Рекомендовано

• Название: Рекомендовано
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 6.62 Mb.
• Имя файла: Matematika_dlya_ekonomistov_Sbornik_zadaniy_by_Nalivayko_L_V_Iva.pdf
• Тип: Учебное пособие; #577094
• страница: 23 из 62

ИДЗ 17.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ:
МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ
Найти неопределенные интегралы, используя метод замены переменной.
1.1.
cos2 .
d
x
1 3
sin
1.2.
(cos
2)
x
dx
x
1 2
cos
1.3.
1 sin
x
dx
x
1 2
2 5
1.4.
x
xe
dx
1 2 3
1.5.
cos
x
x
e
e dx
1 2
1.6.
sin ln
dx
x
x
1 2
þ

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
149
2 3
1.7.
1 3
x
x
dx
1 2
1.8.
4
dx
x
1 2
3 2.1.
x
de
1 3
2.2. (sin
3) cos
x
x dx
1 2
2 3
3 2.3.
5
x
dx
x
1 2
sin
2.4.
cos
x
e
x dx
1 2
2.5.
cos(
1)
x
x
dx
1 2
2 2.6.
cos ln
dx
x
x
1 2
2
cos
2.7.
1 sin
x
dx
x
1 2
2 5
3
(3 5)
2.8.
5 7
x
dx
x
x
1 1
2 3
3.1.
ctg .
7
x
d
1 3.2. sin cos(cos )
x
x dx
1 2
2 3
2 3
4 5
3.3.
2 5
3
x
x
dx
x
x
x
1 2
1 2
1 3
3 2
3.4. 5 3
x
x dx
1 2
2 3.5. 2 sin(
8)
x
x
dx
1 2
2 2
3.6.
cos 2
x
x
dx
1 2
3.7.
4
x
x
e dx
e
1 2
2
cos
3.8.
sin
9
x dx
x
1 2
2 4.1.
ln(
5).
d
x
1 2
5 15 ln
4.2.
x
dx
x
1 2
2 7
sin
4.3.
cos
x
dx
x
1
sin
4.4. 3
cos
x
x dx
1 2
1 4.5.
cos
x dx
x
1 3
2 4
4 4.6.
sin (
5)
x dx
x
1 2
2 4.7.
(ln
16)
dx
x
x
1 2
4 4.8.
5
x dx
x
1 2
4 5.1.
d
x
1 2
3
sin
5.2.
cos
x
dx
x
1 2
3 2
3 2
2 5.3.
2
x
x
dx
x
x
x
1 2
1 2
3
cos
5.4. 8
sin
x
x dx
1

150
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 5.5. (2 3)cos(
3 5)
x
x
x
dx
1 1
1 2
2 5.6.
sin (
2)
dx
x
x
1 2
3 4
7 5
5.7.
1
x dx
x
1 2
3 3
5.8.
25
x
x
e
dx
e
1 2
6.1.
cos5 .
d
x
1 6
6.2. sin cos
x
x dx
1 2
3 4
4 6.3.
6
x
dx
x
1 2
ln
1 6.4. 4
x
dx
x
1 2
2 1
6.5. cos(arctg )
1
x
dx
x
1 2
2 5
6.6.
cos 5
x
x
dx
1 2
cos
6.7.
4 sin
x dx
x
1 2
2 6.8.
36
x
x
e dx
e
1 2
7.1.
sin5 .
d
x
1 3
4 ln
7.2.
x
dx
x
1 2
sin
7.3.
5 cos
x
dx
x
1 2
2
cos
7.4.
sin2
x
e
x dx
1 2
7.5. cos sin(sin )
x
x dx
1 2
5 7.6.
x
dx
x
1 3
8 7.7.
4
x dx
x
1 2
5 2
7.8.
4 4
dx
x
x
1 2
3 8.1.
ln3 .
d
x
1 5
( 1 ln )
8.2.
x
dx
x
1 2
2 3
3 6
8.3.
6
x
dx
x
x
1 1
2
arctg
2 2
8.4.
1
x
dx
x
1 2
2 1
8.5. sin(tg )
cos
x
dx
x
1 4
5 8.6. 5
cos
x
x dx
1 2
8.7.
5
x
x
e
dx
e
1 2
5 2
5 8.8.
cos (
5)
x
x
e
dx
e
1 1
2 3
2 9.1.
x
de
1 2
cos
9.2.
3 sin
x
dx
x
1 2
2 2
9.3.
1
x
dx
x
1 2
2 4
3 9.4.
(2 4)
x
x
e
x
dx
1 1
2 1
3

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
151
9.5. 3 sin3
x
x
dx
1 2
9.6.
cos
x
x
e dx
e
1 2
6 9.7.
1
x dx
x
1 2
2
sin
9.8.
cos
4
x dx
x
1 2
10.1.
tg .
d
x
1 3
2 1
10.2. (ctg
4)
sin
x
dx
x
1 2
3 4
4 10.3.
9
x
dx
x
1 2
2 6
10.4.
12
x
e
x dx
1 2
2 3
10.5. 3
cos
x
x dx
1
arcsin
2 3
10.6.
1
x
dx
x
1 2
2 10.7.
4
x
x
e dx
e
1 2
4 2
10.8. (8 5)
4 5
1
x
x
x
dx
1 2 1
3 4
2 11.1.
3 .
x
d
1 5
6 6
11.2.
7
x
dx
x
1 2
5 11.3.
5 15
x
x
dx
1 2
2 3
11.4.
2
x
x
dx
1 2
3
sin
11.5.
x dx
x
1
ctg
2 11.6.
sin
x
e
dx
x
1 4
2 11.7.
7
x
dx
x
1 2
2 11.8.
4
x
x
e dx
e
1 2
2 12.1.
x
de
1 2
2 2
1 12.2.
1
x
dx
x
x
1 1 2 3
2 12.3.
sin
x
x
e
dx
e
1
arcsin
2 12.4.
1
x
e
dx
x
1 2
5 3
4 12.5. 4 2
x
x dx
1 2
3
ctg
2 7
12.6.
sin
x
dx
x
1 2
2 1
12.7.
cos
9 tg
dx
x
x
1 2
2 12.8.
8
x
x
e dx
e
1 2
13.1.
cos .
d
x
1 2
17 13.2.
(3 5)
x
x
dx
1 2

152
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
ln
6 13.3.
x
dx
x
1
tg
2 13.4.
cos
x
e
dx
x
1 2
sin
13.5.
cos
16
x
dx
x
1 2
2 2
13.6.
(
1) sin (arctg )
dx
x
x
1 2
2 13.7.
4 ln
dx
x
x
1 2
sin(4
)
13.8.
x dx
x
1 2
cos
14.1.
x
de
1 2
sin
14.2.
(4 3cos )
x
dx
x
1 2
2 8
3 3
2 14.3.
2 7
x
dx
x
x
1 1
1 2
2 6
14.4.
x
xe
dx
1 2
arctg2 2
1 14.5.
5 1 4
x
dx
x
1 2
3 6
2 7
14.6.
sin
x dx
x
1 2
2 14.7.
5
x
x
e
dx
e
1 2
2 14.8.
ln
36
dx
x
x
1 2
3
arcctg
15.1.
x
de
1 2
6 5
15.2. sin cos
x
x dx
1 2
7 8
15.3.
6
x
dx
x
1 2
ln
1 15.4. 3
x
dx
x
1 2
2 1
15.5. sin(ctg )
sin
x
dx
x
1 2
15.6.
cos (ln
1)
dx
x
x
1 2
2 15.7.
(1 ln
)
dx
x
x
1 2
2
cos
15.8.
sin
16
x dx
x
1 2
16.1.
tg .
5
x
d
1 10
(2ln
3)
16.2.
x
dx
x
1 2
2 3
2 3
4 5
16.3.
2 5
3
x
x
dx
x
x
x
1 2
1 2
1 3
5ln
16.4.
x
dx
e
x
1 16.5. 9 cos 9
x
x
dx
1
arccos
2 4
16.6.
1
x
dx
x
1 2
2
cos
16.7.
4 sin
x dx
x
1 2
2 4
16.8.
16
x
x
e
dx
e
1 2

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
153
sin
17.1.
3
x
x
d
1 2
4 2
3 17.2. 3 5
x
x
dx
1 2
3 2
1 3
17.3.
x
dx
e
x
1 2
2
sin
17.4.
cos (cos )
x dx
x
1 2
17.5.
25 ln
dx
x
x
1 2
3 17.6. sin ln
dx
x
x
1 2
sin cos
17.7. 3
(sin cos )
x
x
x
x dx
1 2
3 5
6 17.8.
16 6
x
x
dx
1 2
3 18.1.
cos
1.
d
x
1 2
7 18.2. sin cos
x
x dx
1 2
3 3
18.3.
10
x
dx
x
1 2
2 4 2 18.4.
4 5
x
dx
x
x
1 1
2 3
2 ln
18.5. 4
x
dx
x
1 2
3 1
2 3
1 18.6.
sin
x
x
e
dx
e
1 1
2 2
2 18.7.
sin
1 ctg
dx
x
x
1 2
2 18.8.
(49 ln
)
dx
x
x
1 2
3 19.1.
tg(12
).
d
x
x
1 2
2 5
3 3
5 19.2.
5 7
x
dx
x
x
1 1
2 3
2
sin2 19.3.
13 sin
x
dx
x
1 2
cos(
1)
19.4. 2
sin(
1)
x
x
dx
1 2
1 3
2 3
19.5.
sin(
8)
x
x
dx
1 2
3 2
2 4
3 4
3 19.6.
sin (
)
x
x
dx
x
x
1 1
2 2
19.7.
(ln
36)
dx
x
x
1 2
2 19.8.
16 (
3)
dx
x
1 1
2 5
3 20.1.
tg
d
x
1 3
20.2.
(2 cos ) sin
x
x dx
1 2
2 6
7 20.3.
3 7
5
x
dx
x
x
1 1
2 3
sin 4 20.4. 3
cos4
x
x dx
1 2
5 0,8 5
0,8 20.5.
cos(
)
x
x
e
e
dx
1 1
2
sin(5ln
5)
20.6.
x
dx
x
1 2
2 20.7.
25 4
x
x
dx
1 2
7 2
2 8
(2 8
)
20.8.
cos (
)
x
x
dx
x
x
1 1
2

154
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1 2
3 21.1.
sin
d
x
x
3 4
5 2
6tg (2 0,3)
21.2.
cos (2 0,3)
x
dx
x
1 1
2 2
1 21.3.
(6 ctg ) sin
dx
x
x
1 2
3 2
0,6 21.4.
(2 1)
x
x
e
x
dx
1 1 2
1 3
6 7
21.5.
sin
x
x dx
1 2
21.6.
4 (
10)
dx
x
1 1 2
2tg
5 2
21.7. 10
cos
x
dx
x
1 2
3 21.8.
2 32
x
x
e dx
e
1 2
5 22.1.
arccos
9
d
x
1 7
3 22.2. sin2
cos 2
x
x dx
1
ln
1 1
22.3. 5 2
x
x
dx
x
x
1 2
3 1
4 5
6 7
8 2
8 1
22.4.
cos
4 tg
dx
x
x
1 2
3 2
3 8
1 22.5.
(6 8)
x
x
e
x
dx
1 2
1 3
5 2
6
(6 5)
22.6.
sin (
5 )
x
dx
x
x
1 1
2 2
22.7.
4 (
1)
dx
x
1 2 1
3 4
10 22.8.
25
x dx
x
1 2
1 2 5
23.1.
2
x
d
3
arcsin12 2
23.2. 10 1 144
x
dx
x
1 2
6 7
7 23.3.
8
x dx
x
1 2
2 23.4. cos(ctg )
sin
dx
x
x
1 2sin
2 23.5.
(2cos
2)
x
x
e
x
dx
1 1
2 4
23.6.
49
x dx
x
1 2
2 2
3 23.7.
cos (
3)
x dx
x
1 2
2 7
23.8.
(5ln
3)
dx
x
x
1 2
1 2 3
4 24.1.
7
d
x
3 5
6 24.2.
8
x dx
x
1 2
2 8
1 1
24.3. 8 8
x
x
dx
x
1 2
3 1
4 5
6 7
8 24.4. (
2)cos(
2 )
x
x
e
e
x dx
1 1
2 2
24.5.
25 (
5)
dx
x
1 1
2 2
24.6.
2 4 sin
2 4
dx
x
x
1 2 1
3

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
155
1 2
24.7.
x
dx
e
x
1 2
3 2
3 24.8.
cos tg
3
dx
x
x
1 2
25.1.
sin ln .
d
x
1 3
3 3
25.2. cos (
) sin(
)
x
e
x
e
dx
1 1
2 2
(4 5)
25.3.
2 5
11
x
dx
x
x
1 1
1 2
tg
2 1
1 25.4.
cos
2
x
x
e
dx
x
x
1 2
3 4
1 5
6 7
8 9
5 2
ctg
2 25.5.
sin
x
dx
x
1 2
2 25.6.
4 (
3)
dx
x
1 2
3 7
25.7.
1 49
x
x
dx
1 2
3 8
4 25.8.
9
x dx
x
1 2
26.1.
ctg
0,3.
d
x
1 2
3 5
cos
26.2.
sin
x dx
x
1 2
7tg
5 26.3.
cos
x
dx
x
1 2
sin3 26.4.
cos3
x
e
x dx
1 2
26.5. cos(arctg )
1
dx
x
x
1 2
3 3
2 4
26.6.
cos (
)
x dx
x
1 2 3
8 8
26.7.
8
x
x
e
dx
e
1 2
2 2
1 26.8.
sin ctg
25
dx
x
x
1 2
3 12 4
27.1.
x
d e
1 2
5 2
(tg(
0,5 ) 3)
27.2.
cos (
0,5 )
x
dx
x
1 2 3 1
2 4
3 3
27.3.
ln10
x
x
e
dx
e
1 2
9 8
27.4. 12
x
x dx
1 2
5 27.5. sin5
cos5
x
x dx
1 2
2 3
(6 3)
27.6.
cos (2 3
1)
x
dx
x
x
1 1
1 2
2 27.7.
(
4)(ln (
4) 4)
dx
x
x
1 1 1 2
2 1
27.8.
sin (
5)
dx
x
x
1 2
3 3
9 28.1.
x
d e
1 2
10
(ln
8)
28.2.
x
dx
x
1 2
4 5
28.3.
8
x dx
x
1 2
ctg ln
2 1
1 28.4.
sin
x
x
e
dx
x
x
1 2
3 4
5 6
7 8
9

156
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
5 10 28.5. 2 5
10
x
dx
x
1 2
1 3
2 28.6.
sin (ln
3)
dx
x
x
1 2
2 28.7.
(
3)(ln (
3) 64)
dx
x
x
1 1 2 3
2 6
28.8.
81
x dx
x
1 2
3 29.1.
(
0,5
).
x
d x
x
e
1 1
2 6
29.2. cos (
2) sin(
2)
x
x
dx
1 1
2 13
cos
29.3.
(13 sin )
x dx
x
1 2
3 1
29.4.
3 1
x
dx
e
x
1 1
2 3
4 2
(4 4 )
29.5.
2 1
x
x dx
x
x
1 1
2 3
2
cos(arcctg2 )
29.6.
1 4
x
dx
x
1 2
29.7.
(2 8)(ln(2 8) 4)
dx
x
x
1 1 1 2
2 2
29.8.
sin ctg
6
dx
x
x
1 2
3 4
3 30.1.
( cos
).
d
x
1 6
2 30.2.
6
x dx
x
1 2
30.3.
9 ln
dx
x
x
1 2
1 arcsin3 2
30.4.
9 1 9
x
dx
x
1 2
1 3
2 3
30.5. (
3
) sin(
)
x
x
e
x
e
x
dx
1 1
2 2
30.6.
cos (
2)
x
x
e dx
e
1 2
2 2
30.7.
(81 tg
) cos
dx
x
x
1 2
2 6
3 30.8.
10
x dx
x
1 2
ИДЗ 18.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ:
ПРОСТЕЙШИЕ СПОСОБЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
В пунктах 1–3 найти интегралы, применяя метод замены переменной.
В пункте 4 найти интеграл, выделив целую часть дроби (применяя спо=
соб деления «уголком» многочлена на многочлен) и разложив интеграл на сумму более простых интегралов.
В пунктах 5–7 найти интегралы, применяя способы интегрирования тригонометрических функций.
В пунктах 8–10 найти интегралы, предварительно выделив полный квадрат в знаменателе дроби и сделав замену переменной u = x –
a.
2 8 13 1.1.
1
x
dx
x
1 1
2 2
2 1.2.
(arcctg2 ) (1 4
)
dx
x
x
1 2
þ

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ