Рекомендовано
 Скачать 6.62 Mb.
|
|
39 4.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 3 3 c a b 1 2 1 1 1 и 5 , d a b 1 2 1 1 1 если | | 2, | | 2, ( , ) 45 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 4.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(1; 1; 1), B(3; 4; 5), C(2; 3; 1), D (4; 5; 1). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cos ÐBCA; 3) высоту VABC, опущенную из A на BC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пирамиды ABCD, опущенную из D на основание ABC. 4.3. При каком значении k векторы 1 1 1 1 1 1 (2;2;1), (1;3;1), (2;1; ) a b c k ком8 планарны? 5.1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах 5 2 c a b 1 2 1 1 1 и 4 , d a b 1 2 1 1 1 если | | 3, | | 2, ( , ) 120 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 5.2. Даны вершины треугольной пирамиды ABCD: A(2; –1; 0), B(–1; 3; 4), C (1; 1; 1), D(0; 3; 5). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cos ÐBCA; 3) вы8 соту VABC, опущенную из C на AB; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пи8 рамиды ABCD, опущенную из D на основание ABC. 5.3. При каком значении k точки A(3; –1; 2), B(7; 9; 1), C(5; k; 2), D(1; 2; 0) лежат в одной плоскости? 6.1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах 5 c a b 1 2 1 1 1 и , d b a 1 2 1 1 1 если | | 2, | | 3, ( , ) 120 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 6.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 : A(2; 4; –3), B(3; 5; –4), C(4; 5; –1), D(3; 4; 0), A 1 (2; 7; 1). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD ; 2) cos ÐA 1 DA ; 3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из B на AD ; 4) объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ; 5) высоту параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , опущенную из A 1 на основание ABCD. 6.3. Компланарны ли векторы 1 1 2 1 1 1 1 (0;1;1), ( 1;2;3); (3;2;1)? a b c 7.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 4 2 c a b 1 2 1 1 1 и , d a b 1 2 1 1 1 если | | 6, | | 3, ( , ) 150 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 7.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 : A(7; 7; 0), B(3; 9; 1), D (1; 2; –1), A 1 (8; –3; 4). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cos ÐCDA; 3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из B на CD; 4) объем параллеле8 пипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ; 5) высоту параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , опущен8 ную из A 1 на основание ABCD. 7.3. Компланарны ли векторы 1 2 1 1 1 1 1 (7; 1; 0), (1;5;7), (4; 9;2)? a b c 8.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 2 c a b 1 2 1 1 1 и 3 4 , d a b 1 2 1 1 1 если | | 4, | | 3, ( , ) 150 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 8.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(1; 3; –1), B(2; 0; 7), C(–2; 4; 0), D (5; 5; 2). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cos ÐACB; 3) высоту VABC, опущенную из C на AB; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пирамиды ABCD, опущенную из D на основание ABC. 8.3. Компланарны ли векторы 1 1 2 1 1 1 1 (2;7; 0), (4; 1;3), (1; 8;1)? a b c 9.1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах 2 7 c a b 1 2 1 1 1 и 3 4 , d a b 1 2 1 1 1 если | | 4, | | 3, ( , ) 60 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 40 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ 9.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 : A(3; 7; 2), B(4; 0; 8), D (–1; –3; 1), A 1 (2; 3; 7). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cos ÐADC; 3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из C на AD; 4) объем параллеле6 пипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ; 5) высоту параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , опущен6 ную из A 1 на основание ABCD. 9.3. При каком значении k точки A(3; 2; 1), B(7; 6; 1), C(–1; 8; 0), D(2; 2; k) лежат в одной плоскости? 10.1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах 3 4 c a b 1 2 1 1 1 и 5 , d a b 1 2 1 1 1 если | | 3, | | 6, ( , ) 120 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 10.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 : A(–1; 2; 3), B(0; 2; 4), D (1; –2; 3), A 1 (3; 5; 4). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cos ÐBAD; 3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из B на AD; 4) объем параллеле6 пипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ; 5) высоту параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , опущен6 ную из A 1 на основание ABCD. 10.3. При каком значении k векторы 1 1 1 1 1 1 (3;3;1), (1;3; 4), (0; ;3) a b c k ком6 планарны? 11.1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах 2 3 c a b 1 2 1 1 1 и , d a b 1 2 1 1 1 если | | 2 2, | | 1, ( , ) 45 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 11.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 : A(3; 4; 2), B(4; 6; 3), D (4; 3; 2), A 1 (5; 4; 4). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cos ÐA 1 AD ; 3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из D на AB; 4) объем паралле6 лепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ; 5) высоту параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , опущен6 ную из A 1 на основание ABCD. 11.3. При каком значении k точки A(1; 0; 0), B(3; 2; 1), C(2; 3; 1), D(3; 1; k) лежат в одной плоскости? 12.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 2 c a b 1 2 3 1 1 1 и 2 4 , d a b 1 2 1 1 1 если | | 2, | | 6, ( , ) 135 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 12.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(6; 5; 1), B(4; 8; 0), C(–1; –3; 2), D (1; 0; 5). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cos ÐACB; 3) высоту VABC, опущенную из C на AB; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пирамиды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC. 12.3. При каком значении k точки A(3; 2; 0), B(1; –1; 2), C(0; 3; 0), D(k; 3; 2) лежат в одной плоскости? 13.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 3 c a b 1 2 1 1 1 и 7 6 , d a b 1 2 1 1 1 если | | 2, | | 3, ( , ) 60 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 13.2. Даны вершины треугольной пирамиды ABCD: A(7; 0; 5), B(–1; 4; 3), C (1; 1; 0), D(–2; –3; 7). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cos ÐBAC; 3) высоту VABC, опущенную из вершины A на BC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пирамиды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC. 13.3. Компланарны ли векторы 1 1 1 1 1 1 (7;5;3), (4;3; 0), (1;2;5)? a b c 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 41 14.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 6 2 c a b 1 2 1 1 1 и 3 , d a b 1 2 1 1 1 если | | 3, | | 8, ( , ) 30 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 14.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(1; –1; 1), B(4; 1; 2), C(2; 0; 1), D (5; 2; 8). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cos ÐDCA; 3) высоту VABC, опущенную из вершины A на BC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пира9 миды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC. 14.3. При каком значении k точки A(0; 1; 0), B(–1; 2; 1), C(2; 1; 3), D(2; 3; k) лежат в одной плоскости? 15.1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах 6 c a b 1 2 1 1 1 и 3 , d b a 1 2 1 1 1 если | | 3, | | 2 2, ( , ) 135 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 15.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 : A(3; –2; 0), B(5; –1; –1), D(2; 0; 1), A 1 (4; 1; 3). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cos ÐBAD; 3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из B на AD; 4) объ9 ем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ; 5) высоту параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , опущенную из A 1 на основание ABCD. 15.3. Компланарны ли векторы 1 2 1 1 1 1 1 (0; 1; 0), (3;3;1), (2;1;2)? a b c 16.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 3 6 c a b 1 2 1 1 1 и 3 , d a b 1 2 1 1 1 если | | 3, | | 2, ( , ) 60 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 16.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(1; 4; –2), B(–2; 5; 0), C(3; 4; 0), D (2; 5; –1). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cos ÐABC; 3) высоту VABC, опущенную из вершины A на BC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пирамиды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC. 16.3. При каком значении k векторы 1 1 1 1 1 1 (2;3;1), (1;1;2), (3; ; 0) a b c k ком9 планарны? 17.1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах 6 5 c a b 1 2 1 1 1 и 4 , d a b 1 2 1 1 1 если | | 4, | | 2, ( , ) 45 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 17.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 : A(4; 7; 3), B(0; 0; 5), D (1; –1; 7), A 1 (2; 3; –1). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cos ÐABC; 3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из вершины C на AB; 4) объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ; 5) высоту параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , опущенную из A 1 на основание ABCD. 17.3. Компланарны ли векторы 1 1 1 1 1 1 (4;7;3), (1;2;1), (0;5;6)? a b c 18.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 4 6 c a b 1 2 1 1 1 и , d a b 1 2 1 1 1 если | | 2 3, | | 3, ( , ) 120 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 18.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(2; –1; 1), B(4; –4; 1), C(1; 0; 1), D (3; 4; 6). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cos ÐADC; 3) высоту VABC, опущенную из вершины C на AB; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пира9 миды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC. 18.3. Компланарны ли векторы 1 1 2 1 1 1 1 (0;1; 0), ( 1;2;1), (2;1;3)? a b c 42 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ 19.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 3 c a b 1 2 1 1 1 и 7 5 , d a b 1 2 1 1 1 если | | 2, | | 5, ( , ) 150 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 19.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(4; 7; 0), B(1; –3; –5), C(1; 1; 1), D (8; 9; –3). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cos ÐCAB; 3) высоту VABC, опущенную из вершины A на BC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пирамиды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC. 19.3. Лежат ли точки A(4; 5; 2), B(1; –1; 3), C(5; 2; 7), D(1; 0; –3) в одной плоскости? 20.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 6 5 c a b 1 2 1 1 1 и 3 , d a b 1 2 1 1 1 если | | 4, | | 2, ( , ) 30 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 20.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(2; 3; 4), B(4; 7; 3), C(1; 2; 2), D (2; 5; 7). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cos ÐDBA; 3) высоту VABC, опущенную из вершины A на BC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пираB миды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC. 20.3. При каком значении k точки A(–1; –1; 0), B(1; 2; 1), C(0; 1; 2), D(2; 0; k) лежат в одной плоскости? 21.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 5 c a b 1 2 1 1 1 и 3 , d a b 1 2 1 1 1 если | | 6, | | 2, ( , ) 45 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 21.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(4; 0; 6), B(1; 3; –2), C(5; 7; 0), D (1; 1; 5). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cos ÐADB; 3) высоту VABC, опущенную из вершины C на AB; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пираB миды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC. 21.3. Лежат ли точки A(1; 2; 0), B(0; –2; 1), C(7; 5; –3), D(–2; 4; 1) в одной плоскости? 22.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 7 c a b 1 2 1 1 1 и 2 , d a b 1 2 1 1 1 если | | 3, | | 2 3, ( , ) 60 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 22.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(1; 2; 0), B(1; 6; 2), C(3; 2; 1), D (3; 2; 4). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cos ÐCAB; 3) высоту VABC, опущенную из вершины C на AB; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пираB миды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC. 22.3. При каком значении k точки A(–1; 0; –1), B(1; 2; 3), C(2; 2; 1), D(0; k; 2) лежат в одной плоскости? 23.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 4 7 c a b 1 2 1 1 1 и 5 , d a b 1 2 1 1 1 если | | 2, | | 8, ( , ) 135 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 23.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(6; 3; 0), B(5; 1; 2), C(1; 3; 3), D (–1; 4; 5). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cos ÐDBA; 3) высоту VABC, опущенную из вершины B на AC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоB ту пирамиды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC. 23.3. Компланарны ли векторы 1 2 1 2 2 1 1 1 1 (4;7; 1), ( 2; 3; 0), (5;2;1)? a b c 24.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 3 7 c a b 1 2 1 1 1 и 7 , d a b 1 2 1 1 1 если | | 3 3, | | 2, ( , ) 120 . a b a b 1 2 2 2 3 1 1 1 1 |