Радиоавтоматика
 Скачать 2.39 Mb.
|
|
4.6 Определение параметров элементов систем · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · В ряде случаев передаточные функции и параметры устройств системы РА из-за сложности не могут быть определены расчётным путём, поэтому используются различные экспериментальные ме- тоды. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Определение характеристик как отдельных устройств, так и всей системы в целом по экспериментальным данным, называют задачей идентификации. Из- вестно большое число методов решения задачи идентификации. Выбор того или иного метода зависит от конкретных условий работы и априорных сведений о системе. В системах РА для идентификации параметров устройств и систем РА широко используются следующие методы: частотные, по переходным функ- циям и статистические. 74 Частотный метод идентификации базируется на ЛАЧХ, построенной по экспериментальным данным. В соответствии с этим методом АЧХ аппроксими- руется прямыми отрезками с наклонами, кратными 20 дБ/дек. Построение ломанной ЛАЧХ разомкнутой системы РА, при условии, что известен состав системы РА, проводится в соответствии со следующим алгорит- мом: 1. Определяется общий коэффициент передачи системы РА в соответствии с выражением 1 2 дБ 20 lg lg ... lg , n K k k k где k 1 , k 2 , k n – коэффициенты передачи типовых радиотехнических звеньев. 2. По оси ординат откладывают значение K в децибелах, а по оси абсцисс – сопряжённые частоты соответствующих типовых радиотехнических звеньев в логарифмическом масштабе и определяемые через постоянные времени отдель- ных типовых звеньев. Через точку с координатами [1, K] провести прямую линию с наклоном: 1 Λ (ω) 20 дБ/дек, m n где m – число идеальных дифференцирующих звеньев; n – число интегрирующих звеньев. Прямая линия проводится до ближайшей (минимальной) сопрягающей частоты. 3. Через точку с координатами соответствующей ближайшей сопряжённой частоте проводится следующая прямая линия с наклоном: 2 1 2 Λ (ω) = Λ (ω) дБ/ + Λ дек, где 2 – наклон ЛАЧХ соответствующего типового радиотехнического звена. Прямая линия проводится до пересечения со следующей сопрягающей частотой. 4. Через точки, соответствующие каждой следующей сопрягающей ча- стоте, проводится прямая линия, наклон которой равен сумме результирующего наклона предыдущих и последующего звеньев. 75 5. Построение ЛАЧХ продолжается, пока не будут рассмотрены все типо- вые радиотехнические звенья, входящие в состав исследуемой разомкнутой си- стемы РА. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Пример · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · В качестве примера построим ЛАЧХ системы фазовой автоподстройки ча- стоты (рис. 4.25), имеющей в своём составе интегратор, фазовый детектор, фильтр нижних частот и управитель с передаточными функциями: фд ИНТ ФД ФД 1 , , 1 k W p W p p pT фнч ФНЧ УПР упр УПР ФНЧ , 1 , 1 k W p W p k pT pT где ФД 1 1 ω T , ФНЧ 2 1 ω T , УПР 3 1 ω T y(t) x(t) W ФД (p) W ФНЧ (p) W УПР (p) W ИНТ (p) Рис. 4.25 – Структурная схема системы фазовой автоподстройки частоты · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · В соответствии с методикой построения ЛАЧХ определим коэффициент передачи разомкнутой системы ФАПЧ фд фнч упр 20lg K k k k [дБ] и отложим его значения на оси ординат. На оси абсцисс отложим значения сопрягающих частот, равных 1, 1 , 2 , 3 (рис. 4.26). Проведём аппроксимирующие прямые линии с наклоном, кратным 20 дБ/дек и в соответствии характеристикой типовых ра- диотехнических звеньев системы. Задача идентификации является обратной задачи построения ЛАЧХ, т. е. из экспериментальной ЛАЧХ определяется передаточная функция исследуемой системы РА. 76 4 () 1 () –60 –20 0 3 K , дБ –20 2 1 1 , с –1 0 2 () 3 () Рис. 4.26 – Логарифмическая АЧХ системы ФАПЧ Для идентификации параметров можно использовать переходную функцию исследуемого устройства. Для этого необходимо зарегистрировать выходной сигнал устройства при скачкообразном входном сигнале. Далее следует найти передаточную функцию устройства. Это сложная задача, так как в устройствах с различными передаточными функциями могут быть сходные переходные про- цессы. Поэтому данный метод целесообразно применять в тех случаях, когда пе- редаточная функция известна, и нужно только по экспериментальным данным найти параметры передаточной функции. Статистические методы идентификации основываются на определении взаимной корреляционной функции выходного сигнала исследуемого устрой- ства с его входным сигналом: 1 lim , 2 T yx T T R y t x t dt T где x(t) – стационарный случайный сигнал; y(t) – выходной сигнал. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Контрольные вопросы по главе 4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1. В чем суть линеаризации при описании элементов систем РА? 2. Перечислите основные элементы систем радиоавтоматики. Дайте крат- кую характеристику перечисленным элементам. Каково их назначе- ние? 77 3. Каковы допущения, предъявляемые к типовым радиотехническим зве- ньям? 4. Перечислите типовые звенья, наиболее часто используемые при ана- лизе систем РА, и дайте им краткую характеристику. 5. Перечислите основные виды соединений типовых радиотехнических звеньев. Какие правила используются при структурном преобразова- нии системы РА с перекрещивающимися связями между собой. 6. Перечислите методы определения параметров элементов системы и дайте их краткую характеристику. 78 5 Дифференциальные уравнения и передаточные функции систем радиоавтоматики 5.1 Дифференциальные уравнения систем радиоавтоматики Процессы, происходящие в системах РА, описываются нелинейными диф- ференциальными уравнениями, которые решаются лишь в отдельных случаях. Однако уравнения большого числа систем могут быть линеаризованы и описы- ваются линейными дифференциальными уравнениями вида [3]: 1 1 1 0 1 0 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( ). n n m m n n m m a y t a y t a y t b y t b y t b y t (5.1) В стационарных системах коэффициенты дифференциального уравне- ния (5.1) являются постоянными, в нестационарных – переменными величинами. Методы анализа линейных систем основываются на принципе суперпозиции, ко- торый заключается в следующем. Если на систему поступает управляющее воздействие, представляемое в виде суммы простых воздействий вида: 1 2 ( ) ( ) ( ) ... ( ), k x t x t x t x t (5.2) то выходной сигнал будет определяться как сумма реакций на каждое слагаемое (5.2). Решение дифференциального уравнения (5.1) связано с вычислительными трудностями, а в некоторых случаях, например в следящих системах, не может быть осуществлено, так как управляющее воздействие неизвестно. По этим при- чинам исследование систем ведётся косвенными методами, базирующимися на операционном методе Лапласа и преобразовании Фурье. В этом случае в теории систем РА используют следующие основные характеристики: передаточная функция, переходная и импульсная переходная функции, комплексный коэффи- циент передачи или частотная характеристика. 79 5.2 Передаточная функция систем радиоавтоматики Применив к дифференциальному уравнению (5.1) преобразование Лапласа, получим: н , D p Y p N p X p M p (5.3) где 0 1 1 ... a p a p a p D n n n n ; 0 1 1 ... b p b p b p N m m m m ; Y(p) – пре- образование Лапласа для выходного сигнала; X(p) – преобразование Лапласа для входного сигнала системы; M н – многочлен, отображающий начальные условия. Введя следующие обозначения, получим: н н ; , N p M p W p W p D p D p (5.4) тогда выражение (5.3) примет вид: н Y p W p X p M p (5.5) Это уравнение связывает изображение выходного сигнала системы. Функ- ция W(p) характеризует динамические свойства системы РА, она не зависит от управляющего воздействия и полностью определяется параметрами системы a i и b i . Эту функцию называют передаточной, а W н (p) – передаточной функцией относительно начального состояния системы РА. При нулевых начальных условиях передаточная функция (ПФ) системы РА равна отношению изображения по Лапласу выходного сигнала к преобразо- ванию Лапласа входного сигнала. Передаточная функция является дробно раци- ональной функцией относительно оператора преобразования Лапласа: 1 1 0 1 1 0 m m m m n n n n b p b p b W p a p a p a (5.6) Степень полинома знаменателя передаточной функции определяет поря- док системы РА. В реальных системах степень полинома числителя передаточ- ной функции не превышает степени полинома знаменателя, определяет физиче- скую реализуемость системы РА и означает, что нельзя создать систему, у кото- рой ПФ не удовлетворяет этому условию. 80 Корни полинома числителя передаточной функции i называются нулями, а корни знаменателя i – полюсами системы радиоавтоматики. Коэффициенты ПФ – действительные числа, а невещественные нули и полюсы – только ком- плексно-сопряжённые величины в виде точек на плоскости комплексного пере- менного p (рис. 5.1). 1 2 1 2 3 3 0 + p +j Рис. 5.1 – Расположение нулей и полюсов ПФ на плоскости комплексного переменного Если передаточная функция системы не содержит особенностей в правой части плоскости p, то систему называют минимально-фазовой, в противном слу- чае считают неминимально-фазовой. 5.3 Переходная и импульсная функции системы РА При исследовании переходного процесса, происходящего в системах РА, используют единичный сигнал вида: 1 , x t t (5.7) где 1(t) – единичная функция, удовлетворяющая условию 0 при 0, 1 1 при 0. t t t Преобразование Лапласа для выходного сигнала системы в соответствии с выражением (5.5) при нулевых начальных условиях имеет вид: W p Y p p (5.8) Переходной процесс в системе РА, вызванный входным сигналом в виде единичной функции, называют переходной функцией: 81 1 , W p h t L p (5.9) где 1/p – преобразование Лапласа для единичной функции. Переходная функция вычисляется по формуле обращения: 0 λ 1 Res , 2π i c j n pt pt i c j p W p W p h t e dp e j p p (5.10) где i – полюсы подынтегрального выражения; n – число полюсов. Напомним, что вычет в простом полюсе вычисляется по формуле: λ λ Res lim λ , i i pt pt i p p W p W p e p e p p (5.11) а в полюсе кратности k: 1 1 λ λ 1 Res lim λ 1 ! i k i k k pt pt i k p p W p W p d e p e p k p dp (5.12) При исследовании реакции на импульсный сигнал на вход систем РА по- дают единичный мгновенный импульс в виде -функции: δ ( ) ( ), x t t (5.13) который удовлетворяет следующим условиям: δ 1; δ τ τ . t dt x t t dt x (5.14) Так как преобразование Лапласа для -функции равно единице, то для вы- ходного сигнала δ Y p W p L t W p (5.15) Переходной процесс, возникающий в системе РА при воздействии единич- ного импульса, называют импульсной переходной функцией. Из выражения (5.15) следует, что 1 λ 1 Res i n pt p i t L W p W p e (5.16) 82 Импульсная переходная функция системы РА удовлетворяет следующим условиям: 0 при 0, 0 t t t dt (5.17) Первое условие называют условием физической реализуемости системы; оно показывает, что в реальной системе переходной процесс не может возник- нуть раньше подачи на вход системы единичного импульса. Второе условие яв- ляется условием устойчивости системы РА. Согласно (5.9) и (5.15), d t h t dt (5.18) Интервал времени, на котором импульсная переходная функция отлична от нуля, называют памятью или инерционностью системы (рис. 5.2, а). 0 0 2 1 t а) б) t Рис. 5.2 –Импульсные переходные функции стационарной (а) и нестационарной системы (б) Импульсная переходная функция стационарной системы РА зависит только от разности времени наблюдения выходного сигнала и времени приложе- ния к входу системы сигнала -функции. В нестационарных системах РА им- пульсная переходная функция зависит не только от времени наблюдения, но и от времени возникновения входного сигнала (это происходит из-за изменения во времени параметров системы). Если на вход нестационарной системы подать в 83 момент времени 2 > 1 сигнал вида -функции, то импульсная переходная функ- ция не только сдвинется по времени, как в случае стационарных систем (рис. 5.2, а), но и изменится по форме (рис. 5.2, б). Условие физической реализуемости для нестационарных систем РА имеет вид: при τ 0 t t (5.19) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Пример · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · В качестве примера определим переходную и импульсную переходную функцию системы РА с передаточной функцией 1 2 1 1 1 W p pT pT Решение Преобразование Лапласа для переходной функции находится по фор- муле (5.8): 0 1 2 , λ λ b H p p p где 1 , 2 – полюсы системы; b 0 – постоянный коэффициент. В соответствии с выражением (5.10), 1 2 1 2 1 2 1 2 1 t t T T T T h t e e T T T T Импульсная переходная функция, в соответствии с (5.16), 1 2 1 2 1 t t T T t e e T T Импульсная переходная функция может быть получена и из (5.18). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · |