6.3.3 Критерий устойчивости Найквиста
Этот критерий был получен Н. Найквистом в 1932 г. для проверки усили- телей с отрицательной обратной связью, а затем обобщен на системы автомати- ческого управления.
Критерий Найквиста позволяет определить устойчивость системы с обрат- ной связью (замкнутой системы) по экспериментально снятой или полученной на основе передаточной функции амплитудно-фазовой частотной характери- стике разомкнутой системы (рис. 6.10).
Будем полагать, что известна передаточная функция разомкнутой си-
стемы:
1 0
1 0
1 0
1 0
( )
( )
,
(
)
m
m
m
m
n
n
n
n
B p
b p
b
p
b
W p
A p
a
a
m
n
p
p
a
(6.22)
Здесь
1 0
1 0
( )
n
n
n
n
A p
a p
a
p
a
ее характеристический полином.
105
Im
Re
W
0
(p)
Рис. 6.10 – АФХ разомкнутой системы
Структурная схема замкнутой системы имеет вид (рис. 6.11).
y
u
W
0
(p)
Рис. 6.11 – Структурная схема замкнутой системы
Передаточная функция замкнутой системы следующая:
0 0
0 0
0
( )
( )
( )
( )
,
( )
1
( )
( )
( )
B p
W p
B p
W p
A p
W p
A p
B p
(6.23) где
0 0
( )
( )
( )
A p
A p
B p
характеристический полином замкнутой системы.
Для получения критерия устойчивости вводится вспомогательная функ- ция:
0 0
0 0
0
( )
( )
( )
( ) 1
( )
( )
( )
A p
B p
A p
W p
W p
A p
A p
(6.24)
Как видим, числитель вспомогательной передаточной функции представ- ляет собой характеристический полином замкнутой системы, а знаменатель ха- рактеристический полином разомкнутой системы. Так как
0 0
dim
( )
dim
( )
B p
A p
, то в выражении для A(p)порядок суммы полиномов равен
0
dim
( )
A p
n
. Сле- довательно, во вспомогательной передаточной функции
)
(
p
W
полиномы числи- теля и знаменателя имеют один порядок (n).
В выражении (6.24) заменим р на jω и получим:
106 0
( ω)
( ω)
( ω)
A jW jA j
(6.25)
Рассмотрим результирующий угол поворота вектора
( ω)
W j при измене- нии ω от 0 до
∞, используя те же соотношения, что и при доказательстве критерия
Михайлова.
Если замкнутая система устойчивая, то общее приращение фазы числителя
(6.25) определяется как
φ(ω)
(π 2).
n
(6.26)
При устойчивой разомкнутой системе фаза в знаменателе будет иметь вид
0
φ (ω)
(π 2).
n
(6.27)
Результирующий угол поворота вектора
( ω)
W j равен разности (6.26) и
(6.27).
0
φ(ω) φ(ω) φ (ω) 0.
(6.28)
Таким образом, для устойчивости замкнутой системы (при устойчивой разомкнутой) должно выполняться соотношение (6.28). Это свойство имеет про- стую геометрическую интерпретацию: вспомогательная частотная характери- стика не должна охватывать начало координат. Так как
( ω)
W j отличается от
0
( ω)
W j на единицу, то можно строить амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы, что значительно проще.
Формулировка критерия Найквиста.Для устойчивости замкнутой си- стемы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы при изменении ω от 0 до
∞ не охватывала точку с координатами
{
}
1; 0
j
Разомкнутая система может быть неустойчива, но это не означает, что не- устойчивой будет и замкнутая система. В этом случае меняется
формулировка критерия Найквиста. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и до- статочно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика неустойчивой разомкну- той системы при изменении ω от 0 до
∞ охватывала точку с координатами
107
{
}
1; 0
j
в положительном направлении r/2 раз, где r число корней характери- стического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной ча- стью (рис. 6.12).
Im
Re
Im
–1
Re
W
1
(p)
W
2
(p)
–1
W
0
(p)
Устойчивая система
Неустойчивая система
Рис. 6.12 – Частотные характеристики системы для критерия Найквиста
Критерий Найквиста можно применять, если разомкнутая система имеет в своем составе интегратор, т. е. ее передаточная функция следующая:
0 0
0
( )
( )
( )
B p
W p
pA p
(6.29)
Полученная в результате замены р на jω в выражении (6.29) амплитудно- фазовая характеристика будет иметь неопределённость в точке
ω 0
. Поэтому при ее построении делают аппроксимацию: характеристику дополняют полу- окружностью бесконечно большого радиуса так, чтобы она начиналась на поло- жительной вещественной полуоси (рис. 6.13).
Im
–1
Re
W
0
(p)
Рис. 6.13 – АФХ разомкнутой системы с интегратором
108
Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если при некоторой частоте
0
ω ω
АФХ разомкнутой системы пересекает точку с коор- динатами
{
}
1; 0
j
. Аналитически условие границы устойчивости записывается в виде:
0 0
1
( ω )
0.
W j
(6.30)
6.3.4 Логарифмическая форма критерия Найквиста
Для проверки устойчивости замкнутой системы можно использовать лога- рифмические частотные характеристики разомкнутой, которые строятся почти без вычислений. Правила построения ЛАЧХ рассмотрены в п. 4.3 настоящего пособия.
Формулировка критерия Найквиста.Для замкнутой системы необхо- димо и достаточно, чтобы на частотах, где ЛАЧХ положительна (т. е.
)
(ω) 0 ,
фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не пересекала ось 180
о или пересекала ее четное число раз.
Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если на той же частоте, где
0
(ω)
, фазовая частотная характеристика разомкнутой си- стемы пересекает ось 180
о
(рис. 6.14). lg ω
–π/2
(ω) lgω
c
φ(ω)
–π
. φ
Рис. 6.14 – Логарифмические частотные и фазовые характеристики, иллюстрирующие критерий Найквиста
109
6.4 Области и запасы устойчивости 6.4.1 Основные понятия и определения Поскольку при составлении математической модели делается ряд допуще- ний, то параметры реальной системы несколько отличаются от расчетных (номи- нальных). Кроме того, с течением времени они
могут изменяться в некотором диапазоне, но при этом свойство устойчивости должно сохраняться. Поэтому для нормальной работы система должна обладать определенным запасом устойчиво- сти.
Рассмотрим линейную стационарную систему общего вида, описываемую системой уравнений (6.1), и соответствующее ей характеристическое уравнение
(6.4), которое имеет
n корней
Aaaii
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Областью устойчивости по параметрам будем называть множество матриц A, для которых выполняется общее условие устойчивости:
Re
0
ia A
(рис. 6.15).
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
аnа1
Рис. 6.15 – Область устойчивости системы
На практике обычно речь идёт об изменении одного-двух параметров си- стемы.
110
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Критическими (граничными) будем называть такие значе-
ния матриц A, при которых система находится на границе устой-
чивости:
Re λ
0
A
.
Запасом устойчивости называется диапазон значений пара-
метра от номинального до граничного.
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
6.4.2 Частотные оценки запасов устойчивости
Частотные запасы устойчивости определяют в соответствии с критерием
Найквиста амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы от крити- ческой точки с координатами
{
}
1; 0
j
(рис. 6.16).
h
–1
γ
1
W
0
(p)
Im
Re
Рис. 6.16 – Определение запасов устойчивости по АФХ
Запас устойчивости по амплитуде (h) показывает, насколько можно увели- чить амплитуду без потери устойчивости системы.
Запас устойчивости по фазе (γ) показывает, насколько можно изменить фазу системы без потери ею устойчивости.
Опытным путём установлено, что для нормальной работы система должна обладать следующими запасами устойчивости:
50 80%, γ 50 80%.
H
(6.31)
Аналогичные запасы устойчивости можно определить по логарифмиче- ским характеристикам системы.
111
Здесь запас устойчивости по модулю обозначают как ΔL и измеряют в де- цибелах [дБ]. Он определяется на частотеω
КР
, на которой фазовая частотная ха- рактеристика достигает значения –π. Запас устойчивости по фазе обозначают как
Δφ, он определяется на частоте среза ω
СР
, где
0
L
(рис. 6.17).
φ(ω ) π φ(ω ).
c
c
(6.32)
ΔL
lg ω
Δφ
L(ω)
lg ω
c
φ(ω)
–π
L. φ
Рис. 6.17 – Определение запасов устойчивости по ЛАЧХ
Экспериментально установлено, что если запас устойчивости
(10 15) дБ,
φ (30 60) ,
L
(6.33) система будет работать удовлетворительно.
6.4.3 Корневые оценки запасов устойчивости
Склонность системы к неустойчивой работе выражается в большой коле- бательности процессов в ней, следовательно, процесс 2 соответствует системе с меньшим запасом устойчивости (рис. 6.18).
Рис. 6.18 – Процессы в системе с разным запасом устойчивости
t
x
Меньший запас устойчивости
Больший запас устойчивости
112
Вид процессов в системе определяется корнями характеристического урав- нения (6.4) (рис. 6.19), причем колебательный характер придают комплексно-со- пряженные корни
, 1
λ
α
β
i i
i
i
j
, где вещественная часть (α
i
) определяет скорость затухания, а мнимая часть корней (β
i
) частоту колебаний.
Рис. 6.19 – Распределение корней в системе
Пара корней с самым широким сектором будет давать составляющую про- цесса с наибольшими колебаниями, поэтому в качестве оценки устойчивости ис- пользуем величину:
α
γ
,
β
i
i
(6.34) которая может изменяться в диапазоне
[0, ]
. Чем меньше γ (т. е. больше мнимая часть корня), тем ближе система к границе устойчивости. При
γ 0
она находится на границе устойчивости, если же
γ
, система будет абсолютно устойчива.
Таким образом, корневая оценка запаса устойчивости γ характеризует, насколько можно изменять корни характеристического уравнения без потери устойчивости системой.
Обычно такая оценка используется на этапе проектирования, так как α трудно связать с параметрами реальной системы (коэффициентом усиления, по- стоянными времени, коэффициентом демпфирования).
113
6.4.4 Метод D-разбиения
На практике бывает необходимо знать не только запас, который можно оценить с помощью какого-либо критерия устойчивости, но и всю область устой- чивости по параметрам. Этой цели служит метод D-разбиения, позволяющий по- строить такую область в плоскости одного или двух параметров.
Рассмотрим сначала этот метод для одного параметра D, который входит в характеристическое уравнение системы линейно:
( )
( )
( ) 0.
A p
N p
DM p
(6.35)
В (6.35) заменим p на jω и получим уравнение:
( ω)
( ω)
( ω) 0,
A j
N j
DM j
(6.36) соответствующее границе устойчивости согласно критерию Михайлова (6.24).
Разрешим его относительно D (6.37):
( ω)
( ω)
(ω)
(ω).
( ω)
D
D
N j
D j
R
jI
M j
(6.37)
Полученное комплексное представление параметра D позволяет изобра- зить его в виде вектора на плоскости
(ω);
(ω)
D
D
R
I
. Конкретное численное зна- чение
ω
(
)
D j
зависит от частоты и при изменении ω в диапазоне от ∞ до +∞ конец вектора описывает на комплексной плоскости кривую D-разбиения, пред- ставляющую собой границу устойчивости (ее можно рассматривать так же, как отображение мнимой оси плоскости корней). На рисунке 6.20 показано, что кри- вая D-разбиения делит плоскость на три части.
3
2
I
D
R
D
1
Рис. 6.20 – Иллюстрация построения кривой D-разбиения
114
Эта кривая симметрична относительно вещественной оси, поэтому доста- точно построить ее часть, соответствующую положительным значениям ча- стоты, а вторую часть получить зеркальным отображением относительно веще- ственной оси.
Кривая D разбивает плоскость параметра на несколько областей с различ- ным условием устойчивости, для определения которого необходимо выбрать по одному значению D в каждой из них и проверить устойчивость с помощью ка- кого-либо критерия. Если система устойчива при выбранном D, то она будет устойчива и при других значениях из этой области.
Обычно в качестве параметра D фигурирует реальный параметр системы
(коэффициент усиления, постоянная времени, момент инерции и так далее), ко- торый может иметь только вещественные значения. Представление его ком- плексным выражением
( ω)
D j
носит формальный характер, а область устойчи- вости ограничивается отрезком вещественной оси.
Метод D-разбиения применим и в случае построения области устойчиво- сти для двух параметров D
1
и D
2
, которые входят линейно в характеристическое уравнение (6.35):
1 2
( ,
,
)
0.
A p D D
(6.38)
В этом случае уравнение границы устойчивости:
1 2
( ω,
,
) 0
A j
D D
–
(6.39) распадается на два независимых уравнения, соответствующих равенству нулю вещественной и мнимой части (6.39):
1 2
1 2
(ω,
,
) 0;
(ω,
,
) 0.
R
D D
I
D D
(6.40)
Эти два уравнения параметрически задают кривую D-разбиения. Область устойчивости определяется аналогично случаю одного параметра D.
115
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Пример
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Определить область устойчивости системы по коэффициенту усиления
(рис. 6.21).
x
2 1
k
p
p
y
Рис. 6.21 – Структурная схема системы
Решение
Определим передаточную функцию замкнутой системы:
2
( )
(1
)
k
W p
p
p
k
и запишем ее характеристическое уравнение:
2
( )
(1
) 0.
F p
p
p
k
Здесь k параметр, по которому строится область устойчивости, поэтому обозначим его через D. Разрешим характеристическое уравнение относительно
D и сделаем замену p на jω.
В результате получим уравнение для кривой D-разбиения:
2 2
( ω) ω
ω 1 (ω
1)
ω.
D j
j
j
Вычислим значения вещественной и мнимой части
ω
(
)
D j
при конкретных положительных значениях частоты и занесем их в таблицу:
ω
0 1
2
…
∞
R
D
(ω)
–1 0
3
…
∞
I
D
(ω)
0 1
2
…
∞
Для построения кривой D-разбиения при отрицательных значениях ча- стоты полученную половину
ω
(
)
D j
зеркально отобразим относительно оси абс- цисс.
116
Как видим, кривая D-разбиения разделила плоскость параметра на две об- ласти (рис. 6.22). Выбираем по одному вещественному значению D в каждой из них и оцениваем устойчивость системы второго порядка, необходимым и доста- точным условием устойчивости которой является положительность всех коэф- фициентов характеристического уравнения. Следовательно, первая область есть область устойчивости
(
)
1 k
.
R
D
I
D
1
2
Рис. 6.22 – Кривая D-разбиения для исследуемой системы
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Контрольные вопросы по главе 6
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
1. Как и чем характеризуется устойчивость системы радиоавтоматики?
2. Какое условие устойчивости системы радиоавтоматики необходимо обеспечить при использовании импульсной переходной характери- стики?
3. Сформулируйте условие устойчивости системы РА по критерию
Гурвица.
4. Сформулируйте условие устойчивости системы РА по критерию Ми- хайлова.
5. В чем отличия анализа устойчивости системы РА по критерию
Гурвица, Михайлова, Найквиста?
6. Дайте определения понятия запаса устойчивости системы РА на основе анализа ЛАЧХ и ФЧХ.
Скачать 2.39 Mb.