной управ- ляющего воздействия D 1 , то 1 0 1 / е с D D и частотная характеристика ошибки про- ектируемой системы должна удовлетворять условию: 0 0 0 1 1 σ ω ω ω ω σ e e e e D W j W j D (8.47) Если известна только дисперсия второй производной управляющего воз- действия, то 2 2 0 0 0 2 2 σ ω ω ω ω σ e e e e D W j W j D (8.48) От ограничений, накладываемых на АЧХ ошибки, можно перейти к требо- ваниям, которым должна удовлетворять частотная характеристика разомкнутой проектируемой системы, т. е. следует, что з р ω ω ω e W j W j W j (8.49) Так как на частотах меньше частоты среза з ω ( | 1 | ) W j , то условия (8.46)– (8.48) выполняются, если 161 р0 0 1 ω , ω e W j W j (8.50) а ФЧХ разомкнутой системы может быть произвольной. На частотах больше частоты среза з р | ( ) | | ( | ω) , ω W j W j и поэтому вид ча- стотной характеристики разомкнутой системы не влияет на точность системы РА и может быть произвольным, но при этом требования к запасам устойчивости должны соблюдаться. Выполнение условия (8.50) гарантирует, что динамическая ошибка будет не выше заданной. Очевидно, выражениям (8.46) и (8.50) (рис. 8.9) соответствует прямая ли- ния, параллельная оси частот и отстоящая от нее на 0 0 20lg σ /σ e , условиям (8.47) и (8.50) – прямая с наклоном –20 дБ/дек, которая пересекает ось абсцисс на ча- стоте, равной 1 0 σ /σ e , а условиям (8.48) и (8.50) – прямая с наклоном –40 дБ/дек, которая начинается на оси абсцисс с частоты 2 0 σ /σ e . Эти прямые образуют за- претную область, в которой не должна располагаться низкочастотная часть ло- гарифмической АЧХ разомкнутой проектируемой системы РА. Частоты, соот- ветствующие точкам излома запретной области, вычисляют по формулам: 1 1 0 2 2 1 3 2 0 ω σ /σ ; ω σ /σ ; ω σ /σ . c (8.51) Рассмотрим ограничения на вид АЧХ разомкнутой проектируемой си- стемы из-за действия помехи, спектральная плотность которой известна и посто- янна в пределах полосы пропускания системы РА (помеха в виде белого шума). Тогда дисперсия ошибки из-за действия помехи определяется в виде 2 п п эф σ , e N f (8.52) где f эф – эффективная полоса пропускания системы; N п – уровень спектральной плотности белого шума помехи. 162 1 0 σ σ e 0 3 2 1 –20 дБ/дек р0 0 σ 20lg σ eo –40 дБ/дек Рис. 8.9 –ЛЧХ запретной области относительно динамической ошибки Задача синтеза системы РА заключается в том, чтобы суммарная средняя квадратическая ошибка системы не превышала допустимого значения: 2 2 п 0 σ σ σ σ , e ex e e (8.53) где еп – средняя квадратическая ошибка из-за действия помехи. Условие (8.53) накладывает противоречивые требования к проектируемой системе РА. С одной стороны, средняя квадратическая ошибка относительно сигнала должна быть меньше е0 , так как в противном случае не будет выполнено условие (8.53), а с другой – не должна превышать этого значения и составляющая ошибки еп . Поэтому эффективная полоса пропускания проектируемой системы определяется неравенством: 2 0 эф п σ e f N (8.54) Таким образом, при синтезе системы РА необходимо обеспечить одновре- менное удовлетворение условий (8.50) и (8.54). Если эти условия выполнить од- новременно невозможно, то при заданном значении е0 решения задачи проекти- рования робастной системы РА не существует. Определим, какие ограничения накладывает условие (8.54) на АЧХ разо- мкнутой системы. С этой целью рассмотрим типовую логарифмическую АЧХ, низкочастотные участки которой содержат асимптоты с наклонами –20, –40 или –60 дБ/дек. При этом всегда в области частоты среза наклон логарифмической 163 АЧХ равен –20 дБ/дек, так как только в этом случае можно обеспечить необхо- димый запас устойчивости по фазе. В [8] показано, что для систем РА с такими наклонами логарифмической АЧХ разомкнутой системы эффективная полоса пропускания системы с доста- точной для практики точностью определяется по формуле: 0 эф ω , 2 l f (8.55) где 0 – частота, соответствующая точке пресечения асимптоты логарифмиче- ской АЧХ с наклоном –20 дБ/дек с осью абсцисс; l – коэффициент, равный1, 2 или 3, в зависимости от наклона асимптоты, для которой определена частота 0 Согласно (8.54) и (8.55), 2 0 0 п 2σ ω e lN (8.56) Это выражение определяет крайнее допустимое положение логарифмиче- ской АЧХ разомкнутой проектируемой системы РА, т. е. границу запретной об- ласти, в которой не должна располагаться логарифмическая АЧХ разомкнутой системы. Построение запретной области осуществляется следующим образом. На оси абсцисс (рис. 8.10) через точку 2 0 0 п 2σ ω e lN проводят прямую с наклоном –20 дБ/дек, а через точки 0 /2 и 0 /3 – прямые с наклонами –40 и –60 дБ/дек. В результате формируется запретная область, заштрихованная на рисунке 8.10, а. Требование к точности работы проектируемой системы РА, относительно возмущающего воздействия выполняется, если ее логарифмическая АЧХ не за- ходит в запретную область. На рисунке 8.10, б показаны две запретные области, определённые ранее. Для обеспечения в проектируемой системе РА заданной точности необходимо, чтобы выбранная логарифмическая АЧХ разомкнутой системы не располагалась в запретных областях и удовлетворяла требованиям к запасам устойчивости. На рисунке 8.10, б такая характеристика показана пунктиром. Если запретные обла- 164 сти перекрываются, то синтез робастной системы при заданных точностных ха- рактеристиках невозможен. Для гарантированного получения заданной точности должен быть обеспечен некоторый интервал между левой и правой запретными областями, минимальная ширина которого должна составлять около четверти де- кады. –60 дБ/дек 0 0 0 /2 0 /3 р0 –20 дБ/дек р0 ср 3 2 1 0 0 0 /2 р () 0 /3 –40 дБ/дек а) б) Рис. 8.10 –ЛЧХ запретной области относительно возмущающего воздействия (а) и ЛЧХ общей запретной области (б) 8.5 Комплексные системы Системы РА, которые формируются не только на базе радиотехнических устройств, но и на базе устройств других типов (например, гироскопических при- боров, инерциальных систем и др.), называют комплексными. Подобные системы широко применяются при навигации для определения координат и параметров движения различных объектов (например, для измерения скорости летательного аппарата и угла сноса относительно расчётной траектории используется гироско- пическая система с доплеровским измерителем). Для измерения высоты полёта применяются барометрический и радиолокационный высотомеры. Для ком- плексной системы РА характерно наличие нескольких параллельно работающих каналов с различными датчиками измерения той же информации (рис. 8.11). На рисунке 8.11 показана типовая структурная схема комплексной измери- тельной системы, в которой входной сигнал t x Λ измеряется разнотипными дат- 165 чиками 1 2 Д ,Д ,...,Д n с передаточными функциями дi W p , где 1, 2,..., i n ; воздей- ствия i V t учитывают погрешности датчиков. Комплексирование системы за- ключается в вычислении оценки x(t)с точностью, превышающей достижимую при раздельном использовании датчиков. Из схемы (рис. 8.11) следует, что пре- образование Лапласа для оценки входного сигнала будет иметь вид: Λ Д Ф Д Ф 1 1 n n i i i i i i i x t W p W p x p W p W p V p (8.57) x(t) U n (t) U 2 (t) U 1 (t) Д 2 Д 1 Д n … y(t) … W 2 W 1 W n Рис. 8.11 –Типовая структурная схема комплексной измерительной системы РА Преобразование Лапласа для сигнала ошибки имеет вид: Λ Д Ф Д Ф 1 1 1 n n i i i i i i i E p X p X p W p W p X p W p W p V p (8.58) Из последнего выражения следует, что если передаточные функции кана- лов системы выбирают из условия Д Ф 1 1, n i i i W p W p (8.59) то выражения (8.57) и (8.58) принимают вид: Λ Д Ф 1 ; n i i i i X p X p W p W p V p 166 Д Ф 1 n i i i i E p W p W p V p (8.60) Таким образом, ошибка комплексной системы не зависит от характеристик измеряемого сигнала и определяется только погрешностями датчиков. Равенство (8.59) называют условием инвариантности,а систему, в которой удается его реализовать, – инвариантной относительно ошибки измеряемого сигнала. Условие инвариантности накладывает ограничения только на суммарную передаточную функцию, но не на передаточные функции отдельных каналов, по- этому при синтезе комплексной системы остаётся некоторая свобода выбора пе- редаточных функций отдельных каналов, что позволит уменьшить ошибку из-за погрешностей датчиков. Необходимо отметить, что условие инвариантности (8.59) в динамических системах удаётся выполнить лишь приближенно. В реальной системе динамиче- ская ошибка не равна нулю (она может быть значительно уменьшена по сравне- нию с ошибками измерения при использовании одного канала измерения). Следует также иметь в виду, что рассмотренная система, которую принято называть многоканальной схемой фильтрации, чувствительна к отклонению па- раметров устройств от расчётных значений, поэтому при проектировании таких систем необходимо обеспечить стабильность параметров ее звеньев. Рассмотрим ещё один класс комплексных систем РА, основой которых яв- ляется обычная система РА с обратной связью, а сигнал с нерадиотехнического датчика, с помощью которого измеряется управляющее воздействие x(t), вво- дится в замкнутый контур после дискриминатора (рис. 8.12). В таких системах удаётся значительно повысить точность системы РА относительно управляю- щего воздействия без ухудшения средней квадратической ошибки из-за действия помех. Преобразование Лапласа для выходного сигнала будет иметь вид (рис. 8.12): 167 p 1 2 к 2 p p ; 1 1 W p W p W p W p W p Y p X p n p W p W p (8.61) для ошибки системы: p к 2 p p 1 1 1 W p W p W p E p X p Y p X p n p W p W p (8.62) y(t) x(t) n(t) W 1 W к W д W 1 Рис. 8.12 –Структурная схема комплексной системы РА Если выполняется условие инвариантности: к 2 1 , W p W p (8.63) то выражения (8.61) и (8.62) принимают вид: з з ; , Y p X p W p n p E p W p n p (8.64) где з W p – передаточная функция замкнутого контура системы РА. Из выражений (8.64) следует, что ошибка относительно управляющего воз- действия равна нулю или инвариантна относительно этого сигнала. Путём вы- бора цепи сигнала ошибки системы с передаточной функцией 1 W p сформиру- ется замкнутый контур системы с учётом требуемой фильтрации помех. Датчик, измеряющий управляющее воздействие, и последовательно вклю- чённый с ним фильтр с передаточной функцией к W р образуют цепь компен- сации комплексной системы РА. Эта цепь не формирует замкнутого контура, а следовательно, не влияет на устойчивость комплексной системы. При реализации условия инвариантности (8.63) в реальных системах сте- пень полинома числителя передаточных функций устройств всегда меньше сте- 168 пени полинома их знаменателя, поэтому функция (8.63) не удовлетворяет усло- вию физической реализуемости и в данной системе РА инвариантность ошибки относительно управляющего воздействия недостижима. Однако в подобных си- стемах можно существенно повысить точность относительно управляющего воз- действия при необходимой фильтрации помех, т. е. сделать системы широкопо- лосными относительно управляющего сигнала и узкополосными относительно помехи. Синтез комплексных систем РА можно выполнить с учётом следующих условий: 1) обеспечения нужных частотных характеристик системы; 2) повышения динамической точности ее работы. Проанализируем метод, который позволит повысить порядок астатизма в комплексной системе относительно управляющего воздействия по сравнению с порядком астатизма замкнутого контура. Передаточная функция ошибки си- стемы, как следует из выражения (8.62), имеет вид: к 2 к к 2 р 1 1 , 1 t e e W p W p W p W p W p W p W p (8.65) где e W p – передаточная функция ошибки замкнутого контура. Разложим передаточную функцию ошибки комплексной системы (8.65) в степенной ряд: 2 к 0к 1к 2к кк 1 1 2 ! k e W p C C p C p C p k (8.66) Аналогичным образом представим и второй сомножитель выражения (8.65): 2 к 2 0 1 2 к 1 1 1 2 ! k W p W p D D p D p D p k (8.67) Тогда передаточная функция ошибки комплексной системы с учетом вы- ражения (7.8) примет вид: 169 2 2 0к 1к 2к кк 0 1 2 к 2 0 1 2 к 1 1 1 1 2 ! 2 ! 1 1 , 2 ! k k k C C p C p C p C C p C p C p k k D D p D p D p k (8.68) где C i , 0,1, , i k – коэффициенты ошибок передаточной функции ошибки за- мкнутого контура системы. Приравняв в последнем выражении слагаемые при одинаковых степенях р, найдём коэффициенты ошибок комплексной системы: 0к 0 0 1к 0 1 1 0 2к 0 2 1 1 2 0 ; ; 2 ; C C D C C D C D C C D C D C D (8.69) Из формул (8.69) следует, что необходимый порядок астатизма обеспечи- вается, если соответствующее число коэффициентов D i (весовой коэффициент) равно нулю. Из этих условий и определяется выражение для передаточной функ- ции компенсации комплексной системы. Подставим выражения 1 1 0 2 1 1 0 ; e e e e m m m m c p c p c W p b p b p b (8.70) 1 1 0 к 1 1 0 α α ... α τ τ ... τ q q q q q q q q p p W p p p (8.71) в формулу (8.67). Тогда для получения астатизма первого порядка необходимо, чтобы передаточная функция цепи компенсации была равна: к 0 α τ W p (8.72) Коэффициенты этой функции определим из условия: 0 0 0 0 0 0 0 τ α τ b c D b (8.73) 170 Для получения астатизма второго порядка нужно, чтобы передаточная функция цепи компенсации была равна: 1 0 к 1 0 α α τ τ p W p p (8.74) Коэффициенты функции найдём из условия (8.73) при 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 τ τ α α τ b b c c D b (8.75) При последовательном определении коэффициентов передаточной функ- ции (8.71) одни коэффициенты, например i , выбирают из условия обеспечения требуемых характеристик комплексной системы, а коэффициенты i вычисляют согласно равенству нулю соответствующих коэффициентов D i . Коэффициенты i передаточной функции цепи компенсации определяют инерционность цепи компенсации. Для выяснения их влияния на частотные ха- рактеристики представим передаточную функцию комплексной системы в виде к кз з 1 1 W p W p W p W p (8.76) Следовательно, наличие цепи компенсации в комплексной системе эквива- лентно последовательному включению с замкнутым контуром корректирующего устройства с передаточной функцией: к эк 1 1 W p W p W p (8.77) Из выражения (8.77) следует, что чем меньше инерционность цепи компен- сации, тем больший опережающий эффект создаётся корректирующим устрой- ством. При этом полоса пропускания комплексной системы РА относительно управляющего воздействия увеличивается. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Пример · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Найти передаточную функцию цепи компенсации для системы автомати- ческого сопровождения цели РЛС, рассмотренной в примере выше (п. 8.3), если |