Рекомендовано

• Название: Рекомендовано
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 6.62 Mb.
• Имя файла: Matematika_dlya_ekonomistov_Sbornik_zadaniy_by_Nalivayko_L_V_Iva.pdf
• Тип: Учебное пособие; #577094
• страница: 20 из 62

5. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхно'
сти в точке M
0 1. x
2
+ y
2
+ z
2
+ 6z – 4x = 12, M
0
(2; 1; –1).
2. x
2
+ y
2
+ z
2
+ 6y + 4x = 12, M
0
(2; 1; –1).
3. x
2
+ y
2
+ z
2
– 6z + 4y = 16, M
0
(2; 1; –1).
4. x
2
+ y
2
+ z
2
– 6y + 4x = 12, M
0
(2; 1; –1).
5. x
2
+ y
2
+ z
2
– 6y + 4z + 4 = 0, M
0
(2; 1; –1).
6. z
2
+ x
2
– 4y
2
= 4, M
0
(–2; 1; 2).
7. x
2
+ z
2
– 5y = 0, M
0
(1; 2; –3).
8. x
2
+ y
2
– xz – yz = 0, M
0
(0; 2; 2).
9. x = y
2
+ 2zy – z
2
+ y – 2z, M
0
(1; 1; 1).
10. y = z
2
+ 2xz – x
2
+ x – 2, M
0
(1; 1; 1).
11. z = y
2
– 2xy + x
2
– y + 2x + 6, M
0
(1; 1; 1).
12. z = y
2
+ 2xy – x
2
+ y – 2x, M
0
(1; 1; 1).
þ

6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
125
13. z = x
2
– 2xy – y
2
+ x – 2y + 4, M
0
(1; 1; 1).
14. z = x
2
– 2xy + y
2
– x + 2y, M
0
(1; 1; 1).
15. 27 – 2y = x
2
+ z
2
, M
0
(3; 1; 4).
16. 2y = x
2
– z
2
, M
0
(3; 1; 4).
17. 2x = z
2
– y
2
, M
0
(3; 1; 4).
18. y
2
= x
2
+ z
2
, M
0
(3; 1; 4).
19. x
2
= z
2
+ y
2
, M
0
(3; 1; 4).
20. z
2
= x
2
+ y
2
, M
0
(3; 1; 4).
21. 2z = x
2
+ y
2
, M
0
(3; 1; 4).
22. 2z = x
2
– y
2
, M
0
(3; 1; 4).
23. x
2
– 2y
2
+ 3z
2
= 2, M
0
(–1; –1; –1).
24. x
2
+ 2y
2
– 3z
2
= 0, M
0
(1; –1; 1).
25. 2x
2
+ y
2
+ 3z
2
= 6, M
0
(1; –1; 1).
26. x
2
+ 2y
2
+ 3z
2
= 6, M
0
(1; –1; 1).
27. z = x
2
– 2y
2
+ 4, M
0
(–1; 1; 3).
28. x
2
+ z
2
– 2yz – x – y + 3 = 0, M
0
(1; –1; 1).
29. z = 2x
2
– y
2
+ 2, M
0
(–1; 1; 3).
30. z = 2x
2
+ y
2
, M
0
(1; 1; 3).
ИДЗ 15.
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Найти экстремумы функции z(x, y).
1. z = (x – 1)
2
+ 2y
2 2. z = x
2
+ xy + y
2
+ x – y + 1.
3. z = 2xy – 2x
2
– 4y
2 4. z = x
2
+ y
2
– xy + x + y.
5. z = xy(6 – x – y).
2 6.
6 3.
z
x y
x
y
x
1 2
2 3 3
2 7.
6 .
z
y x
y
x
y
1 2
2 3 2
8.
2 14 .
z
y x
y
x
y
1 2
2 3 9. z = 2xy – 4x – 2y.
10. z = 2xy – 3x
2
– 2y
2
+ 10.
11. z = xy – x
2
– y
2
+ 9.
12. z = x
2
+ xy + y
2
– 2x – y.
13. z = 3xy – x
2
– y
2
+ 11.
14. z = 2xy – 5x
2
– 3y
2
+ 2.
15. z = (x – 1)
2
– 2y
2 16. z = 1 + 6x – x
2
– xy – y
2 17. z = x
3
+ y
3
– 3xy.
18. z = 2x
3
+ 2y
3
– 6xy + 5.
19. z = (x – 2)
2
+ 2y
2
– 10.
20. z = x
2
+ xy + y
2
– 6x – 9y.
21. z = xy
× (12 – x – y).
22. z = 4(x – y) – x
2
– y
2 23. z = (x – 5)
2
+ y
2
+ 1.
24. z = 3x
3
+ 3y
3
– 9xy + 10.
25. z = x
3
+ 8y
3
– 6xy + 5.
26. z = 6(x – y) – 3x
2
– 3y
2 27. z = 3x
2
+ 3y
2
+ 5xy + 4x + 7y + 5.
28. z = 1 + 15x – 2x
2
– xy – 2y
2 29. z = x
2
– xy + y
2
+ 9x – 6y + 20.
30. z = x
3
+ y
2
– 6xy – 39x + 18y + 20.
þ

126
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z(x, y) в замк+
нутой области D.
1. z = 2xy – 4x + 8y; (D): 0
£ x £ 1, 0 £ y £ 2.
2. z = xy – x – 2y; (D): x = 3, y = x, y = 0.
3. z = 3x + y – xy; (D): y = x, y = 4, x = 0.
4. z = 5x
2
– 3xy + y
2
; (D): 0
£ x £ 1, 0 £ y £ 1.
5. z = x
2
+ 2xy – y
2
– 4x; (D): x = 3, y = x + 1, y = 0.
6. z = x
2
+ y
2
– 2x – 2y + 8; (D): x
³ 0, y ³ 0, x + y £ 1.
7. z = 2x
3
– xy
2
+ y
2
; (D): 0
£ x £ 1, 0 £ y £ 6.
8. z = 3x + 6y – x
2
– xy – y
2
; (D): 0
£ x £ 1, 0 £ y £ 1.
9. z = x
2
– 2y
2
+ 4xy – 6x – 1; (D): x = 0, y = 0, x + y = 3.
10. z = x
2
+ 2xy – 10; (D): y = x
2
– 4, y = 0.
11. z = xy – 2x – y; (D): 0
£ x £ 3, 0 £ y £ 4.
12. z = 0,5x
2
– xy; (D): y
³ 2x
2
, y
£ 8.
13. z = 3x
2
+ 3y
2
– 2x – 2y + 2; (D): x = 0, y = 0, x + y = 1.
14. z = 2x
2
+ 3y
2
+ 1; (D): y
³ 0, 9x
2
+ 4y
2
= 36.
15. z = x
2
– 2xy – y
2
+ 4x + 1; (D): x + y = –1, x = –3, y = 0.
16. z = 3x
2
+ 3y
2
– x – y + 1; (D): x
£ 5, y ³ 0, y £ x – 1.
17. z = 2x
2
+ 2xy – 0,5y
2
– 4x; (D): y = 2x, y = 2, x = 0.
18. z = x
2
– 2xy + 2,5y
2
– 2x; (D): 0
£ x £ 2, 0 £ y £ 2.
19. z = xy – 3x – 2y; (D): 0
£ x £ 4, 0 £ y £ 4.
20. z = x
2
+ xy – 2; (D): y = 0, y = 4x
2
– 4.
21. z = x
2
y
(4 – x – y); (D): x = 0, y = 0, x + y = 6.
22. z = x
3
+ y
3
– 3xy; (D): 0
£ x £ 2, –1 £ y £ 2.
23. z = 4(x – y) – x
2
– y
2
; (D): x + 2y = 4, x – 2y = 4, x = 0.
24. z = 2 – x
2
+ 2xy + y
2
– 4x; (D): y = x + 1, y = 4, x = –1.
25. z = 6xy – 9x
2
– 9y
2
+ 4x + 4y; (D): 0
£ x £ 1, 1 £ y £ 2.
26. z = x
2
+ 2xy – y
2
– 2x + 2y; (D): y = x + 2, y = 0, x = 2.
27. z = 4 – 2x
2
– y
2
; (D): x = 0, y = 0, x + y = 6.
28. z = 5x
2
– 3xy + y
2
+ 4; (D): –1
£ x £ 1, –1 £ y £ 1.
29. z = x
2
+ 2xy + 4x – y
2
; (D): x = 0, y = 0, x + y + 2 = 0.
30. z = 2x
2
y
– x
3
y
– x
2
y
2
; (D): x = 0, y = 0, x + y = 6.
þ

7.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Е
сли F(x) — первообразная для функции f(x), то любая другая первообразная для f(x) может быть записана в виде F(x) + C, где C — некоторое число.
Совокупность всех первообразных функции f(x) на интервале (a, b) назы
вается неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале и обо
значается
( )
,
f x dx
1
т. е.
( )
( )
,
f x dx
F x
C
1 2
3
где C — произвольная константа.
Простейшие свойства неопределенного интеграла:
1 2
1.
( )
( ).
f x dx
f x
3 4 5
1 2
2.
( )
( )
d
f x dx
f x dx
3 4
3.
( ( ))
( )
d F x
F x
C
1 2
3 4. ( ( )
( ))
( )
( )
f x
g x dx
f x dx
g x dx
1 2
1 3
3 3
5.
( )
( )
, если const,
0.
k f x dx
k
f x dx
k
k
1 2 1 2
3 4
4
Приведем таблицу основных неопределенных интегралов.
1 1.
,
1.
1
x
x dx
C
12 1
3 2
1 4 5 1 2 6
2.
ln| |
,
0.
dx
x
C x
x
1 2
3 4
3.
,
0,
1.
ln
x
x
a
a dx
C a
a
a
1 2
3 4
5 4.
x
x
e dx
e
C
1 2
3 5. sin cos
x dx
x
C
1 2 3
4

128
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
6. cos sin
x dx
x
C
1 2
3 2
7.
ctg
,
,
sin
dx
x
C x
n n
Z
x
1 2 3
4 5 6
7 2
8.
tg
,
,
2
cos
dx
x
C x
n n
Z
x
1 2
3 4 3 1 5
6 2
2 9.
arcsin arccos
,
0.
| |
| |
dx
x
x
C
C a
a
a
a
x
1 2 1 3 2
4 3
5 2
2 1
1 10.
arctg arcctg
,
0.
dx
x
x
C
C a
a
a
a
a
x
a
1 2 1 3 2
4 2
5 2
2 1
11.
ln
,
0, | | | |.
2
dx
x
a
C a
x
a
a
x
a
x
a
1 2
3 4
4 3
1 5
2 2
2 12.
ln|
|
,
0,
0.
dx
x
x
a
C a
x
a
x
a
1 2
2 2 3
2 4 2
5
Пусть x =
j(t), где j(t) — строго монотонная и непрерывно дифференци+
руемая функция на некотором промежутке. Если на соответствующем про+
межутке изменения x функция f(x) интегрируема, то
( )
( ( ))
( )
f x dx
f
t
t dt
1 2
3 43 5
5
Эта формула называется формулой замены переменных в неопределен+
ном интеграле.
Если функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы, то имеет место равенство
,
udv
uv
vdu
1 2
3 3
которое называется формулой интегрирования по частям.
Интегрирование простейших дробей. Рациональной дробью называется дробь вида
( )
,
( )
P x
Q x
где P(x) и Q(x) — многочлены. Рациональная дробь назы+
вается правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена
Q
(x), в противном случае дробь называется неправильной.
Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:
1)
;
A
x
a
1 2)
,
(
)
m
A
x
a
1
где m — целое число и m > 1;
2 3)
,
Ax
B
x
px
q
1 1
1
где
2 0,
4
p
q
1 2
т. е. квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней;

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
129
2 4)
,
(
)
n
Ax
B
x
px
q
1 1
1
где n — целое число, n > 1 и квадратный трехчлен не имеет действительных корней.
Во всех четырех случаях предполагается, что A, B, p, q, a — действитель'
ные числа.
Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов:
1)
ln|
|
;
A
dx
A
x
a
C
x
a
1 2 3 2
4 1
1 2)
;
1
(
)
(
)
m
m
Adx
A
C
m
x
a
x
a
1 2 1 3
4 1
1 1
5 2
2 2
2 2
3)
arctg
4 4
x
p
dx
C
x
px
q
q
p
q
p
1 2
1 1
1 3
3 4
Тогда
2 2
2 2
2 2
x
p
Ap
Ax
B
A
dx
dx
dx
B
x
px
q
x
px
q
x
px
q
1 2
3 1
4 1
5 6
7 8
9 1
1 1
1 1
1
В первом интеграле числитель является производной знаменателя, по'
этому
2 2
2
ln(
)
x
p
dx
x
px
q
C
x
px
q
1 2
1 1 1 1
1 3
Перед интегрированием рациональной дроби необходимо сделать следую'
щие алгебраические преобразования и вычисления:
1) если исходная дробь неправильная, то выделить из нее целую часть,
т. е. представить в виде
1
( )
( )
( )
,
( )
( )
P x
P x
M x
Q x
Q x
1 2
где M(x) — многочлен, а
1
( )
( )
P x
Q x
— правильная рациональная дробь;
2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:
Q
(x) = (x – a)
m
× ... × (x
2
+ px + q)
n
× ... ,
где
2 0,
4
p
q
1 2
т. е. трехчлен x
2
+ px + q не имеет действительных корней;
3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:
1 1
2 1
1 1
2 2
2 2
1 2
( )
( )
(
)
(
)
...;
(
)
(
)
m
m
m
n
n
n
n
A
P x
A
A
Q x
x
a
x
a
x
a
B x
C
B x
C
B x
C
x
px
q
x
px
q
x
px
q
1 1
2 3
3 3 3 3 1
1 1
3 3
3 3
3 3 3 3
3 3
3 3
3 3

130
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
4) вычислить неопределенные коэффициенты A
1
, A
2
, ..., B
n
, C
n
, ..., для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять ко6
эффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях получен6
ного тождества и решить систему линейных уравнений относительно иско6
мых коэффициентов.
Интеграл от дифференциального бинома
(
)
,
m
n p
x
a
bx
dx
1 2
где m, n, p — рациональные числа, может быть приведен к интегрированию рациональных функций лишь в следующих трех случаях (теорема Чебыше6
ва):
1) p — целое число; тогда данный интеграл сводится к интегралу от ра6
циональной функции с помощью подстановки x = t
s
, где s — наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;
2)
1
m
n
1
— целое число; в этом случае данный интеграл вычисляется с помощью подстановки a + bx
n
= t
s
, где s — знаменатель дроби p;
3)
1
m
p
n
1 1
— целое число, в этом случае данный интеграл рационализи6
руется с помощью подстановки ax
–n
+ b = t
s
, где s — знаменатель дроби p.
Во всех остальных случаях данный интеграл через элементарные функ6
ции не выражается.
Интегралы вида
2 2
2 2
2 2
( ,
)
,
( ,
)
,
( ,
)
,
R x
a
x
dx
R x
a
x
dx
R x
x
a
dx
1 2
1 3
3 3
где R — рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных относительно sin t и cos t функций с помощью надлежащей тригонометриче6
ской подстановки: для первого интеграла x = a sin t, для второго — x = a tg t,
для третьего — x = a sec t.
Интегралы вида
(sin , cos )
,
R
x
x dx
1
где R — рациональная функция, при6
водятся к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки tg
2
x
t
1
В результате этой подстановки имеем
2 2
2 2
2 2
2 2tg
1 tg
2 1
2 2
sin
, cos
,
1 1
1 tg
1 tg
2 2
2 2arctg ,
1
x
x
t
t
x
x
x
x
t
t
dt
x
t
dx
t
1 1
2 2
2 2
3 3
3 3
2 2
3
При вычислении интегралов вида sin cos
m
n
x
x dx
1
выделяют два важных случая:

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ