Рекомендовано
Скачать 6.62 Mb.
|
112 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ 3 4 (1 3 ) 19. (1 ) i z i 1 2 3 3 4 (1 3 ) 20. (1 ) i z i 1 2 3 2 4 1 3 2 2 21. ( 2 2 ) i z i 1 2 3 3 4 5 6 7 8 3 9 4 3 (1 ) 22. ( 3 ) i z i 1 2 3 5 3 (1 ) 23. ( 3 ) i z i 1 2 3 20 20 (1 3 ) 24. (1 ) i z i 1 2 1 9 7 (1 ) 25. (1 ) i z i 1 2 3 5 7 ( 3 ) 26. ( 3 ) i z i 1 2 3 3 4 (3 3 ) 27. (1 3 ) i z i 1 2 1 3 6 ( 3) 28. ( 2 2 ) i z i 1 2 1 1 4 5 ( 1 3 ) 29. ( 3 ) i z i 1 2 3 1 2 3 (2 2 ) 30. ( 3 ) i z i 1 2 3 2. Решить квадратное уравнение. Корни уравнения найти в алгебраи' ческой форме. 1. z 2 + 2z + 26 = 0. 2. z 2 – 4iz – 13 = 0. 3. z 2 + 2iz – 5 = 0. 4. 10z 2 + 2z + 1 = 0. 5. z 2 – 4z + 20 = 0. 6. x 2 + ix + 2 = 0. 7. x 2 – 8x + 17 = 0. 8. x 2 + 2ix + 8 = 0. 9. 2x 2 + 3ix + 2 = 0. 10. 5x 2 + 2x + 1 = 0. 11. 2x 2 + 6x + 5 = 0. 12. 3x 2 + 5ix + 2 = 0. 13. x 2 + 8ix – 7 = 0. 14. x 2 + 6ix – 18 = 0. 15. 5x 2 + 2ix + 3 = 0. 16. x 2 – 2x + 2 = 0. 17. x 2 – 2x + 17 = 0. 18. x 2 – 10ix – 9 = 0. 19. 5x 2 – 2ix – 1 = 0. 20. x 2 + 2x + 10 = 0. 21. z 2 – 4iz + 5 = 0. 22. 2x 2 + ix + 1 = 0. 23. x 2 – 10ix + 11 = 0. 24. 8x 2 – 2ix + 1 = 0. 25. 2x 2 + 2x + 1 = 0. 26. x 2 – 2x + 5 = 0. 27. 5x 2 + 6x + 2 = 0. 28. 2x 2 – 5ix + 3 = 0. 29. 7x 2 + 8ix – 1 = 0. 30. 3x 2 – 2ix + 5 = 0. 3. Найти z, выполнив действия в алгебраической форме. 1. z(1 + 4i) = –1 + i. 2. z(3 – i) = 1 + 2i. 3. z(2 – i) = 3 + i. 4. z(1 – i) = –2 + i. 5. z(1 + i) = 2 – 4i. 6. z(1 + i) = –3 + 2i. 7. z(2 + i) = 1 – i. 8. z(3 + i) = –2 + i. 9. z(1 + 3i) = 1 + 2i. 10. z(2 + 3i) = 1 + i. 11. z(3 – i) = 2 + i. 12. z(1 + 4i) = –2 + i. 13. z(–1 + 2i) = 3 + i. 14. z(1 – i) = 1 – 2i. 15. (2 + 3i)z = –1 + i. 16. (3 – i)z = 1 – 2i. 17. z(3 – i) = –2 + i. 18. z(–2 + 3i) = i – 5. 19. z(1 + 4i) = –1 + 2i. 20. z(1 – i) = –2 – i. 21. z(2i – 1) = 3 – i. 22. (1 + i)z = –2 – 4i. 23. z(1 + i) = 3 + 2i. 24. z(1 + i) = 2 + 4i. 25. z(1 + i) = 3 – 2i. 26. (2 + i)z = 3 – i. þ þ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 113 27. (2 + i)z = 1 – 2i. 28. z(3 + i) = 2 – i. 29. z(3 + i) = 2 + i. 30. z(1 – 3i) = 1 + 2i. 4. Найти значение многочлена P(x) в точке x 0 1.1. P(x) = x 2 – 2ix – 5, x 0 = 2 – i. 1.2. P(x) = x 5 + 10x 3 – 20x 2 + 15x – 4, x 0 = –i. 2.1. P(x) = 7x 3 – 9x 2 + x – 6, x 0 = 2 + i. 2.2. P(x) = 8x 5 – 16x 4 + 16x 2 – 8x, x 0 = i. 3.1. P(x) = x 2 + 4x + 20, x 0 = 1 – i. 3.2. P(x) = x 5 – 10x 3 – 20x 2 – 15x – 4, x 0 = –2i. 4.1. P(x) = 2x 2 + 4x – 4, x 0 = –1 – 2i. 4.2. P(x) = –10x 3 + 20x 2 – 15x + 30, x 0 = 2i. 5.1. P(x) = x 2 – 4ix – 13, x 0 = 3 + 2i. 5.2. P(x) = x 4 + 2x 3 – 3x 2 – 4x + 4, x 0 = –3i. 6.1. P(x) = x 3 + 3x 2 – 24x – 80, x 0 = 5 + i. 6.2. P(x) = x 4 + 2x 3 + 2x – 11, x 0 = –3i. 7.1. P(x) = –x 3 – 3x 2 + 24x + 80, x 0 = 1 – 4i. 7.2. P(x) = x 6 – 6x 4 – 4x 3 + 9x 2 + 12x + 4, x 0 = i. 8.1. P(x) = 2x 3 – 5x 2 – 4x + 12, x 0 = 2 + 2i. 8.2. P(x) = x 4 + 7x 3 + 15x 2 + 13x + 4, x 0 = –i. 9.1. P(x) = x 2 + 2ix – 5, x 0 = 2 + i. 9.2. P(x) = x 5 – 2x 4 – 2x 3 + 8x 2 – 7x + 2, x 0 = 2i. 10.1. P(x) = x 2 – 8x + 12, x 0 = 1 + 2i. 10.2. P(x) = x 4 – 5x 3 + 6x 2 + 4x – 8, x 0 = –3i. 11.1. P(x) = x 2 + 8ix – 7, x 0 = 1 – 7i. 11.2. P(x) = x 4 – 2x 3 + 2x – 1, x 0 = 3i. 12.1. P(x) = 5x 2 – 3ix – 5, x 0 = 3 – i. 12.2. P(x) = x 4 + 11x 3 – 45x 2 – 81x + 54, x 0 = 2i. 13.1. P(x) = 6x 3 + 3x 2 – 9x + 11, x 0 = –2 – 3i. 13.2. P(x) = x 4 + 2x 3 – 3x 2 – 4x + 4, x 0 = –2i. 14.1. P(x) = 2x 3 – 3x 2 – 4x + 4, x 0 = 1 + 2i. 14.2. P(x) = x 6 + 6x 4 – 4x 3 + 9x 2 + 12x + 4, x 0 = –i. 15.1. P(x) = x 2 – 8x + 1, x 0 = 4 – i. 15.2. P(x) = 5x 3 – 6x 2 – 3x + 4, x 0 = 4i. þ 114 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ 16.1. P(x) = x 2 – 4ix – 13, x 0 = 3 – 2i. 16.2. P(x) = x 4 + 7x 3 – 15x 2 + 13x + 4, x 0 = i. 17.1. P(x) = x 3 + 3x 2 – 24x – 80, x 0 = 3 + i. 17.2. P(x) = x 5 – 2x 4 – 2x 3 + 8x 2 – 7x + 2, x 0 = i. 18.1. P(x) = x 3 + 3x 2 – 24x – 80, x 0 = 5 – 2i. 18.2. P(x) = x 4 + 11x 3 + 45x 2 + 81x + 54, x 0 = –i. 19.1. P(x) = 2x 3 – 5x 2 – 4x + 12, x 0 = 2 – 3i. 19.2. P(x) = x 4 – 2x 3 + 2x – 1, x 0 = –4i. 20.1. P(x) = x 2 + 2ix – 5, x 0 = 2 – i. 20.2. P(x) = x 4 + 11x 3 + 45x 2 + 81x + 54, x 0 = –2i. 21.1. P(x) = x 2 – 8x + 12, x 0 = 1 – 3i. 21.2. P(x) = 5x 3 – 6x 2 – 3x + 4, x 0 = –3i. 22.1. P(x) = x 2 + 8ix – 7, x 0 = 2 – 7i. 22.2. P(x) = x 4 + 2x 3 – 3x 2 – 4x + 4, x 0 = 3i. 23.1. P(x) = 5x 3 – 6x 2 – 3x + 4, x 0 = 1 – i. 23.2. P(x) = 8x 5 – 16x 4 + 16x 2 – 8x, x 0 = –i. 24.1. P(x) = 6x 3 + 3x 2 – 9x + 11, x 0 = 3 – 2i. 24.2. P(x) = x 6 – 4x 3 + 9x 2 + 12x + 4, x 0 = –i. 25.1. P(x) = 5x 3 + 6x 2 + 4x + 8, x 0 = 2 – 2i. 25.2. P(x) = 8x 5 – 16x 4 + 16x 2 – 8x, x 0 = 2i. 26.1. P(x) = x 2 – 8x + 1, x 0 = 4 + 2i. 26.2. P(x) = x 5 – 10x 3 – 20x 2 – 15x – 4, x 0 = 2i. 27.1. P(x) = 8x 3 – 3x 2 – 6x + 1, x 0 = 1 – 2i. 27.2. P(x) = –10x 3 + 20x 2 – 15x + 30, x 0 = –3i. 28.1. P(x) = 7x 3 – 9x 2 + x – 6, x 0 = 2 – 2i. 28.2. P(x) = 2x 3 – 5x 2 – 4x + 12, x 0 = 2i. 29.1. P(x) = x 2 + 4x + 20, x 0 = 1 + i. 29.2. P(x) = x 3 + 3x 2 – 24x – 80, x 0 = –4i. 30.1. P(x) = 2x 2 + 4x – 4, x 0 = 1 – 2i. 30.2. P(x) = x 6 – 6x 4 – 4x 3 + 12x + 4, x 0 = 2i. 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 115 5. Найти все значения корня из комплексного числа в тригонометри! ческой форме. 5 1. 2 2 . i 1 5 2. 5 5 . i 1 1 6 3. 3 i 1 4 4. 1 3 . i 1 7 5. 3 i 1 6 6. 2 2 . i 1 1 5 7. 3 3 . i 1 2 8 8. 1 i 1 1 6 9. 3 1. i 1 5 10. 3 i 1 1 6 11. 2 2 . i 1 4 12. 4 4 . i 1 5 13. 4 4 . i 1 2 8 14. 1 i 1 1 2 4 15. 2 2 . i 8 16. 1 i 1 6 17. 4 4 . i 1 1 6 18. 3 3 . i 1 5 19. 1 3 . i 1 1 8 20. 3 i 1 2 8 21. 3 3 . i 1 1 7 22. 1 3 . i 1 8 23. 4 4 . i 1 7 24. 1 i 1 2 5 1 3 25. 2 2 i 1 1 6 1 3 26. 2 2 i 1 4 1 3 27. 2 2 i 1 2 4 1 3 28. 2 2 i 1 6 29. 5 5 . i 1 2 7 30. 5 5 . i 1 þ 6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ П усть даны два непустых множества D и U. Если каждой паре действитель ных чисел (x, y), принадлежащей множеству D, по определенному правилу ставится в соответствие один и только один элемент из U, то говорят, что на множестве D задана функция f со множеством значений U. При этом пишут f : D ® U или u = f(x, y). Множество D называется областью определения функ ции, а множество U, состоящее из всех чисел вида f(x, y), где (x, y) Î D, — множеством значений функции. Значение функции u = f(x, y) в точке M(x 0 , y 0 ) называется частным значением функции и обозначается f(x 0 , y 0 ) или f(M). Аналогично определяется функция любого конечного числа независи мых переменных u = f(x, y, z, ..., t). Частной производной от функции u = f(x, y) по независимой перемен ной x называется конечный предел 0 ( , ) ( , ) lim ( , ), x x f x x y f x y u f x y x x 1 2 3 1 4 5 6 7 7 1 5 вычисленный при постоянном y. Частной производной по переменной y называется конечный предел 0 ( , ) ( , ) lim ( , ), y y f x y y f x y u f x y y y 1 2 3 1 4 5 6 7 7 1 5 вычисленный при постоянном x. Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования. Полным приращением функции u = f(x, y) в точке M(x, y) называется раз ность Du = f(x + Dx, y + Dy) – f(x, y), где Dx и Dy — произвольные прираще ния аргументов. Функция u = f(x, y) называется дифференцируемой в точке (x, y), если в этой точке полное приращение функции можно представить в виде Du = ADx + BDy + o(r), 6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 117 где A, B не зависят от Dx, Dy и 2 2 ( ) ( ) , x y 1 2 3 4 3 т. е. последнее слагаемое является бесконечно малой величиной относительно 2 2 ( ) ( ) . x y 1 2 1 Полным дифференциалом функции u = f(x, y) называется главная часть полного приращения Du, линейная относительно приращения аргументов Dx и Dy, т. е. du = A Dx + B Dy. Полный дифференциал функции u = f(x, y) вычисляется по формуле u u du dx dy x y 1 1 2 3 1 1 Если z = f(x, y), где x = j(u, v), y = y(u, v), и функции j, y дифференци3 руемы, то , y f f z x u x u y u y f f z x v x v y v 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 Частными производными второго порядка от функции u = f(x, y) назы3 ваются частные производные от ее частных производных первого порядка. Обозначаются частные производные второго порядка следующим образом: 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 , , , u u u u x x x y x y x u u u u y x y x y y y 3 3 3 3 3 3 4 5 6 6 7 8 3 3 3 3 3 3 3 9 3 3 3 3 3 3 4 5 6 6 7 8 3 3 3 3 3 3 3 9 Аналогично определяются и обозначаются частные производные третье3 го и высших порядков. Производной функции u = f(x, y) в точке M(x, y) в направлении вектора 1 l MM 1 11111112 называется предел 1 2 1 3 4 5 6 6 4 2 1 1 | | 0 0 1 ( ) ( ) lim lim , | | MM f M f M u u l MM где 2 2 ( ) ( ) . x y 1 2 3 4 3 Если функция f(x, y) дифференцируема, то производ3 ная в данном направлении вычисляется по формуле cos sin , u u u l x y 1 1 1 2 3 4 3 1 1 1 где a — угол, образованный вектором l с положительным направлением оси Ox. Градиентом функции u = f(x, y) в точке M(x, y) называется вектор с на3 чалом в точке M, имеющий своими координатами частные производные функции u: grad , u u u x y 1 1 2 3 4 5 6 1 1 7 8 118 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ Градиент функции определяет величину и направление скорости наи( большего роста функции в данной точке. Частные производные неявной функции двух переменных z = f(x, y), за( данной с помощью уравнения F(x, y, z) = 0, где F(x, y, z) — дифференцируе( мая функция переменных x, y и z, могут быть вычислены по формулам / / , , если 0. / / F x F y z z F x F z y F z z 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 Если поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0 и в точке M(x 0 , y 0 , z 0 ) частные производные , , F F F x y z 1 1 1 1 1 1 конечны и не обращаются в ноль одновре( менно, то уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M запи( сывается в виде 1 2 1 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0, M M M F F F x x y y z z x y z 3 3 3 4 5 6 7 6 7 6 8 9 3 3 3 а уравнение нормали к поверхности в этой же точке — в виде 1 2 1 2 0 0 0 M M M x x y y z z F F F x z y 3 3 3 4 4 5 5 5 6 7 8 9 5 5 5 Функция z = f(x, y) имеет максимум(минимум) в точке M 0 (x 0 , y 0 ), если существует окрестность точки M 0 такая, что для любой другой точки M (x, y) из этой окрестности выполняется f(x 0 , y 0 ) > f(x, y) (соответственно f (x 0 , y 0 ) < f(x, y)). Максимум или минимум функции называется экстре мумом функции , а точка M 0 , в которой функция имеет экстремум, называ( ется точкой экстремума. Если дифференцируемая функция z = f(x, y) достигает экстремума в точ( ке M 0 (x 0 , y 0 ), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т. е. 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0, 0 f x y f x y x y 1 1 2 2 1 1 (необходимое условие экстремума). Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются стационарными точками. Пусть M 0 (x 0 , y 0 ) — стационарная точка функции z = f(x, y). Обозначим 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) , , f x y f x y f x y A B C x y x y 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 и рассмотрим определитель 2 A B AC B B C 1 2 2 3 Тогда: 1) если D > 0, то функция имеет в точке M 0 экстремум, а именно, макси( мум при A < 0 (или C < 0) и минимум при A > 0 (или C > 0); 2) если D < 0, то в точке M 0 функция не имеет экстремума; 3) если D = 0, то требуется дальнейшее исследование. |