Рекомендовано

• Название: Рекомендовано
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 6.62 Mb.
• Имя файла: Matematika_dlya_ekonomistov_Sbornik_zadaniy_by_Nalivayko_L_V_Iva.pdf
• Тип: Учебное пособие; #577094
• страница: 9 из 62

52
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
28.4. Найти 1/3 площади параллелограмма, сторонами которого явля'
ются векторы
, ,
p q
1 1
если
2
,
4 5 , |
|
5, | |
2, (
, )
4
p
m
n q
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 4
3 3
3 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 28.5. Найти значение k, при котором
,
m
n
1 1
1
если
17 ,
3
,
m
ka
b n
a
b
1 2
1 3
1 1
1 1
1 1
| |
2, | |
5, ( , ) 120 .
a
b
a b
1 2
2 2
3 1
1 1
1 29.1. Найти
44cos(
,
),
AB AC
1 11112 1112
если A(2; –1; 1), B(1; 2; 0), C(1; 2; 2).
29.2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
, ,
a b
1 1
если
3 4
5 ,
6 4 .
a
i
j
k b
i
j
k
1 2
2 1 2 2
1 1 1
1 1
1 1
1 29.3. Найти пр
,
b
c
1 1
если
1 2
1 2
1 2
1 1 1
1 1
(1; 1;2),
3
,
(2; 2;1).
a
c
a
b b
29.4. Найти
2
|
| ,
b
a
1 1 1
если
2
,
2 , (
, )
, |
|
| |
1.
3
a
m
n b
m
n
m n
m
n
1 2
3 4
3 5 3
3 3
1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 29.5. Найти
2
|
|,
3
a b
1 1
1
если
2
,
2 , (
, )
, |
|
| |
1.
3
a
m
n b
m
n
m n
m
n
1 2
3 4
3 5 3
3 3
1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 30.1. Найти площадь треугольника ABC, если A(1; 2; 0), B(3; 0; –3), C(5; 2; 6).
30.2. Найти
7(2cos( ,
)
cos( , )),
a m
a n
1 1
2 1 1 1 1
если
(
, ) 120 , |
|
| |
1,
m n
m
n
1 2
3 2
2 1 1 1
1 2
a
m
n
1 2
1 1 1 30.3. Найти 21(cos a + cos b + cos g), если cos a, cos b, cos g — направляю'
щие косинусы вектора
2 3
6 .
a
i
j
k
1 2
3 1
1 1
1 30.4. Найти пр
,
AB
BC
11112 1112
если
3 2
6 ,
4 4
4 .
AB
i
j
k BC
i
j
k
1 2 2 3
1 2 3 3
11112 1112 2
2 2
2 2
2 30.5. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
, , ,
a b c
1 1
1
если
1 2
1 1
2 1
1 1
(2;1; 3),
(1;2;1),
(1; 3;1).
a
b
c
31.1. Найти
5 cos( , ),
a b
1 2
1 1
если
1 1
2 2 1
1
(0;1;0),
(0; 4; 3).
a
b
31.2. Найти
(
)
| |,
a b
c
c
1 2 3 1
1 1 1
если
2
,
2 ,
2 2 .
a
i
j
k b
i
k c
i
j
k
1 2 3 2 1 2 1
3 2 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
31.3. Найти пр
,
n
a
1 1
если
2 3 , (
, )
, |
|
2, | |
3.
4
a
m
n
m n
m
n
1 2
3 4
3 3
3 1
1 1 1 1 1
1 31.4. Найти площадь треугольника ABC, если A(0; 1; –1), B(2; –1; –4),
C
(4; 1; 5).
31.5. Найти
97 |
2 |,
a
b
1 2 1
1
если
( , )
, | |
3, | |
4.
3
a b
a
b
1 2
3 3
3 1
1 1
1 32.1. Найти
6 cos(
,
),
AB CD
1 2
11112 1112
если A(2; 2; 2), B(1; 0; 1), C(4; 2; –3), D(2; –3; 2).
32.2. Найти
46 пр
,
a
c
1 1
1
если
3 6
,
2 3 ,
3 2 .
a
i
j
k c
b
a b
i
j
k
1 2
3 1
3 1
2 2 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
32.3. Найти значение a, при котором векторы
, ,
a b c
1 1
1
компланарны, если
3 6
,
2 3 ,
3 2 .
a
i
j
k c
i
k b
i
j
k
1 2
3 1
3 1
2 4 2 1
1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 32.4. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
, ,
a c
1 1
если
2 3
4 ,
2 .
a
i
j
k c
i
j
1 2
2 1 2 1
1 1
1 1
1 1
32.5. Найти значение a, при котором векторы и
a
b
1 1
ортогональны, если
3 6
,
3 2 .
a
i
j
k b
i
j
k
1 2
3 1
2 4 2 1 1 1
1 1
1 1
1 33.1. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
,
,
,
AB AC AD
11112 1112 11112
если A(5; 1; –4), B(1; 2; –1), C(3; 3; –4), D(2; 2; 2).

2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
53
33.2. Найти 5(cos a + cos b + cos g), если cos a, cos b, cos g — направляю
щие косинусы вектора
1 2
1
(3; 0; 4).
a
33.3. Найти пр
,
n
a
1 1
если
3 2 , (
, )
, |
|
2, | |
2.
4
a
m
n
m n
m
n
1 2
3 4 3
3 3
1 1 1 1 1 1
1 33.4. Найти
|
|,
a b
1 1
1
если
2
,
2 , (
, )
, |
|
| |
2.
6
a
m
n b
m
n
m n
m
n
1 2
3 4
3 5 3
3 3
1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 33.5. Найти абсциссу точки D, если A(–3; –2; 0), B(3; –3; 1), C(5; 0; 2),
ABCD
— параллелограмм.
34.1. Найти sin(
,
),
AB AC
1 11112 1112
если A(5; 1; 2), B(–1; –2; 4), C(2; 3; –4).
34.2. Найти
1 2
3
(
)
,
F
F
F
AB
1 1
2 112 112 112 11112
если
1 2
2
,
2 2 ,
F
i
j
k F
i
j
k
1 2 3 1 2 3 3
112 112 2
2 2
2 2
2 1 2 3 1
3 112 11112 2
2 2
3 2 ,
(2;2; 1).
F
i
j
k AB
34.3. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
, ,
p q
1 1
если
3 2 ,
2 , | |
5, | |
2, ( , ) 135 .
p
a
b q
a
b a
b
a b
1 2
3 2 4 2
2 2
5 1
1 1
1 1
1 1 1 1
1 34.4. Найти
2(cos
2cos
3cos ),
1 2 3 4 5
если cos a, cos b, cos g — направляю
щие косинусы вектора
,
AD
11112
A(2; –1; 1), D(–1; 3; –4).
34.5. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
, , ,
a b c
1 1
1
если
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 1
1 1
1
(1; 1;2),
(2; 2;1),
2
,
(2; 1;3).
a
b
c
a
d d
35.1. Найти
(
)
,
AB
AC
AD
1 2
11112 1112 11112
если A(1; 2; 3), B(2; –4; 0), C(1; 0; 3), D(2; 0; 4).
35.2. Найти абсциссу вектора
,
m
1
коллинеарного вектору
,
a
1
сонаправлен
ного с
,
a
1
если
6 2
2 , |
|
6 11.
a
i
j
k m
1 2
3 1
1 1
1 1
1 35.3. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
, , ,
a b c
1 1
1
если
3 ,
3 4 ,
2 .
a
i
k b
j
k c
i
j
1 2 3 1 2 3 1 3 1 1 1
1 1
1 1
1 1
35.4. Найти удвоенную площадь параллелограмма, построенного на век
торах
, ,
p q
1 1
если
,
3 , |
|
5, | |
2 2, (
, )
4
p
m
n q
m
n m
n
m n
1 2
3 4 3 4 3
3 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 35.5. Найти пр
,
b
a
1 1
если
1 2 2 1 2 1
2 1 3 1
1 1
1 1
1 1 1
( 1; 3;11),
2 ,
(1;3; 4),
a
m
i
k n
b
m n

3.
ЭЛЕМЕНТЫ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Е
сли на плоскости задана прямоугольная декартовая система координат
Oxy
, то расстояние d между точками M
1
(x
1
, y
1
) и M
2
(x
2
, y
2
) определяется по формуле
2 2
2 1
2 1
(
)
(
) .
d
x
x
y
y
1 2
3 2
Координаты точки C(x, y), делящей отрезок между точками A(x
1
, y
1
) и
B
(x
2
, y
2
) в заданном отношении l, определяются по формулам
1 2
1 2
,
1 1
y
y
x
x
x
y
1 2 1 2 3
3 1 2 1 2
В частности, при l = 1 получаются формулы для координат середины от
резка:
1 2
1 2
,
2 2
y
y
x
x
x
y
1 1
2 2
В декартовой прямоугольной системе координат Oxy на плоскости любая прямая может быть задана уравнением первой степени относительно x и y:
Ax
+ By + C = 0,
(1)
где A, B, C — некоторые действительные числа, причем A
2
+ B
2
> 0, и обрат
но: всякое уравнение вида (1) определяет прямую.
Вектор
( , )
N
A B
1 1
перпендикулярен к прямой (1) и называется нор
мальным вектором
прямой. Уравнение (1) называется общим уравнением
прямой.
Если B
¹ 0, то уравнение (1) можно разрешить относительно y и предста
вить в виде
y
= kx + b (k = tg a),
(2)

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
55
которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k. Угол a,
отсчитываемый от положительного направления оси Ox до прямой против хода часовой стрелки, называется углом наклона прямой.
Существуют и другие виды уравнения прямой на плоскости:
1) параметрические уравнения:
0 0
,
,
x
x
mt
y
y
nt
1 2
3 4 1 2 5
где
( , )
S
m n
1 1
— направляющий вектор прямой, расположенный параллель5
но данной прямой, а точка M
0
(x
0
, y
0
) лежит на этой прямой;
2) каноническое уравнение прямой:
0 0
,
x
x
y
y
m
n
1 1
2
где
( , )
S
m n
1 1
— направляющий вектор прямой;
3) уравнение прямой в отрезках:
1,
y
x
a
b
1 2
эта прямая отсекает отрезок a на оси Ox и отрезок b на оси Oy;
4) нормальное уравнение прямой:
x
cos a + y sin a – p = 0,
где p — длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на пря5
мую, а a — угол наклона нормального вектора прямой
N
1
к положительному направлению оси Ox;
5) уравнение прямой, проходящей через две точки M
1
(x
1
, y
1
) и M
2
(x
2
, y
2
):
1 1
2 1
2 1
;
y
y
x
x
x
x
y
y
1 1
2 1
1 6) уравнение прямой, проходящей через точку M
0
(x
0
, y
0
) с заданным уг5
ловым коэффициентом k:
y
– y
0
= k(x – x
0
).
Рассмотрим случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости.
1. Если прямые заданы общими уравнениями A
1
x
+ B
1
y
+ C
1
= 0 и A
2
x
+
+ B
2
y
+ C
2
= 0, то угол j между ними находится по формуле
1 2
1 2
1 2
2 2
2 2
1 2
1 1
2 2
cos
N
N
A A
B B
A
B
A
B
N
N
1 2
3 4 4
2 1
2 1112 1112 1112 1112
Условие перпендикулярности
этих прямых имеет вид
A
1
A
2
+ B
1
B
2
= 0,
а условие их параллельности:
1 1
1 2
2 2
A
B
C
A
B
C
1 2

56
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2. Если прямые заданы уравнениями вида y = k
1
x
+ b
1
и y = k
2
x
+ b
2
, то угол j между ними находится по формуле
2 1
1 2
tg
1
k
k
k k
1 2 3 4 5
Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо, чтобы выполня0
лось равенство k
1
= k
2
, а для их перпендикулярности необходимо и достаточ0
но, чтобы k
1
× k
2
= –1.
Расстояние d от точки M
0
(x
0
, y
0
) до прямой Ax + By + C = 0 вычисляется по формуле
0 0
2 2
|
|
Ax
By
C
d
A
B
1 1
2 1
Линией второго порядка
называется множество точек плоскости, декар0
товы координаты x и y которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени
Ax
2
+ 2Bxy + Cy
2
+ 2Dx + 2Ey + F = 0,
(3)
где A, B, C, D, E, F — действительные числа, такие что A
2
+ B
2
+ C
2
> 0. Урав0
нение (3) называется общим уравнением линии второго порядка.
Уравнение (3), в зависимости от значений коэффициентов A, B и C, опре0
деляет на плоскости Oxy одну из кривых второго порядка:
1) если AC – B
2
> 0, то уравнение определяет эллипс;
2) если AC – B
2
> 0, A = C, то уравнение определяет окружность;
3) если AC – B
2
< 0, то уравнение определяет гиперболу;
4) если AC – B
2
= 0, то уравнение определяет параболу.
Окружностью
называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки C, называемой центром окружности.
Уравнение окружности с центром в точке C(x
0
, y
0
) и радиусом R (расстоя0
ние от любой точки окружности до ее центра) всегда можно привести к виду
(x – x
0
)
2
+ (y – y
0
)
2
= R
2
Эллипсом
называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F
1
и F
2
, называемых фокусами,
есть величина постоянная.
Если систему координат выбрать так, что координаты фокусов F
1
(c; 0)
и F
2
(–c; 0), то в выбранной таким об0
разом системе координат уравнение эллипса будет иметь вид
2 2
2 2
1,
y
x
a
b
1 2
(4)
где b
2
= a
2
– c
2
. Уравнение (4) называет0
ся каноническим уравнением эллипса,
параметр a — большая полуось эллип0
са, b — малая полуось эллипса, 2c —
расстояние между фокусами эллипса
(рис. 3.1).
Рис. 3.1
Эллипс

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
57
Форма эллипса характеризуется его эксцентриситетом
e, который ра'
вен числу
c
a
1 2
Уравнение директрис эллипса:
1 2 3
a
x
и
1 2 3
a
x
Гиперболой
называется геометрическое место точек, разность расстоя'
ний от каждой из которых до двух данных точек F
1
и F
2
, называемых фоку'
сами, есть величина постоянная.
Если поместить фокусы гиперболы в точках F
1
(c; 0) и F
2
(–c; 0), то полу'
чится каноническое уравнение гиперболы
2 2
2 2
1,
y
x
a
b
1 2
где b
2
= c
2
– a
2
. Точки A
1
(a; 0) и A
2
(–a; 0) называются вершинами гиперболы.
Отрезок A
1
A
2
называется действительной осью гиперболы, а отрезок B
1
B
2
такой, что |B
1
B
2
| = 2b — мнимой осью (рис. 3.2).
Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние от точки
M
(x, y) гиперболы до этой прямой стремится к нулю при x
® ±¥, т. е. ветви гиперболы неограниченно приближаются к ее асимптотам при удалении в бесконечность.
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых имеют вид
,
b
y
x
a
1 2
если гипербола задана каноническим уравнением.
Эксцентриситет гиперболы:
1.
c
a
1 2 3
Уравнения директрис гиперболы:
1 2 3
a
x
и
1 2 3
a
x
Параболой
называется множество всех точек плоскости, равноудален'
ных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Если директрисой параболы является прямая
,
2
p
x
1 2
а фокусом — точ'
ка
, 0 ,
2
p
F 1 2
3 4
5 6
то уравнение параболы имеет вид (рис. 3.3)
y
2
= 2px.