Рекомендовано

• Название: Рекомендовано
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 6.62 Mb.
• Имя файла: Matematika_dlya_ekonomistov_Sbornik_zadaniy_by_Nalivayko_L_V_Iva.pdf
• Тип: Учебное пособие; #577094
• страница: 18 из 62

112
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
3 4
(1 3 )
19.
(1
)
i
z
i
1 2
3 3
4
(1 3 )
20.
(1
)
i
z
i
1 2
3 2
4 1
3 2
2 21.
( 2 2 )
i
z
i
1 2
3 3 4
5 6
7 8
3 9 4
3
(1
)
22.
( 3
)
i
z
i
1 2
3 5
3
(1
)
23.
( 3
)
i
z
i
1 2
3 20 20
(1 3 )
24.
(1
)
i
z
i
1 2
1 9
7
(1
)
25.
(1
)
i
z
i
1 2
3 5
7
( 3
)
26.
( 3
)
i
z
i
1 2
3 3
4
(3 3 )
27.
(1 3 )
i
z
i
1 2
1 3
6
(
3)
28.
( 2 2 )
i
z
i
1 2
1 1 4
5
( 1 3 )
29.
( 3
)
i
z
i
1 2 3
1 2
3
(2 2 )
30.
( 3
)
i
z
i
1 2
3
2. Решить квадратное уравнение. Корни уравнения найти в алгебраи'
ческой форме.
1. z
2
+ 2z + 26 = 0.
2. z
2
– 4iz – 13 = 0.
3. z
2
+ 2iz – 5 = 0.
4. 10z
2
+ 2z + 1 = 0.
5. z
2
– 4z + 20 = 0.
6. x
2
+ ix + 2 = 0.
7. x
2
– 8x + 17 = 0.
8. x
2
+ 2ix + 8 = 0.
9. 2x
2
+ 3ix + 2 = 0.
10. 5x
2
+ 2x + 1 = 0.
11. 2x
2
+ 6x + 5 = 0.
12. 3x
2
+ 5ix + 2 = 0.
13. x
2
+ 8ix – 7 = 0.
14. x
2
+ 6ix – 18 = 0.
15. 5x
2
+ 2ix + 3 = 0.
16. x
2
– 2x + 2 = 0.
17. x
2
– 2x + 17 = 0.
18. x
2
– 10ix – 9 = 0.
19. 5x
2
– 2ix – 1 = 0.
20. x
2
+ 2x + 10 = 0.
21. z
2
– 4iz + 5 = 0.
22. 2x
2
+ ix + 1 = 0.
23. x
2
– 10ix + 11 = 0.
24. 8x
2
– 2ix + 1 = 0.
25. 2x
2
+ 2x + 1 = 0.
26. x
2
– 2x + 5 = 0.
27. 5x
2
+ 6x + 2 = 0.
28. 2x
2
– 5ix + 3 = 0.
29. 7x
2
+ 8ix – 1 = 0.
30. 3x
2
– 2ix + 5 = 0.
3. Найти z, выполнив действия в алгебраической форме.
1. z(1 + 4i) = –1 + i.
2. z(3 – i) = 1 + 2i.
3. z(2 – i) = 3 + i.
4. z(1 – i) = –2 + i.
5. z(1 + i) = 2 – 4i.
6. z(1 + i) = –3 + 2i.
7. z(2 + i) = 1 – i.
8. z(3 + i) = –2 + i.
9. z(1 + 3i) = 1 + 2i.
10. z(2 + 3i) = 1 + i.
11. z(3 – i) = 2 + i.
12. z(1 + 4i) = –2 + i.
13. z(–1 + 2i) = 3 + i.
14. z(1 – i) = 1 – 2i.
15. (2 + 3i)z = –1 + i.
16. (3 – i)z = 1 – 2i.
17. z(3 – i) = –2 + i.
18. z(–2 + 3i) = i – 5.
19. z(1 + 4i) = –1 + 2i.
20. z(1 – i) = –2 – i.
21. z(2i – 1) = 3 – i.
22. (1 + i)z = –2 – 4i.
23. z(1 + i) = 3 + 2i.
24. z(1 + i) = 2 + 4i.
25. z(1 + i) = 3 – 2i.
26. (2 + i)z = 3 – i.
þ
þ

5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
113
27. (2 + i)z = 1 – 2i.
28. z(3 + i) = 2 – i.
29. z(3 + i) = 2 + i.
30. z(1 – 3i) = 1 + 2i.
4. Найти значение многочлена P(x) в точке x
0 1.1. P(x) = x
2
– 2ix – 5, x
0
= 2 – i.
1.2. P(x) = x
5
+ 10x
3
– 20x
2
+ 15x – 4, x
0
= –i.
2.1. P(x) = 7x
3
– 9x
2
+ x – 6, x
0
= 2 + i.
2.2. P(x) = 8x
5
– 16x
4
+ 16x
2
– 8x, x
0
= i.
3.1. P(x) = x
2
+ 4x + 20, x
0
= 1 – i.
3.2. P(x) = x
5
– 10x
3
– 20x
2
– 15x – 4, x
0
= –2i.
4.1. P(x) = 2x
2
+ 4x – 4, x
0
= –1 – 2i.
4.2. P(x) = –10x
3
+ 20x
2
– 15x + 30, x
0
= 2i.
5.1. P(x) = x
2
– 4ix – 13, x
0
= 3 + 2i.
5.2. P(x) = x
4
+ 2x
3
– 3x
2
– 4x + 4, x
0
= –3i.
6.1. P(x) = x
3
+ 3x
2
– 24x – 80, x
0
= 5 + i.
6.2. P(x) = x
4
+ 2x
3
+ 2x – 11, x
0
= –3i.
7.1. P(x) = –x
3
– 3x
2
+ 24x + 80, x
0
= 1 – 4i.
7.2. P(x) = x
6
– 6x
4
– 4x
3
+ 9x
2
+ 12x + 4, x
0
= i.
8.1. P(x) = 2x
3
– 5x
2
– 4x + 12, x
0
= 2 + 2i.
8.2. P(x) = x
4
+ 7x
3
+ 15x
2
+ 13x + 4, x
0
= –i.
9.1. P(x) = x
2
+ 2ix – 5, x
0
= 2 + i.
9.2. P(x) = x
5
– 2x
4
– 2x
3
+ 8x
2
– 7x + 2, x
0
= 2i.
10.1. P(x) = x
2
– 8x + 12, x
0
= 1 + 2i.
10.2. P(x) = x
4
– 5x
3
+ 6x
2
+ 4x – 8, x
0
= –3i.
11.1. P(x) = x
2
+ 8ix – 7, x
0
= 1 – 7i.
11.2. P(x) = x
4
– 2x
3
+ 2x – 1, x
0
= 3i.
12.1. P(x) = 5x
2
– 3ix – 5, x
0
= 3 – i.
12.2. P(x) = x
4
+ 11x
3
– 45x
2
– 81x + 54, x
0
= 2i.
13.1. P(x) = 6x
3
+ 3x
2
– 9x + 11, x
0
= –2 – 3i.
13.2. P(x) = x
4
+ 2x
3
– 3x
2
– 4x + 4, x
0
= –2i.
14.1. P(x) = 2x
3
– 3x
2
– 4x + 4, x
0
= 1 + 2i.
14.2. P(x) = x
6
+ 6x
4
– 4x
3
+ 9x
2
+ 12x + 4, x
0
= –i.
15.1. P(x) = x
2
– 8x + 1, x
0
= 4 – i.
15.2. P(x) = 5x
3
– 6x
2
– 3x + 4, x
0
= 4i.
þ

114
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
16.1. P(x) = x
2
– 4ix – 13, x
0
= 3 – 2i.
16.2. P(x) = x
4
+ 7x
3
– 15x
2
+ 13x + 4, x
0
= i.
17.1. P(x) = x
3
+ 3x
2
– 24x – 80, x
0
= 3 + i.
17.2. P(x) = x
5
– 2x
4
– 2x
3
+ 8x
2
– 7x + 2, x
0
= i.
18.1. P(x) = x
3
+ 3x
2
– 24x – 80, x
0
= 5 – 2i.
18.2. P(x) = x
4
+ 11x
3
+ 45x
2
+ 81x + 54, x
0
= –i.
19.1. P(x) = 2x
3
– 5x
2
– 4x + 12, x
0
= 2 – 3i.
19.2. P(x) = x
4
– 2x
3
+ 2x – 1, x
0
= –4i.
20.1. P(x) = x
2
+ 2ix – 5, x
0
= 2 – i.
20.2. P(x) = x
4
+ 11x
3
+ 45x
2
+ 81x + 54, x
0
= –2i.
21.1. P(x) = x
2
– 8x + 12, x
0
= 1 – 3i.
21.2. P(x) = 5x
3
– 6x
2
– 3x + 4, x
0
= –3i.
22.1. P(x) = x
2
+ 8ix – 7, x
0
= 2 – 7i.
22.2. P(x) = x
4
+ 2x
3
– 3x
2
– 4x + 4, x
0
= 3i.
23.1. P(x) = 5x
3
– 6x
2
– 3x + 4, x
0
= 1 – i.
23.2. P(x) = 8x
5
– 16x
4
+ 16x
2
– 8x, x
0
= –i.
24.1. P(x) = 6x
3
+ 3x
2
– 9x + 11, x
0
= 3 – 2i.
24.2. P(x) = x
6
– 4x
3
+ 9x
2
+ 12x + 4, x
0
= –i.
25.1. P(x) = 5x
3
+ 6x
2
+ 4x + 8, x
0
= 2 – 2i.
25.2. P(x) = 8x
5
– 16x
4
+ 16x
2
– 8x, x
0
= 2i.
26.1. P(x) = x
2
– 8x + 1, x
0
= 4 + 2i.
26.2. P(x) = x
5
– 10x
3
– 20x
2
– 15x – 4, x
0
= 2i.
27.1. P(x) = 8x
3
– 3x
2
– 6x + 1, x
0
= 1 – 2i.
27.2. P(x) = –10x
3
+ 20x
2
– 15x + 30, x
0
= –3i.
28.1. P(x) = 7x
3
– 9x
2
+ x – 6, x
0
= 2 – 2i.
28.2. P(x) = 2x
3
– 5x
2
– 4x + 12, x
0
= 2i.
29.1. P(x) = x
2
+ 4x + 20, x
0
= 1 + i.
29.2. P(x) = x
3
+ 3x
2
– 24x – 80, x
0
= –4i.
30.1. P(x) = 2x
2
+ 4x – 4, x
0
= 1 – 2i.
30.2. P(x) = x
6
– 6x
4
– 4x
3
+ 12x + 4, x
0
= 2i.

5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
115
5. Найти все значения корня из комплексного числа в тригонометри!
ческой форме.
5 1.
2 2 .
i
1 5
2.
5 5 .
i
1 1 6
3.
3
i
1 4
4. 1 3 .
i
1 7
5.
3
i
1 6
6.
2 2 .
i
1 1 5
7.
3 3 .
i
1 2 8
8.
1
i
1 1 6
9.
3 1.
i
1 5
10.
3
i
1 1
6 11. 2 2 .
i
1 4
12.
4 4 .
i
1 5
13.
4 4 .
i
1 2 8
14. 1
i
1 1 2 4
15.
2 2 .
i
8 16. 1
i
1 6
17.
4 4 .
i
1 1 6
18. 3 3 .
i
1 5
19.
1 3 .
i
1 1 8
20.
3
i
1 2
8 21.
3 3 .
i
1 1 7
22. 1 3 .
i
1 8
23.
4 4 .
i
1 7
24.
1
i
1 2 5
1 3
25.
2 2
i
1 1 6
1 3
26.
2 2
i
1 4
1 3
27.
2 2
i
1 2 4
1 3
28.
2 2
i
1 6
29.
5 5 .
i
1 2 7
30. 5 5 .
i
1
þ

6.
ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
П
усть даны два непустых множества D и U. Если каждой паре действитель
ных чисел (x, y), принадлежащей множеству D, по определенному правилу ставится в соответствие один и только один элемент из U, то говорят, что на множестве D задана функция f со множеством значений U. При этом пишут
f
: D
® U или u = f(x, y). Множество D называется областью определения функ
ции, а множество U, состоящее из всех чисел вида f(x, y), где (x, y)
Î D, —
множеством значений
функции. Значение функции u = f(x, y) в точке M(x
0
, y
0
)
называется частным значением функции и обозначается f(x
0
, y
0
) или f(M).
Аналогично определяется функция любого конечного числа независи
мых переменных u = f(x, y, z, ..., t).
Частной производной
от функции u = f(x, y) по независимой перемен
ной x называется конечный предел
0
(
, )
( , )
lim
( , ),
x
x
f x
x y
f x y
u
f x y
x
x
1 2 3 1 4
5 6
7 7
1 5
вычисленный при постоянном y.
Частной производной по переменной y называется конечный предел
0
( ,
)
( , )
lim
( , ),
y
y
f x y
y
f x y
u
f x y
y
y
1 2 3 1 4 5
6 7
7 1
5
вычисленный при постоянном x.
Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.
Полным приращением функции
u = f(x, y) в точке M(x, y) называется раз
ность
Du = f(x + Dx, y + Dy) – f(x, y), где Dx и Dy — произвольные прираще
ния аргументов.
Функция u = f(x, y) называется дифференцируемой в точке (x, y), если в этой точке полное приращение функции можно представить в виде
Du = ADx + BDy + o(r),

6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
117
где A, B не зависят от
Dx, Dy и
2 2
(
)
(
) ,
x
y
1 2 3 4 3
т. е. последнее слагаемое является бесконечно малой величиной относительно
2 2
(
)
(
) .
x
y
1 2 1
Полным дифференциалом
функции u = f(x, y) называется главная часть полного приращения
Du, линейная относительно приращения аргументов
Dx и Dy, т. е. du = A Dx + B Dy. Полный дифференциал функции u = f(x, y)
вычисляется по формуле
u
u
du
dx
dy
x
y
1 1
2 3
1 1
Если z = f(x, y), где x =
j(u, v), y = y(u, v), и функции j, y дифференци3
руемы, то
,
y
f
f
z
x
u
x u
y u
y
f
f
z
x
v
x v
y v
1 1
1 1
1 2
3 1
1 1 1 1 1
1 1
1 1
2 3
1 1 1 1 1
Частными производными второго порядка
от функции u = f(x, y) назы3
ваются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Обозначаются частные производные второго порядка следующим образом:
1 2 1 2 2
2 2
2 2
2
,
,
,
u
u
u
u
x
x
x y
x
y
x
u
u
u
u
y x
y
x
y
y
y
3 3 3 3
3 3 4
5 6
6 7
8 3 3 3 3 3
3 3
9 3
3 3 3
3 3 4
5 6
6 7
8 3 3 3 3 3 3 3
9
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третье3
го и высших порядков.
Производной функции u = f(x, y) в точке M(x, y) в направлении вектора
1
l
MM
1 11111112
называется предел
1 2 1 3
4 5
6 6
4 2
1 1
|
|
0 0
1
(
)
(
)
lim lim
,
|
|
MM
f M
f M
u
u
l
MM
где
2 2
(
)
(
) .
x
y
1 2 3 4 3
Если функция f(x, y) дифференцируема, то производ3
ная в данном направлении вычисляется по формуле cos sin ,
u
u
u
l
x
y
1 1
1 2
3 4 3
1 1
1
где a — угол, образованный вектором l с положительным направлением оси Ox.
Градиентом функции
u = f(x, y) в точке M(x, y) называется вектор с на3
чалом в точке M, имеющий своими координатами частные производные функции u:
grad
,
u
u
u
x
y
1 1
2 3
4 5 6
1 1
7 8

118
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Градиент функции определяет величину и направление скорости наи(
большего роста функции в данной точке.
Частные производные неявной функции двух переменных z = f(x, y), за(
данной с помощью уравнения F(x, y, z) = 0, где F(x, y, z) — дифференцируе(
мая функция переменных x, y и z, могут быть вычислены по формулам
/
/
,
, если
0.
/
/
F
x
F
y
z
z
F
x
F
z
y
F
z
z
1 1
1 1
1 1
1 2 3 2 3 4
1 1
1 1
1 1
1
Если поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0 и в точке M(x
0
, y
0
, z
0
)
частные производные
,
,
F
F
F
x
y
z
1 1
1 1
1 1
конечны и не обращаются в ноль одновре(
менно, то уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M запи(
сывается в виде
1 2 1 2 0
0 0
(
)
(
)
(
)
0,
M
M
M
F
F
F
x
x
y
y
z
z
x
y
z
3 3
3 4
5 6
7 6
7 6
8 9
3 3
3
а уравнение нормали к поверхности в этой же точке — в виде
1 2 1 2 0
0 0
M
M
M
x
x
y
y
z
z
F
F
F
x
z
y
3 3
3 4
4 5
5 5
6 7
8 9
5 5
5
Функция z = f(x, y) имеет максимум(минимум) в точке M
0
(x
0
, y
0
), если существует окрестность точки M
0
такая, что для любой другой точки
M
(x, y) из этой окрестности выполняется f(x
0
, y
0
) > f(x, y) (соответственно
f
(x
0
, y
0
) < f(x, y)). Максимум или минимум функции называется экстре
мумом функции
, а точка M
0
, в которой функция имеет экстремум, называ(
ется точкой экстремума.
Если дифференцируемая функция z = f(x, y) достигает экстремума в точ(
ке M
0
(x
0
, y
0
), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т. е.
0 0
0 0
(
,
)
(
,
)
0,
0
f x
y
f x
y
x
y
1 1
2 2
1 1
(необходимое условие экстремума).
Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю,
называются стационарными точками.
Пусть M
0
(x
0
, y
0
) — стационарная точка функции z = f(x, y). Обозначим
2 2
2 0
0 0
0 0
0 2
2
(
,
)
(
,
)
(
,
)
,
,
f x
y
f x
y
f x
y
A
B
C
x y
x
y
1 1
1 2
2 2
1 1 1
1
и рассмотрим определитель
2
A
B
AC
B
B
C
1 2 2
3
Тогда:
1) если
D > 0, то функция имеет в точке M
0
экстремум, а именно, макси(
мум при A < 0 (или C < 0) и минимум при A > 0 (или C > 0);
2) если
D < 0, то в точке M
0
функция не имеет экстремума;
3) если
D = 0, то требуется дальнейшее исследование.

6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ