Рекомендовано

• Название: Рекомендовано
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 6.62 Mb.
• Имя файла: Matematika_dlya_ekonomistov_Sbornik_zadaniy_by_Nalivayko_L_V_Iva.pdf
• Тип: Учебное пособие; #577094
• страница: 5 из 62

33
1 2
1 2
1 3
2 3
1 2
1 3
13. a) 2 3
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(2; 1; 3), A
2
(5; 1; 2), A
3
(6; 9; 1).
2 3
1 2
1 3
1 3
2 1
2 3
14. a) 3 2
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(1; 1; 8), A
2
(–3; 4; 7), A
3
(6; 6; 7).
1 3
2 3
1 3
1 2
3 1
3 2
15. a) 2 3
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(1; 3; 9), A
2
(2; 9; 1), A
3
(8; –2; 7).
1 2
2 3
1 3
2 3
1 2
1 3
16. a) 3 2
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(1; 5; 1), A
2
(4; 4; 2), A
3
(2; 8; 7).
1 2
1 2
2 3
1 3
2 1
2 3
17. a) 2 3
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(3; 1; 2), A
2
(5; 5; 5), A
3
(6; –1; 0).
2 3
1 2
2 3
1 3
3 1
3 2
18. a) 3 2
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(3; 4; 9), A
2
(–4; 0; 1), A
3
(7; 7; 1).
2 3
1 3
1 2
2 3
1 2
1 2
1 3
19. a) 2 3
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
3 111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(–1; 2; 1), A
2
(1; 5; 9), A
3
(7; 3; 1).
1 3
1 2
1 3
2 3
2 3
2 1
2 3
20. a) 3
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
2 111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(2; 1; 1), A
2
(7; 1; 6), A
3
(3; 1; 6).
1 3
1 2
1 3
2 3
1 2
3 1
3 2
21. a) 3 2
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
3 111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(3; 1; 9), A
2
(5; 4; 8), A
3
(9; 3; 1).

34
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1 2
1 2
1 3
2 3
2 3
1 2
1 3
22. a) 3 2
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
3 111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(6; 1; 1), A
2
(9; 2; 9), A
3
(4; 3; 1).
1 2
1 2
1 3
2 3
1 3
2 1
2 3
23. a) 3 2
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
3 111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(–5; 1; 8), A
2
(7; 3; 6), A
3
(3; 5; 7).
1 3
1 2
1 3
2 3
1 2
3 1
3 2
24. a)
2
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
3 111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(–2; 1; 2), A
2
(6; –1; 7), A
3
(8; 2; 3).
2 3
1 2
1 3
2 3
1 3
1 2
1 3
25. a)
3
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
3 111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(5; 1; 4), A
2
(4; –4; 9), A
3
(7; 5; 2).
1 3
1 2
1 3
2 3
2 3
2 1
2 3
26. a)
2
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
2 111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(–9; 2; 0), A
2
(1; 5; 1), A
3
(3; 2; 8).
1 3
3 2
3 1
1 2
2 3
1 3
2 1
27. a) 2 3
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
3 111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(–2; 0; –3), A
2
(–1; 1; 4), A
3
(3; 1; 3).
1 2
1 2
2 3
2 3
1 2
1 3
28. a) 4
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(–5; 1; 6), A
2
(1; 4; 3), A
3
(6; 3; 9).
1 2
1 2
1 3
1 3
2 1
2 3
29. a)
4
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(1; 9; 4), A
2
(8; 7; 2), A
3
(9; 1; 0).
2 3
1 2
1 3
1 3
3 1
3 2
30. a)
4
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
3 111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(1; 7; 4), A
2
(3; 2; 3), A
3
(7; 4; 6).

2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
35
3. Даны векторы и .
a
b
1 1
Найти:
1. a) 2
; b) пр (3
); c) cos(4
,
),
b
a b
a
b
a
b
b
1 2
3 3 4 1
1 1
1 1
1 1
1
если
,
2
, |
|
2, | |
3, (
, )
3
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4 3
5 3
3 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2. a)
4 ; b) пр (2 3 ); c) cos(
2 , 3 ),
a
a
b
a
b
a
b
a
1 2
3 3 4 1
1 1
1 1
1 1
1
если
3
,
2 , |
|
3, | |
2, (
, )
3
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 5 3
3 3
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 3. a)
; b) пр (4 2 ); c) cos(
, ),
b
a b
a
b
a
b b
1 2
3 4
1 1
1 1 1 1
1 1
2
если
3 ,
2 3 , |
|
4, | |
1, (
, )
3
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4 3
5 3
3 3
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 4. a)
; b) пр (
3 ); c) cos( , 2 3 ),
a
a b
a
b
a
a
b
1 2
3 4
1 1
1 1
1 1
1 1
если
4
,
2 , |
|
2, | |
2, (
, )
4
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 5 3
3 3
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 5. a)
; b) пр (
2 ); c) cos( ,5
),
b
a b
a
b
b
a
b
1 2
3 4 3
1 1
1 1
1 1
1 1
2
если
2 3 ,
4 , |
|
1, | |
4, (
, )
3
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4 5
3 5 3
3 3
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 6. a)
; b) пр (3 2 ); c) cos( ,
4 ),
a
a b
a
b
a a
b
1 2
3 3
1 1
1 1
1 1
1 1 3
если
2 3 ,
5
, |
|
2, | |
3, (
, )
4
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 5
3 3
3 1
1 1
1 1 1 1 1
1 1 7. a)
; b) пр (
4 ); c) cos( ,
),
b
a b
a
b
b a
b
1 2
3 4
1 1
1 1
1 1
1 1
если
3
,
4 2 , |
|
3, | |
5, (
, )
3
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4 5
3 4
3 3
3 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 8. a)
; b) пр (2
); c) cos( ,
3 ),
b
a b
a
b
b a
b
1 2
3 4
1 1
1 1
1 1
1 1
3
если
5 2 ,
, |
|
3, | |
2, (
, )
4
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 5 3
3 3
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1
9. a)
; b) пр (3
); c) cos
2 ,
,
2
a
a b
a
b
a
b a
1 2
3 4
5 6
7 8
9 1
1 1
1 1
1 1
1
если
4 6 ,
3 , |
|
2 2, | |
1, (
, )
4
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 5 3
3 3
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
þ

36
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
10. a)
; b) пр ( 2 3 ); c) cos(
, ),
b
a b
a
b
a
b b
1 2
3 4
4 1
1 1
1 1 1
1 1
2
если
5 ,
7
, |
|
4, | |
2, (
, )
3
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4 5 3
5 3
3 3
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 2 1
11. a)
; b) пр
; c) cos(
, ),
2
a
a b
a
b
a
b a
3 4
5 6
1 1
1 1
1 1
1 1
если
4 3 ,
2 4 , |
|
3, | |
2, (
, )
6
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 5
3 3
3 1
1 1
1 1
1 1 1
1 1 12. a)
; b) пр (
3 ); c) cos(
2 , ),
b
a b
a
b
a
b b
1 2
3 4
1 1
1 1 1 1
1 1
5
если
7 8 ,
, |
|
4, | |
3, (
, )
6
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 5 3
3 3
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 13. a)
; b) пр (4
); c) cos(2
, ),
a
a b
a
b
a
b a
1 2
3 3
1 1
1 1
1 1
1 1
3
если
2
,
5 , |
|
2 2, | |
1, (
, )
4
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 5 4 3
3 3
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 14. a)
; b) пр ( 4 3 ); c) cos(
2 , ),
b
a b
a
b
a
b b
1 2
3 4
4 1
1 1
1 1 1
1 1
если
3 7 ,
4
, |
|
6, | |
1, (
, )
3
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4 5
3 5
3 3
3 1
1 1
1 1 1 1 1
1 1 15. a)
; b) пр (
5 ); c) cos( ,
),
a
a b
a
b
a a
b
1 2
3 4
1 1
1 1
1 1
1 1
если
2 5 ,
3 4 , |
|
2 3, | |
3, (
, )
6
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4 5
3 4 5
3 3
3 1
1 1
1 1
1 1 1
1 1 16. a)
; b) пр (
5 ); c) cos(
3 , ),
b
a b
a
b
a
b b
1 2
3 3 4 1
1 1
1 1 1
1 1
2
если
2 6 ,
, |
|
8, | |
1, (
, )
3
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4 5
3 4 3
3 3
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 17. a)
; b) пр (5 2 ); c) cos(2
, ),
a
a b
a
b
a
b a
1 2
3 3
1 1
1 1
1 1
1 1
5
если
3 2 ,
7 3 , |
|
4 3, | |
2, (
, )
6
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 5
3 3
3 1
1 1
1 1
1 1 1
1 1 18. a)
; b) пр (5 2 ); c) cos( ,
),
b
a b
a
b
b b
a
1 2
3 4
1 1
1 1 1 1
1 1
если
5 5 ,
9 4 , |
|
1, | |
4, (
, )
3
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 4
3 3
3 1
1 1
1 1
1 1 1
1 1

2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
37
1 1
19. a)
; b) пр (
5 ); c) cos
,
,
2 2
b
a b
a
b
b
a
b
1 2
3 4
5 6
7 8
9 1
1 1
1 1
1 1
1
если
7 8 ,
6 , |
|
2 2, | |
3, (
, )
4
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 5 4 3
3 3
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 20. a)
; b) пр (
5 ); c) cos(
3 , ),
a
a b
a
b
a
b a
1 2
3 4
1 1
1 1
1 1
1 1
если
8 5 ,
2 , |
|
1, | |
2 3, (
, )
6
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4 5
3 5 3
3 3
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 21. a)
; b) пр ( 3
); c) cos(
2 , ),
b
a b
a
b
a
b b
1 2
3 4
3 4 1
1 1
1 1 1
1 1
3
если
3 8 ,
4
, |
|
2, | |
4, (
, )
4
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4 5
3 5
3 3
3 1
1 1
1 1 1 1 1
1 1 22. a)
; b) пр (5 3 ); c) cos( 3
, ),
a
a b
a
b
a
b a
1 2
3 4
3 1
1 1
1 1
1 1
1 5
если
3
,
9 , |
|
4, | |
3, (
, )
6
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 4 3
3 3
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 23. a)
; b) пр (3 5 ); c) cos
,
,
2 2
b
a b
a
b
a
b b
1 2
3 4
5 5
6 7
8 9
1 1
1 1 1 1
1 1
2
если
5 4 ,
3 2 , |
|
2, | |
3, (
, )
3
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 5
3 3
3 1
1 1
1 1
1 1 1
1 1 24. a)
; b) пр ( 5
); c) cos( ,
2 ),
a
a b
a
b
a a
b
1 2
3 4
3 1
1 1
1 1
1 1 1
если
2 7 ,
5 3 , |
|
6 2, | |
1, (
, )
4
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 4
3 3
3 1
1 1
1 1
1 1 1
1 1 25. a)
; b) пр (5 4 ); c) cos( 4
, ),
b
a b
a
b
a
b b
1 2
3 4
3 1
1 1
1 1 1
1 1
если
2
,
7 3 , |
|
3, | |
4, (
, )
6
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 4
3 3
3 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 26. a)
; b) пр (5 4 ); c) cos(
3 , ),
b
a b
a
b
a
b b
1 2
3 4
1 1
1 1 1 1
1 1
если
9 10 ,
, |
|
3, | |
4, (
, )
3
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 5 3
3 3
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 27. a)
; b) пр (3
); c) cos(
,
2 ),
b
a b
a
b
a
b b
a
1 2
3 4
3 1
1 1
1 1 1
1 1
1
если
5 2 ,
3 , |
|
2, | |
2, (
, )
4
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 5 3
3 3
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1

38
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
28. a)
; b) пр (4 5 ); c) cos(
2 , 4 ),
b
a b
a
b
a
b
b
1 2
3 3 4 1
1 1
1 1
1 1
1 2
если
6 ,
3 4 , |
|
2, | |
5, (
, )
3
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4 5 3
5 3
3 3
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 29. a)
; b) пр ( 4 5 ); c) cos(4
, ),
a
a b
a
b
a
b a
1 2
3 4
3 1
1 1
1 1
1 1
1 5
если
3 3 ,
7 3 , |
|
8, | |
3, (
, )
6
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 5
3 3
3 1
1 1
1 1
1 1 1
1 1 30. a)
; b) пр ( 5 3 ); c) cos(
4 , ),
b
a b
a
b
a
b b
1 2
3 4
4 1
1 1
1 1 1
1 1
3
если
5 6 ,
3 , |
|
3 2, | |
2, (
, )
4
a
m
n b
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 4 5 3
3 3
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
ИДЗ 5.
ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
1.1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
2 3
c
a
b
1 2
1 1
1
и
4
,
d
a
b
1 2
1 1
1
если | |
2, | |
1, ( , )
30 .
a
b
a b
1 2
2 2
3 1
1 1
1 1.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
: A(1; 2; –3); B(2; 4; 0);
D
(2; 3; 0); A
1
(5; 3; 1). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cos
ÐBAD;
3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из B на AD; 4) объем паралле?
лепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
; 5) высоту параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, опу?
щенную из A
1
на ABCD.
1.3. При каком значении k векторы
1 2 1
1 1
1 1
( 1;1;1),
(2; 0;3),
(2;2; )
a
b
c
k
ком?
планарны?
2.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
4
c
a
b
1 2 1
1 1
и
3
,
d
a
b
1 2
1 1
1
если
| |
3, | |
4, ( , ) 150 .
a
b
a b
1 2
2 2
3 1
1 1
1 2.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(2; 1; 0), B(5; 3; 1), C(0; 1; 2),
D
(4; 3; 1). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cos
ÐDAB; 3) высоту VABC,
опущенную из C на AB; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пирамиды ABCD,
опущенную из D на основание ABC.
2.3. При каком значении k точки A(1; 1; 0), B(2; 3; 1), C(1; –1; 2), D(3; 2; k)
лежат в одной плоскости?
3.1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
3
c
a
b
1 2
1 1
1
и
5 2 ,
d
a
b
1 2
1 1
1
если
| |
4, | |
1, ( , )
30 .
a
b
a b
1 2
2 2
3 1
1 1
1 3.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
: A(3; 2; –1), B(0; 4; 7),
D
(–2; 5; 1), A
1
(2; 2; 5). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cos
ÐBAD;
3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из A на CD; 4) объем паралле?
лепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
; 5) высоту параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, опущен?
ную из A
1
на ABCD.
3.3. Компланарны ли векторы
1 1
1 2
1 1
1
(4;7;3),
(5;5;2),
(3; 1; 0)?
a
b
c

2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ