Рекомендовано

• Название: Рекомендовано
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 6.62 Mb.
• Имя файла: Matematika_dlya_ekonomistov_Sbornik_zadaniy_by_Nalivayko_L_V_Iva.pdf
• Тип: Учебное пособие; #577094
• страница: 17 из 62

106
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 3
1 20.1.
3 2
x
y
x
1 2
3 20.2.
cos
x
e
y
x
1 20.3.
arccos tg tg cos .
y
x
x
1 2
6 20.4.
(tg2 )
x
y
x
1 2
20.5. sin
2 2
0.
x
x
y
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 4
2 2
5 21.1.
3
(6 1) .
y
x
x
x
1 2
3 3
1 21.2.
1
x
x
e
y
e
1 2
3 21.3.
arctg sin .
y
x
x
1 2
1 21.4.
(ctg ) .
x
y
x
1 21.5. sin cos
0.
x
y
y
x
1 2
2 22.1.
4 1 1
x
y
x
x
1 2
3 3
2 22.2.
sin 3 .
y
x
1 5
6 22.3.
arcsin
6
x
y
x
1 2
22.4.
x
e
y
x
1 2
2 22.5.
0.
xy
e
x
y
1 2
3 3
3 3
1 23.1.
1
x
y
x
1 2
3 2
23.2.
1 ln
y
x
1 2
3 1
23.3.
arccos
y
x
x
1
arcsin
23.4.
x
y
x
1 23.5. sin cos(
)
cos .
y
x
x
y
y
1 2 3 24.1.
y
x
x
1 2
4ln
24.2.
1 ln
x
y
x
1 2
2 24.3.
arctg
1.
y
x
1 2
sin
24.4.
(cos )
x
y
x
1 2
24.5. tg cos
0.
x
y
y
x
y
1 2
3 5
3 2
3 25.1.
3 1
4.
y
x
x
1 2 2 2
3 1
25.2.
tg ctg
3
y
x
x
x
1 2
3 3
25.3.
arctg
1
x
y
x
1 2
3
sin
25.4.
(ln )
x
y
x
1 25.5.
arctg
0.
y
x
y
e
x
1 2 3
2 26.1.
1
y
x
x
1 2
1 tg
26.2.
ln
1 tg
x
y
x
x
1 2
3 3
2 26.3.
arctg sin
y
x
1 2
26.4.
(arcsin5 ) .
x
y
x
1 26.5.ln arcsin .
x
y
y
1

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
107
5 2
2 27.1.
4 3
1
y
x
x
x
1 2 3 2 2 1 sin
27.2.
ln
1 cos
x
y
x
1 2
3 2
27.3.
arccos tg .
y
x
1
cos
2 27.4.
(
1)
x
e
y
x
1 2
3 27.5.
0.
xy
x
y
e
1 1 2
5 4
3 5
28.1.
3 5
y
x
x
x
1 2
3 2
28.2.
ln(
1
).
x
x
y
e
e
1 2
2 2
arccos
28.3.
x
y
x
1 2
28.4.
(cos ) .
x
y
x
1 2
2 28.5.2 0.
x
xy
y
1 2
3 2
1 29.1.
1
y
x
x
1 2
2 2
ln
29.2.
1
x
y
x
1 2
3 29.3.
arccos
x
y
e
1
arcsin
29.4.
x
y
x
1 29.5.ln arctg .
x
y
y
1 1
2 1 3
5 5
5 1
30.1.
1
x
y
x
x
2 3
30.2.
tg (
1).
y
x
1 2
3 1
30.3.
sin
5
x
y
x
1 2
3
tg
30.4.
x
y
x
1 30.5.
sin(
) 3 0.
xy
xy
1 2 3
2. Найти производную второго порядка
( ).
y x
11 3
1.
ln .
y
x
x
1 2
2.
arctg
y
x
1 2
3.
(1
) tg .
y
x
x
1 2 4.
ln ln .
y
x
1 5.
ln ctg4 .
y
x
1 2
3 6.
(1
) .
y
x
1 2
ctg3 7.
2
x
y
1 2
3 8.
ln
y
x
x
1 2
9.
cos4 .
x
y
e
x
1 2
10.
e
x
y
x
1 2
2 11.
1
x
y
x
1 2
2 12.
1
x
y
x
1 2
ln
13.
x
y
x
1 1
14.
x
y
x e
1 2 3
cos
15.
sin
3
x
y
x
1 2
2 16.
ln .
y
x
x
1 17.
x
y
x e
1 2 3 18.
cos .
x
y
e
x
1 2
19.
x
y
xe
1 3
20.
x
y
xe
1 2
sin
21.
x
y
x e
1 2 1
22.
1
x
x
y
e
x
1 1
2 3
4 2
2 23.
arctg
1
x
y
x
1 2
1 2 24.
ln tg
4 2
x
y
3 4
5 25.
arctg .
y
x
x
1 2 2
26.
1
y
x
x
1 2
27.
arctg .
y
x
x
1 2 2 5 28.
x
y
x e
1 3
29.
arctg .
y
x
x
1 2
30.
ln(
).
y
x
x
1 2
þ

108
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
3. Найти производную функции
( ).
x
y t
1
ln cos ,
1.
ln sin .
x
t
t
y
t
t
1 2 3
4 1 5 6
3 2
sin2 ,
2.
sin
x
t
t
y
t
1 2 3
4 1 5
3 1
sin2 ,
3.
2
cos
x
t
t
y
t
1 2 3 4
5 4 2 6
5 3
2 ,
4.
8 1.
x
t
t
y
t
t
1 2 3
4 1 5 5 6
3 2
2 1
1
,
3 2
5.
1 2
x
t
t
t
t
y
t
1 2 3
3 4
5 4 2 3 6
2
arcsin(
1),
6.
arccos2 .
x
t
y
t
1 2
3 4 1 5
2 3
1,
7.
x
t
t
y
t
t
1 2 2 3
4 1 2 5
2
ctg ,
8.
1
cos
x
t
y
t
1 2
3 4 1 35 2
2 2
2
,
2 9.
2
t
x
t
t
y
t
1 2 3 4
5 6
4 3 5
7 3
3 2cos 2 ,
10.
sin 2 .
x
t
y
t
1 2
3 1 4
2 3
2
,
11.
3
x
t
t
y
t
t
1 2 3
4 1 2 5
2 3cos ,
12.
4sin .
x
t
y
t
1 2
3 1 4
3 3
2cos ,
13.
4sin .
x
t
y
t
1 2
3 1 4
cos sin ,
14.
sin cos .
x
t
t
t
y
t
t
t
1 2
3 4 1 5
6 2cos cos2 ,
15.
2sin sin2 .
x
t
t
y
t
t
1 2
3 4 1 2
5 2
2
,
16.
ln .
x
t
t
y
t
1 2
3 4 1 5
3 2
3
,
17.
3 .
x
t
t
y
t
1 2
3 4 1 5
3 2
2
,
18.
2 .
x
t
t
y
t
1 2
3 4 1 5
2 2
sin
,
1 19.
cos
1
t
x
t
t
y
t
1 2 3
4 5
3 2 4
6 1 2
ln ,
20.
1 1
2
x
t
y
t
t
3 45 6 3 7 58 2
3
,
21.
1 3
x
t
y
t
t
1 2 3
4 2 5
36
sin ,
22.
1 cos .
x
t
t
y
t
1 2 3
4 1 2 5
sin ,
23.
2
cos .
t
x
y
t
1 2 3
4 3 2 5
6 6
cos6
,
24.
sin(6
).
x
t
t
y
t
t
1 2
3 4 1 2
5 2
,
25.
cos .
t
x
e
y
t
1 2
3 1 4
cos ,
26.
2
sin .
t
x
y
t
t
1 2 3
4 3 2 5 6
tg ctg ,
27.
2ln ctg .
x
t
t
y
t
1 2
3 4 1 5
3 2
1,
28.
t
x
t
y
e
1 2 3
4 1
5 2
3 3cos ,
29.
2sin .
x
t
y
t
1 2
3 1 4
8 cos ,
30.
8 sin .
x
t
t
y
t
t
1 2
3 1 4
4. Найти производную первого порядка
( )
y x
1
в указанной точке.
0 3
1 2 1.
,
4.
1 2
x
y
x
x
1 2
2 3
5 0
2.
,
0.
x
y
x e
x
1 2 1
2 0
3.
ln(1 5
),
0.
x
y
x
1 2
3 2
0 4.
2
,
1.
y
x
x x
1 2
1
þ
þ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
109
3 0
5.
sin cos3 ,
2
y
x
x x
1 2
3 2
0 6.
,
2.
2 1
x
y
x
x
1 1 2 2
3 2
0 7.
,
8.
2 2
x
y
x
x
1 1 2 3 2 2
0
(
1)
8.
,
0,01.
x
y
x
x
1 2
2 2
2 1
9.
,
2
найти
(2)
( 2).
y
x
x
y
y
1 2
3 3
2 2
3 2
3 10.
,
6 5
найти
(0)
(2).
x
y
x
y
y
1 2
3 4
4 2
0 11.
cos3 ,
0.
x
y
e
x x
1 2
2 0
ln(1
)
12.
,
0.
cos
x
y
x
x
1 2
2 1 2 3
0 13.
tg
,
2.
6
x
y
x
3 4
4 3
2 0
14.
,
1.
3
x
y
x
x x
1 2
3 1 2 3
2 15.
(
)
,
(2;1).
y
x
y
x
y
М
1 2
2 2 1
16.
,
(0;1).
y
x
ye
e
М
1 2
0
cos ,
17.
4
sin ,
t
t
y
e
t
t
x
e
t
1 2 3
4 1
5 1 2 6
0
ln ,
18.
1.
ln
,
x
t
t
t
t
y
t
1 23 1
4 1 35 0
2(
sin ),
19.
2 2(1 cos ),
x
t
t
t
y
t
1 2
3 4
1 5 1 2 6
2 20.
ln ,
(1;1).
y
y
x
М
x
1 2 3
0 2
1 21.
(1
) 5
,
1.
y
x
x
x
1 2
3 4 5
3 6
7 8
9 2
0 3
22.
,
0.
5 5
x
y
x
x
1 2
1 3
3 0
23.
(1
),
0.
y
x
x
x
1 2
1 0
2 24.
,
2.
1
x
y
x
x
1 1
2 0
9 25.
,
9.
1
x
y
x
x
1 2
2 3
3 26.2 1
,
(1;1).
y
xy
М
1 2
ln
0 27.
,
x
y
e
x
e
1 1
3 0
28.
tg
,
2 2
x
y
x
1 2
2 2
2 29.
(
1)(
1),
найти
(0)
(1).
y
x
x
x
x
y
y
1 2 2 3 2 4
4 2
2 1
3 30.
,
2 1
найти
(0)
(1).
y
x
x
y
y
1 2
2 2
3 3
2

5.
КОМПЛЕКСНЫЕ
ЧИСЛА
К
омплексным числом
z называют выражение z = x + iy, где x и y — дейст
вительные числа. При этом x называется действительной частью комплекс
ного числа, y — мнимой частью, i — мнимой единицей.
Комплексные числа z
1
= x
1
+ iy
1
и z
2
= x
2
+ iy
2
называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: x
1
= x
2
, y
1
= y
2
Если число z = x + iy, то число x – iy называется комплексно сопряженным
к z и обозначается
z
Комплексное число z = x + iy геометрически изо
бражается точкой с координатами x, y на плоскости
XOY
(рис. 5.1).
2 2
| |
r
z
x
y
1 1
2
— модуль комплексного числа,
j — аргумент комплексного числа z, обозначается j = arg z, 0 £ j < 2p. Так как x = r × cos j, y = r × sin j, то
z
= x + iy = r (cos j + i sin j).
Выражение z = r (cos j + i sin j) называется триго
нометрической формой
записи комплексного числа.
Очевидно, что
2 2
2 2
cos
, sin
, tg
,
0.
y
y
x
x
x
x
y
x
y
1 2 1 2 1 2 3
4 4
Выражение вида z = re
i
j
, где r — модуль, j — аргумент, e
i
j
= cos j + i sin j называется показательной формой записи комплексного числа z.
Действия над комплексными числами.
Если z
1
= x
1
+ iy
1
, z
2
= x
2
+ iy
2
, то
z
1
± z
2
= (x
1
± x
2
) + i(y
1
± y
2
),
z
1
× z
2
= (x
1
+ iy
1
)
× (x
2
+ iy
2
) = (x
1
x
2
– y
1
y
2
) + i(x
1
y
2
+ x
2
y
1
),
1 1
2 1
2 3
3 3
1 4 1
1 2
1 1
1 1
1 1
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
(
)(
)
(
)(
)
x
iy
x
iy
x
iy
x x
y y
y x
x y
z
i
z
x
iy
x
iy
x
iy
x
y
x
y
Рис. 5.1
Изображение комплексного числа

5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
111
Из формулы умножения следует, что i
2
= –1.
Если z
1
= r
1
(cos j
1
+ i sin j
1
), z
2
= r
2
(cos j
2
+ i sin j
2
), то
z
1
× z
2
= r
1
× r
2
(cos(
j
1
+
j
2
) + i sin(
j
1
+
j
2
)),
1 1
1 2
1 2
2 2
(cos(
)
sin(
)).
z
r
i
z
r
1 2 3 2 4 2 3 2
Пусть n — натуральное число, тогда
1 1
(cos sin
).
n
n
z
r
n
i
n
1 2 3 2
В частном случае получаем формулу Муавра
(cos j + i sin j)
n
= cos n
j + i sin nj.
Корнем nй степени
из комплексного числа z = r(cos j + i sin j) называет'
ся комплексное число w такое, что w
n
= z, обозначается
n
w
z
1 2
2
(cos sin )
cos sin
,
n
n
k
k
r
i
r
i
n
n
1 2 3 1 2 3 4
5 1 2 1 6 7
2 8
9
где k принимает значения 0, 1, 2, ..., n – 1. Получим n различных значений корня.
ИДЗ 13.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1. Найти z, выполнив действия в показательной форме. Найти модуль
|z| комплексного числа z и значение аргумента arg z комплексного числа z.
6 4 4 1.
(2 2 )
i
z
i
1 2
1 6
6
(2 2 )
2.
(1 3 )
i
z
i
1 2
1 6
5
(1
)
3.
(1 3 )
i
z
i
1 2
3 3
4
(1 3 )
4.
(1
)
i
z
i
1 2
1 3
4
(1 3 )
5.
(1
)
i
z
i
1 2
1 2
4 1
3 2
2 6.
( 2 2 )
i
z
i
1 2
3 4 5
6 7
8 9
3 3 4
3
(1
)
7.
( 3
)
i
z
i
1 2
3 1
5 3
(1
)
8.
( 3
)
i
z
i
1 2
1 20 20
(1 3 )
9.
(1
)
i
z
i
1 2
3 9
7
(1
)
10.
(1
)
i
z
i
1 2
3 5
7
( 3
)
11.
( 3
)
i
z
i
1 2
3 3
5
(3 3 )
12.
(1 3 )
i
z
i
1 2
3 3
6
( 3
)
13.
( 2 2 )
i
z
i
1 2
3 3 4
5
(1 3 )
14.
( 3
)
i
z
i
1 2
3 2
3
(2 2 )
15.
( 3
)
i
z
i
1 2
1 8
6
(4 4 )
16.
(2 2 )
i
z
i
1 2
3 6
6
(2 2 )
17.
(1 3 )
i
z
i
1 2
3 6
5
(1
)
18.
(1 3 )
i
z
i
1 2
1
þ