Радиоавтоматика
 Скачать 2.39 Mb.
|
|
С i Формулы для расчёта 0 С 0 1 1 K С 1 1 1 2 1 b d K K С 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 2 2 1 1 1 b b d d b d b d K K K K K 1 С 0 0 С 1 K 1 С 2 1 1 2 1 2 b d K K 2 С 0 0 С 1 0 С 2 2 K Первое слагаемое в выражении (7.11) называют ошибкой по положению, а коэффициент С 0 – коэффициентом ошибки по положению, второе слагаемое – ошибкой по скорости, а коэффициент С 1 – коэффициентом ошибки по скорости. Аналогично, третье слагаемое в (7.11) называют ошибкой по ускорению, а коэф- фициент С 2 – коэффициентом ошибки по ускорению. Из анализа особенности передаточных функций астатических систем РА следует, что в таких системах первых коэффициентов ошибок равны нулю, где – порядок астатизма системы РА. При анализе качества работы систем РА кроме вычисления ошибок при медленно изменяющихся сигналах необходимо оценивать точность и при гармо- нических воздействиях. В этом случае нельзя применять метод коэффициентов 130 ошибок, так как число производных от гармонического сигнала не ограничено. Очевидно, что при этом для расчета ошибок необходимо использовать частотные характеристики. По АЧХ ошибки вычисляется амплитуда колебаний ошибки, а по ФЧХ – сдвиг колебаний ошибки относительно входного сигнала. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Пример · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Найти динамическую ошибку при входном сигнале 2 1 2 1 ( ) α α 2 x t t t сле- дящей системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии опре- деляется выражением: 2 Р 1 3 1 1 1 K pT W p p pT pT Решение Коэффициенты ошибок вычисляются по формулам таблицы 7.1: 1 3 2 0 1 2 2 1 1 0, , 2 T T T C C C K K K Динамическая ошибка системы в соответствии с выражением (7.11): 1 2 1 3 2 2 1 1 1 ( ) α α α . e t t T T T K K K Из этого выражения следует, что при увеличении коэффициента усиления системы и введения форсирующего звена ошибка уменьшается, увеличение же постоянных времени инерционных звеньев ухудшает динамическую ошибку си- стемы. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Качество работы систем РА при случайных воздействиях оценивается по суммарной средней квадратической ошибке. В большинстве случаев закон рас- пределения ошибки систем можно считать гауссовской, поэтому для расчёта со- ставляющих суммарной средней квадратической ошибки достаточно учесть ма- тематическое ожидание и корреляционную функцию ошибки или ее спектраль- ную плотность. 131 Прежде чем рассматривать методы вычисления суммарной средней квад- ратической ошибки, установим, через какие передаточные функции в выражение для суммарной ошибки входят сигнал и помеха, полагая, что на вход системы подаётся воздействие вида ( ) ( ) ( ), f t x t n t где ( ) x t – случайный сигнал; ( ) n t – случайная помеха. Суммарная ошибка системы (рис. 7.7): ( ) ( ) ( ), e t x t y t где ( ) y t – выходной сигнал системы. n(t) f(t) e(t) x(t) y(t) W з (p) Рис. 7.7 – К определению суммарной ошибки системы РА Преобразование Лапласа для суммарной ошибки имеет вид: З e З , E p X p W p F p W p X p W p n p (7.14) где p W З – передаточная функция замкнутой системы; p W e – передаточная функция ошибки анализируемой системы; X p , n p – преобразования Лапласа для сигнала и помехи. Из выражения (7.14) следует, что суммарная ошибка состоит из двух со- ставляющих, одна из которых, определяющая точность воспроизведения сиг- нала, зависит от передаточной функции ошибки, вторая, обусловленная дей- ствием помехи, – от передаточной функции замкнутой системы. При анализе средней квадратической ошибки ограничимся случаем, когда сигнал и помеха являются стационарными случайными функциями. При этом 132 математическое ожидание помехи будем полагать равным нулю, а случайный сигнал представим в виде: ο ( ) ( ), x x t m x t где x m – математическое ожидание сигнала; ο ( ) x t – случайная составляющая сиг- нала. Математическое ожидание суммарной ошибки рассчитывают по теореме о конечном значении функции: 0 lim e e x p m pW p m p (7.15) Точность системы относительно случайных составляющих сигнала и по- мехи оценивается дисперсией ошибки: 2 2 τ 0 σ ( ) (τ) , e e M e t R (7.16) где 2 σ e – дисперсия ошибка; σ e – средняя квадратическая ошибка системы; ( ) e t – ошибка системы; M – математическое ожидание от квадрата ошибки; (τ) e R – ав- токорреляционная функция ошибки. На основании эргодической теоремы автокорреляционную функцию ошибки находят как среднее по времени от произведения случайных составляю- щих ошибки, разделённых промежутком времени : ο ο ο ο 1 (τ) ( ) ( τ) lim ( ) ( τ) , 2 T e T T R e t e t e t e t dt T (7.17) где ο ο ο ( ) ( ) ( ) e t x t y t – случайная составляющая суммарной ошибки. По теореме свёртки, согласно (7.14): ο ο ο З ο ο ο З λ λ λ λ λ; τ η τ η η τ η η, e e e t x t n t d e t x t n t d (7.18) где ( ) e t – импульсная переходная функция ошибки системы; З ( ) t – импульс- ная переходная функция замкнутой системы. 133 Так как рассматривают стационарный режим работы системы, то интегри- рование в выражениях (7.18) берут от минус бесконечности. Подставив выражение (7.18) в (7.17), найдём автокорреляционную функ- цию ошибки: З З П e З П З e П τ λ η τ λ η λ η τ λ η λ η τ λ η λ η τ λ η λ η, e e e x x x R R R R R d d (7.19) где (τ) x R – автокорреляционная функция сигнала; П (τ) R – автокорреляционная функция помехи; П (τ) x R и П (τ) x R – взаимные корреляционные функции. Подставив в (7.19) нуль, получим дисперсию ошибки системы. 2 З З П e З П З e П 2 2 2 2 σ λ η λ η λ η λ η λ η λ η λ η λ η λ η σ σ σ σ . e e e x x x ex eп exп епх R R R R d d (7.20) Дисперсия ошибки может быть вычислена и через ее спектральную плот- ность, которая равна преобразованию Фурье от автокорреляционной функции ошибки системы (7.20): ωτ ω τ τ. j e e S R e d Подставив в это выражение формулу (7.19), определим спектральную плотность ошибки системы: 2 2 З П З П З П ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω , e e x e x e x S W j S W j S W j W j S W j W j S (7.21) где ω x S – спектральная плотность сигнала; П ω S – спектральная плотность помехи; П ω x S и П ω x S – взаимные спектральные плотности. Так как ωτ 1 τ ω ω, 2π j e e R S e d 134 то в соответствии с выражением (7.16) дисперсия ошибки [2–4]: 2 2 2 З П З П З П 2 2 2 2 1 σ ω ω ω ω 2π ω ω ω ω ω ω ω σ σ σ σ . e e x e x e x ex eп exп епх W j S W j S W j W j S W j W j S d (7.22) Если сигнал и помеха не коррелированы, то П П (τ) (τ) 0 x x R R ; П П (ω) (ω) 0 x x S S и выражения (7.18)–(7.22) упрощаются. Первое слагаемое в (7.22) зависит как от АЧХ ошибки системы, так и от статистических характери- стик сигнала, оно определяет среднюю квадратическую ошибку воспроизведе- ния сигнала x(t). Второе слагаемое в (7.22) зависит от АЧХ замкнутой системы и характеристик помехи. Оно характеризует ошибку системы вследствие действия помехи n(t). Последние два слагаемых в (7.22) – составляющие ошибки из-за кор- реляции сигнала с помехой и помехи с сигналом. Величину 2 2 σ σ e e m (7.23) называют суммарной средней квадратической ошибкой системы РА. Вычисление средней квадратической ошибки через ее автокорреляцион- ную функцию (7.19) связано с некоторыми трудностями, одна из которых свя- зана с нахождением импульсной переходной функции анализируемой системы РА, другая – с вычислением (7.20). Поэтому на практике среднюю квадратиче- скую ошибку рассчитывают через спектральную плотность ошибки по формуле (7.22). В инженерной практике среднеквадратическая ошибка также находится с помощью графоаналитического метода. Для этого строят графики, соответству- ющие отдельным слагаемым выражения (7.21). Дисперсия ошибки для некорре- лированных сигнала и помехи 2 П σ π x Q Q , где x Q и П Q – площади по гра- фиками спектральных плотностей (рис. 7.8). 135 0 0 S eп W з 2 S ex W e 2 S x 1 S S Q x Q п Рис. 7.8 – К определению средней квадратической ошибки системы РА На практике часто встречаются случаи, когда помеху можно считать белым шумом, спектральная плотность которого в пределах полосы пропускания си- стемы РА постоянна. При этом дисперсия ошибки системы из-за действия помехи определяется по формуле: 2 2 П П З 0 σ ω ω. 2π e S W j d Величину 2 2 2 2 эф З эф З 1 ω ω, ω ω ω 2π f W j d W j d (7.24) называют эффективной полосой пропускания системы РА, и она является осно- ванием прямоугольника, площадь которого равна площади, ограниченной гра- фиком квадрата АЧХ (рис. 7.9). Дисперсия ошибки системы РА из-за действия помехи вычисляется по выражению: п эф 2 п ω ω σ π е S (7.25) Выражения для расчёта эффективной полосы пропускания систем РА, наиболее часто встречающихся в радиотехнических устройствах, приведены в таблице 7.2 [2]. 136 1 0 W з 2 W з эф =2f эф Рис. 7.9 – К определению эффективной полосы пропускания системы РА Таблица 7.2 – Формулы расчёта эффективной полосы пропускания систем РА W p (p) f эф p K 2 K pT K 1 K T K 1 2 2 3 1 1 1 pT pT p K 3 1 3 1 2 T KT T T K 1 2 1 1 pT p pT K 2 1 2 2 1 1 2 KT T KT T K 2 2 1 p pT K 2 2 2 2 1 T KT При анализе точности работы систем РА в реальных условиях возникает трудность моделирования помех. Однако если использовать формирующий фильтр, то анализ систем РА относительно сигналов сводится к случаю действия на систему белых шумов. Формирующий фильтр – устройство, позволяющее генерировать случай- ный сигнал с заданной спектральной плотностью из сигнала белого шума. Ха- рактеристики формирующего фильтра для стационарных случайных сигналов определяются в следующем порядке. Так как спектральная плотность сигнала 137 является чётной дробно-рациональной функцией частоты, то она может быть представлена в виде двух комплексно-сопряжённых сомножителей вида ω ψ ω ψ ω . x x S N j j Передаточная функция формирующего фильтра имеет вид: ф ω ω ψ ω j p W j Для расчёта коэффициентов передаточной функции формирующего филь- тра выражение для спектральной плотности сигнала нужно записать в виде: 2 2 2 2 0 1 0 2 2 2 2 0 1 0 ω ω ω ω ω ω ω ω m m m m x x n n n n c j c j c b j b j b N N d j d j d d j d j d (7.26) Вычислив квадрат модуля в левой части (7.26) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях частоты слева и справа, получим уравнения для опре- деления коэффициентов передаточной функции формирующего фильтра a i и b i Формирующий фильтр и анализируемая система РА образует некоторую расширенную систему (рис. 7.10), на вход которой действует помеха, являюща- яся белым шумом. Если помеха не является белым шумом, то в схему необхо- димо включить формирующий фильтр, который из белого шума будет генериро- вать случайную помеху с заданной спектральной плотностью. n(t) f(t) U(t) x(t) y(t) W з (p) W ф (p) Рис. 7.10 – Схема включения формирующего фильтра · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Пример · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Найти передаточную функцию формирующего фильтра для сигнала, воз- никающего из-за колебаний летательного аппарата, спектральная плотность ко- торого 2 2 к0 к к 2 4 4 2 2 2 к к 1 ω ω ω ω 4ξ ω 1 T S N T T |