Рекомендовано

• Название: Рекомендовано
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 6.62 Mb.
• Имя файла: Matematika_dlya_ekonomistov_Sbornik_zadaniy_by_Nalivayko_L_V_Iva.pdf
• Тип: Учебное пособие; #577094
• страница: 21 из 62

131
1. По крайней мере один из показателей m или n — нечетное положи
тельное число. В этом случае, если n — нечетное положительное число, то применяют подстановку sin x = t; если же m — нечетное положительное чис
ло, то подстановку cos x = t.
2. Оба показателя степени m и n — четные положительные числа. В этом случае необходимо преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул
2 2
1 1
1
sin cos sin2 , sin
(1 cos2 ), cos
(1 cos2 ).
2 2
2
x
x
x
x
x
x
x
1 2
2 3
2 4
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b]. Разделим отрезок [a, b]
на n произвольных частей точками a
0
= x
0
< x
1
< x
2
< ... < x
n
–1
< x
n
= b, выбе
рем на каждом элементарном отрезке [x
k
–1
, x
k
] произвольную точку y
k
и най
дем длину каждого такого отрезка
Dx
k
= x
k
– x
k
–1
. Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b] называется сумма вида
1
(
)
,
n
k
k
k
S
f y
x
1 1
2 3 4
причем эта сумма имеет конечный предел I, если для каждого e > 0 найдется такое число d > 0, что при max Dx
k
<
d неравенство |S – I| < e выполняется при любом выборе чисел y
k
Определенным интегралом
от функции f(x) на отрезке [a, b] (или в пре
делах от a до b) называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков (max
Dx
k
) стремится к нулю:
max
0 1
( )
lim
(
)
k
b
n
k
k
x
k
a
I
f x dx
f y
x
1 2 3
3 3
1 4
5
Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a, b] на элементарные отрезки и от выбора точек y
k
(теорема существования определенного инте
грала).
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Если f(x) > 0 на [a, b], то определенный интеграл
1
( )
b
a
f x dx
геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции — фигуры, ограни
ченной линиями y = f(x), x = a, x = b, y = 0.
Основные свойства определенного интеграла.
1.
( )
( )
b
a
a
b
f x dx
f x dx
1 2 3
3 2.
( )
0.
a
a
f x dx
1 2
3.
( )
( )
( )
b
c
b
a
a
c
f x dx
f x dx
f x dx
1 2
3 3
3

132
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1 2
1 2
4. ( ( )
( ))
( )
( )
b
b
b
a
a
a
f x
f x dx
f x dx
f x dx
1 2
1 3
3 3
5.
( )
( )
, где
— постоянная.
b
b
a
a
cf x dx
c f x dx
c
1 2
2
Правила вычисления определенного интеграла.
1. Формула Ньютона–Лейбница:
( )
( )
( )
( ),
b
b
a
a
f x dx
F x
F b
F a
1 1
2 3
где F(x) — первообразная для f(x), т. е. F
¢(x) = f(x) для всех x из [a, b].
2. Интегрирование по частям:
,
b
b
b
a
a
a
udv
uv
vdu
1 2
3 3
где u = u(x), v = v(x) — непрерывно дифференцируемые функции на отрезке
[a, b].
3. Замена переменных:
( )
( ( ))
( )
,
b
a
f x dx
f
t
t dt
1 2
3 4
5 5
6 6
где x =
j(t) — функция, непрерывно дифференцируемая на отрезке [a, b],
a
=
j(a), b = j(b), f(j(t)) — функция, непрерывная на [a, b].
Несобственными интегралами
называются интегралы с бесконечными пределами интегрирования или интегралы от неограниченных функций.
Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от a до +
¥ определя8
ется равенством
( )
lim
( )
b
b
a
a
f x dx
f x dx
12 3 12 4
5 5
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл на8
зывается сходящимся, в противном случае — расходящимся.
Аналогично,
( )
lim
( )
и
( )
lim
( )
b
b
b
a
a
a
a
b
f x dx
f x dx
f x dx
f x dx
12 3 42 3 42 42 42 3 12 5
5 6
6 6
6
Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке c отрезка [a, b] и непрерывна при a
£ x < c и c < x £ b, то по определению полагают
0 0
( )
lim
( )
lim
( )
b
c
b
a
a
c
f x dx
f x dx
f x dx
12 2 3 4 3 54 6
5 7
7 7

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
133
В этом случае несобственный интеграл
1
( )
b
a
f x dx
называется сходящимся,
если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящимся,
если не существует хотя бы один из них.
Приближенное вычисление определенного интеграла. Разобьем отрезок
[a, b] точками x
0
= a, x
1
, ..., x
n
= b (x
0
< x
1
< ... < x
n
) на n равных частей и обозначим соответственно через y
1
, ..., y
n
значения функции f(x) в точках деления. Применяя на каждом интервале формулу площади трапеции, по5
лучим приближенную формулу
0 1
2 1
( )
[
2(
)],
2
b
n
n
a
b
a
f x dx
y
y
y
y
y
n
1 1
2 3
3 3
3 3 4
называемую формулой трапеции.
Разобьем отрезок [a, b] точками x
0
= a, x
1
, ..., x
2n
= b, x
0
< x
1
< ... < x
2n
на
2n равных частей и обозначим через y
0
, y
1
, ..., y
2n
значения функции f(x) в точках деления. Применяя на каждом интервале формулу площади парабо5
лы, получим приближенную формулу
0 2
1 3
2 1
2 4
2 2
( )
[
4(
) 2(
)],
6
b
n
n
n
a
b
a
f x dx
y
y
y
y
y
y
y
y
n
1 1
1 2
3 3
3 3 3 3
3 3 3 4
называемую формулой Симпсона или формулой парабол.
ИДЗ 16.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ:
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
В первом пункте каждого варианта найти интеграл, применяя форму5
лы 1, 2 из таблицы основных неопределенных интегралов.
В пунктах 2–5, 9–14 найти интегралы, применяя замену переменной.
В пунктах 6–8 найти интегралы, применяя формулы 9–12 из таблицы основных неопределенных интегралов.
В пункте 15 найти интеграл, раскладывая его на сумму двух интегра5
лов и сделав замену переменной в одном из них.
3 2
3 1.1.
x
dx
x
1 2
1.2.
1
x dx
1 2
7 1.3.
7 2
dx
x
1 2
1.4. sin(2 3 )
x dx
1 2
9 8 1.5.
x
e
dx
1 2
2 1.6.
9 3
dx
x
1 2
2 1.7.
9 3
dx
x
1 2
2 1.8.
2 3
dx
x
1 2
7 8
1.9.
ln
dx
x
x
1
cos3 1.10.
sin3
xdx
x
1
þ

134
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 6
1 1.11.
x
e
xdx
1 2
4 1.12.
1
xdx
x
1 2
3 2
1.13.
arccos 6 1 36
dx
x
x
1 2
2
tg
1.14.
cos
x
dx
x
1 2
3 21 1.15.
3 7
x
dx
x
1 2
3 2
2 3
2.1.
2
x
x
dx
x
1 2
3 2.2.
1
x dx
1 2
2.3.
7 2
dx
x
1 2
2.4. sin(3 2 )
x dx
1 2
7 9 9
2.5.
x
dx
e
1 2
2 2.6.
2 1
dx
x
1 2
2 2.7.
2 1
dx
x
1 2
2 2.8.
3 2
dx
x
1 2
8 7
2.9.
ln
dx
x
x
1 2.10.
sin3 cos3
x
x dx
1 2
3 4
2.11.
x
xdx
e
1 2
4 2.12.
4
xdx
x
1 2
3 2
arccos 6 2.13.
1 36
x
dx
x
1 2
2
tg2 2.14.
cos 2
x
dx
x
1 2
4 2.15.
7 3
x
dx
x
1 1
2 2
3 3
3.1.
2
x
dx
x
1 2
7 3.2.
2 7
dx
x
1 2
2 3
3.3.
(1
)
x dx
1 2
3.4. cos(2 3 )
x dx
1 2
7 9 3.5.
x
e
dx
1 2
2 3
3.6.
3
dx
x
1 2
2 2
3.7.
2 3
dx
x
1 2
2 3.8.
2 5
dx
x
1 2
8 3
11
ln 5 3.9.
x
dx
x
1 2
sin3 3.10.
cos3
xdx
x
1

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
135
2 3
4 3.11.
x
e
xdx
1 2
4 3.12.
1 4
xdx
x
1 2
8 2
arccos 2 3.13.
1 4
xdx
x
1 2
2
tg2 3.14.
cos 2
x
dx
x
1 2
5 2
3.15.
5 1
x
dx
x
1 1
2 3
2 4.1.
x
x
dx
x
1 2
4.2.
1
dx
x
1 2
4.3.
2 7
dx
x
1 2
4.4. cos(3 2 )
x dx
1 2
7 9 4.5.
x
e
dx
1 2
2 4.6.
3 9
dx
x
1 2
2 3
4.7.
3 9
dx
x
1 2
2 2
4.8.
5 2
dx
x
1 2
6
ln 5 4.9.
5
xdx
x
1 4.10.
cos3 sin3
x
x dx
1 2
1 5 4.11.
x
e
xdx
1 2
4 4.12.
4
xdx
x
1 2
6 2
4.13.
(arccos 2 )
1 4
dx
x
x
1 2
3 3
2
tg
4.14.
cos
x
dx
x
1 2
1 2 4.15.
5 1
x
dx
x
1 1
2 4
2 5.1.
2
x
x dx
x
1 2
3 4
5 6
7 8
3 5.2.
(1
)
x
dx
1 2
7 5.3.
7 2
dx
x
1 2
5.4. sin(4 3 )
x dx
1 2
9 7
5.5.
x
e
dx
1 2
2 5.6.
8 3
dx
x
1 2
2 8
5.7.
8 3
dx
x
1 2
2 5.8.
2 7
dx
x
1 2
5 3
5.9.
ln
dx
x
x
1 2
3 5.10.
sin cos
x
x dx
1

136
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 5
5.11.
x
e
xdx
1 4
2 5.12.
1 4
xdx
x
1 2
3 2
arctg 6 5.13.
1 36
xdx
x
1 2
3 2
5.14.
tg 2 cos 2
dx
x
x
1 2
2 1
5.15.
9
x
dx
x
1 2
3 7
2 6.1.
x
x
dx
x
1 2
3 6.2.
(1
)
dx
x
1 2
3 6.3.
7 3
dx
x
1 2
6.4. sin(3 4 )
x dx
1 2
8 9 6.5.
x
e
dx
1 2
2 6.6.
8 3
dx
x
1 2
2 6.7.
8 3
dx
x
1 2
2 6.8.
7 2
dx
x
1 2
4 6.9.
ln 3
dx
x
x
1 3
2 6.10.
cos sin
x
x dx
1
arcsin
2 6.11.
1
x
dx
e
x
1 2
4 6.12.
1
xdx
x
1 2
6 2
6.13.
(arctg 2 ) (1 4
)
dx
x
x
1 2 3
2 3
2
tg
6.14.
cos
x
dx
x
1 2
2 1
6.15.
5 2
x
dx
x
1 1
2 4
3 2
7.1.
x
x
dx
x
1 2
3 4
5 6
7 8
7 7.2. (1 4 )
x
dx
1 2
2 7.3.
2 3
dx
x
1 2
7.4. sin(3 4 )
x dx
1 2
9 7 7.5. 7
x
e
dx
1 2
2 9
7.6.
3 9
xdx
x
1 2
2 7.7.
2 9
dx
x
1 2
2 7.8.
7 5
dx
x
1 2
4
ln (3 1)
7.9.
3 1
x
dx
x
1 1
2 1 2 1 2 2
3 7.10.
sin cos
3 3
x
x
dx
3

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
137
arcsin
2 7.11.
1
x
e
dx
x
1 2
4 7.12.
1
xdx
x
1 2
5 2
7.13.
(arctg 2 ) (1 4
)
dx
x
x
1 2 3
2 2
5 7.14.
tg cos
dx
x
x
1 2
1 7.15.
5
x
dx
x
1 1
2 3
7 2
8.1.
x
x
dx
x
1 2
6 8.2. (1 4 )
x
dx
1 2
3 8.3.
1 6
dx
x
1 2
8.4. sin(4 3 )
x dx
1 2
9 7 8.5.
x
e
dx
1 2
2 8.6.
3 8
dx
x
1 2
2 3
8.7.
3 8
dx
x
1 2
2 8.8.
2 9
dx
x
1 2
3 7
8.9.
(
1) ln (
1)
dx
x
x
1 1
2 1 2 1 2 3
8.10.
cos sin
2 2
x
x
dx
3 3
3 2 2
8.11.
x
e
x dx
1 2
4 8.12.
1
xdx
x
1 2
6 2
8.13.
arctg 3 (1 9
)
dx
x
x
1 2
3 2
8.14.
tg cos
dx
x
x
1 2
(2 3)
8.15.
1 3
x
dx
x
1 2
3 6
2 3
9.1.
x
x
dx
x
1 2
4 9.2. (1 3 )
x
dx
1 2
9.3.
1 6
dx
x
1 2
9.4. cos(4 3 )
x dx
1 2
9 7 9.5. 7
x
e
dx
1 2
2 9.6.
3 8
dx
x
1 2
2 9.7.
3 8
dx
x
1 2
2 9.8.
9 2
dx
x
1 2
7
ln (
1)
9.9.
1
x
dx
x
1 1
2 2
3
cos(2 3)
9.10.
sin (2 3)
x
dx
x
1 1
2

138
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
3 2
3 2
1 9.11.
2
x
e
x dx
1 2
3 3
4 9.12.
1
x dx
x
1 2
2 8
9.13.
(1 9
) arctg 3
dx
x
x
1 2
3 2
9.14.
tg cos
dx
x
x
1 2
2 2
3 9.15.
3 1
x
dx
x
1 1
2 6
3 2
2 10.1.
x
x
dx
x
1 2
10.2.
1 3
x dx
1 2
10.3.
6 5
dx
x
1 2
10.4. cos(3 4 )
x dx
1 2
7 9
10.5.
x
e
dx
1 2
2 10.6.
8 3
dx
x
1 2
2 10.7.
8 3
dx
x
1 2
2 10.8.
2 9
dx
x
1 2
2 5
10.9.
(
1)
ln (
1)
dx
x
x
1 2 1
3 2
3
sin(2 3)
10.10.
cos (2 3)
x
dx
x
1 1
2 3
2 1
2 1
10.11.
6
x
e
x dx
1 2
4 2
10.12.
1 4
xdx
x
1 2
6 2
arctg 3 10.13.
1 9
xdx
x
1 2
2
ctg
10.14.
sin
xdx
x
1 2
3 10.15.
1
x
dx
x
1 1
2 6
5 2
5 11.1.
x
x
dx
x
1 2
5 3
4 11.2.
5
x
x dx
1 2
3 11.3.
6 3
dx
x
1 2
11.4. cos(3 4 )
x dx
1 2
7 2
11.5.
x
dx
e
1 2
2 11.6.
7 3
dx
x
1 2
2 11.7.
7 3
dx
x
1 2
2 11.8.
3 4
dx
x
1 2
2 7
11.9.
(
1)
ln (
1)
dx
x
x
1 2 1
3 4
3
sin(3 2)
11.10.
cos (3 2)
x
dx
x
1 1
2

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ