Рекомендовано

• Название: Рекомендовано
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 6.62 Mb.
• Имя файла: Matematika_dlya_ekonomistov_Sbornik_zadaniy_by_Nalivayko_L_V_Iva.pdf
• Тип: Учебное пособие; #577094
• страница: 25 из 62

166
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 3 5 30.1.
1
x
dx
x
1 1
2
arccos2 2
2 2
30.2.
1 4
x
x
dx
x
1 2
3 4
cos
2 30.3.
sin
2
x
dx
x
1 2
7 30.4.
1
x
dx
x
1 1
2 4
30.5. cos 2 sin2
x
x dx
1 30.6. sin3 sin
x
x dx
1 4
30.7. tg 3
x dx
1 2
30.8.
2 2
dx
x
x
1 1 2
2 30.9.
2 2
dx
x
x
1 1 2
2 2
1 30.10.
3 3
16
x
dx
x
x
1 1
1 2
ИДЗ 19.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ:
МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ,
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ
В пунктах 1–3 найти неопределенные интегралы, применяя метод ин'
тегрирования по частям.
В пунктах 4, 6 найти интегралы, применяя подстановки x = a
× sin t,
x
= a
× tg t, sin
a
x
t
1
В пункте 5 найти интеграл, применяя подстановку
1
t
x
1 2 3 2
1.1.
ln
x
x dx
1 2
arcctg
1.2.
1
x
x
dx
x
1 2
3 2
1.3. (
2)
x
x
e dx
1 2
2 2
9 1.4.
x
dx
x
1 2
2 1.5.
(
1)
1
dx
x
x
x
1 2 2 3
3 2
1.6.
1
x dx
x
1 2
1 2.1. ln
1
x
dx
x
1 2
3 2.2. arcsin2
x dx
1 2.3. (
1)
x
x
e
dx
1 2
3 3
2 2.4.
9
dx
x
x
1 2
2 2.5.
(
1)
1
dx
x
x
x
1 1 2 3
2 4
4 2.6.
x
dx
x
1 2
þ

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
167
2 3.1. (
1)ln
x
x
x dx
1 2 3
2
arcsin2 3.2.
1 4
x
x dx
x
1 2
3 3.3. (1
)
x
x e
dx
1 1
2 2
4 9
3.4.
x
dx
x
1 2
2 3.5.
(
1)
1
dx
x
x
x
1 2 1 3
2 2
16 3.6.
x
dx
x
1 2
4.1.
ln
x
x dx
1
arccos
4.2.
1
x dx
x
1 2
2 4.3. (
1)
x
x
e
dx
1 2
3 2
2 4.4.
4
dx
x
x
1 2
2 4.5.
(
1)
1
dx
x
x
x
1 1 1 2
2 4
1 4.6.
x
dx
x
1 2
2
ln sin
5.1.
cos
x
dx
x
1 5.2. arcctg
x dx
1 2
5.3. (
1)
x
x
e dx
1 2
2 2
5.4.
1
x
x dx
1 2
2 5.5.
(
1) 1
dx
x
x
x
1 2 1 3
2 4
5.6.
x
dx
x
1 2
2 6.1.
ln(
1)
x
x
dx
1 2
6.2.
arcctg2
x
x dx
1 2
2 2
6.3.
cos
x
x dx
1 3
2 6.4.
4
x
x dx
1 2
2 6.5.
(
1) 1
dx
x
x
x
1 2 2 3
2 3 6.6.
(1
)
dx
x
1 2
2 7.1.
ln
x
x dx
1 2
7.2.
arctg
x
x dx
1 7.3. (
1)
x
x
e dx
1 2
2 3 4
(1
)
7.4.
x
dx
x
1 2
2 7.5.
(
1) 1
dx
x
x
x
1 1 1 2
2 5 7.6.
(4
)
dx
x
1 2
2 8.1.
ln
x
x dx
1 2
8.2.
arcctg
x
x dx
1

168
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
8.3. (1
)
x
x e dx
1 2
2 3 8.4.
(4
)
dx
x
1 2
2 8.5.
1
dx
x
x
x
1 1 2
2 8.6.
9
x dx
1 2
9.1.
ln(
1)
x
x
dx
1 2
2 9.2.
(arctg )
x
x dx
1 2
9.3. (
1)
x
x
e dx
1 2
2 4
9 9.4.
x
dx
x
1 2
2 9.5.
3
dx
x
x
x
1 2 3
2 3 6
(1
)
9.6.
x
dx
x
1 2
10.1. sin(ln )
x dx
1 2
10.2.
(arcctg )
x
x dx
1 2
2 10.3. (
1)
x
x
e
dx
1 1
2 2 3 10.4.
(9
)
dx
x
1 2
2 10.5.
(
1)
2
dx
x
x
x
1 1 2 3
2 4
4 10.6.
x
dx
x
1 2
2 2
ln
11.1.
x
dx
x
1 11.2. arctg2
x dx
1 11.3.
(cos2 2)
x
x
dx
1 2
2 2
11.4.
16
x
dx
x
1 2
2 11.5.
(
1) 1
dx
x
x
1 1
2 2
9 11.6.
x
dx
x
1 2
2 2
12.1.
ln
x
x dx
1 12.2. arcsin
x dx
1 2
12.3.
cos
x
x dx
1 2
2 12.4.
9
x
dx
x
1 2
2 12.5.
(
1) 1
dx
x
x
1 2
3 2
3 12.6.
(
1)
dx
x
1 2
2 2
13.1.
ln(
1)
x
x
dx
1 2
13.2. arccos
x dx
1 2
13.3.
sin2
x
x dx
1 3
2 13.4.
4
x
dx
x
1 2

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
169
2 13.5.
(
1) 1
dx
x
x
1 2
3 2
2 1
13.6.
x
dx
x
1 2
2
ln cos
14.1.
cos
x
dx
x
1 14.2.
1
arccos
x
x dx
1 2
2 14.3.
cos2
x
x dx
1 2
1 14.4.
x
dx
x
1 2
2 14.5.
(
1) 1
dx
x
x
1 1
2 2
2 3
14.6.
(
4)
dx
x
x
1 2
15.1. cos(ln )
x dx
1 15.2.
1
arcsin
x
x dx
1 2
2 15.3.
sin
x
x dx
1 2
1 15.4.
x
dx
x
1 2
2 15.5.
(
1)
1
dx
x
x
1 2
3 2
2 15.6.
4
x
x dx
1 2
2
ln
16.1.
x
dx
x
1 16.2.
arctg2
x
x dx
1 2
16.3.
sin cos
x
x
x dx
1 1
2 2
1 16.4.
x
dx
x
1 2
2 16.5.
(
1)
1
dx
x
x
1 1
2 3
2 16.6.
9
x
dx
x
1 2
17.1. ln(
1)
x
dx
1 2
arcsin
17.2.
1
x
dx
x
1 2
2 17.3.
(sin2 3)
x
x
dx
1 2
2 16 17.4.
x
dx
x
1 2
2 17.5.
(
2) 1
dx
x
x
1 2
3 2
2 17.6.
1
dx
x
x
1 2
2
ln(cos )
18.1.
sin
x
dx
x
1
arcsin
18.2.
1
x
dx
x
1 2
18.3.
(sin2 1)
x
x
dx
1 2
2 4
16 18.4.
x
dx
x
1 2

170
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 18.5.
(
2) 1
dx
x
x
1 2
3 2
2 18.6.
1
dx
x
x
1 2
ln(ln )
19.1.
x
dx
x
1
arcsin
19.2.
1
x
dx
x
1 2
2 19.3. (
)
x
x
x e
dx
1 2
3 2
19.4.
4
x dx
1 2
2 19.5.
(
2)
1
dx
x
x
1 1
2 2
2 19.6.
9
dx
x
x
1 2
2 20.1. ln
x dx
1 2
arctg
20.2.
1
x
x
dx
x
1 2
3 2
20.3. (
)
x
x
x e dx
1 2
2 2
4 20.4.
x
dx
x
1 2
2 20.5.
1
dx
x
x
x
1 1 2
2 9
20.6.
x
dx
x
1 2
ln
21.1.
x
dx
x
1 2
arcsin
21.2.
1
x
x
dx
x
1 2
2 21.3. (
1)
x
x
x
e
dx
1 1 2 3
2 4
25 21.4.
x
dx
x
1 2
2 21.5.
1
dx
x
x
x
1 2 3
2 2
1 21.6.
x
dx
x
1 2
1 22.1.
ln
1
x
x
dx
x
1 2
3 4
22.2.
arctg
x
x dx
1 2
2 22.3. (
1)
x
x
x
e dx
1 2 3
2 4
16 22.4.
x
dx
x
1 2
2 22.5.
1
dx
x
x
x
1 2 3
3 2
22.6.
1
dx
x
x
1 2
2 23.1. ln(
1
)
x
x
dx
1 1
2 23.2.
arcctg
x
x dx
1 2
2 23.3.
ctg
x
x dx
1 2 3 6
(4
)
23.4.
x
dx
x
1 2

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
171
2 23.5.
1
dx
x
x
x
1 1 2
2 4
1 23.6.
x
dx
x
1 2
24.1. ln
x dx
1 2
arccos2 24.2.
1 4
x
x
dx
x
1 2
3 2
24.3.
x
x e
dx
1 2
2 3 24.4.
(16
)
dx
x
1 2
2 24.5.
1
dx
x
x
x
1 2
3 3
2 24.6.
1
x
x dx
1 2
2 2
ln(
1
)
25.1.
1
x
x
x
dx
x
1 1
1 2
25.2. arccos2
x dx
1 2
25.3.
sin
x dx
x
1 2 5 25.4.
(1
)
dx
x
1 2
2 25.5.
2
dx
x
x
x
1 2 3
2 3 4
(4
)
25.6.
x
dx
x
1 2
2
ln sin
26.1.
sin
x
dx
x
1 26.2. arctg
x dx
1 2
26.3.
cos
x dx
x
1 2
16 26.4.
x
dx
x
1 2
2 26.5.
(
1)
1
dx
x
x
x
1 2 1 3
2 2
26.6.
1
x
dx
x
1 2
2 27.1.
ln(
1)
x
x
dx
1 2
arccos
27.2.
1
x
dx
x
1 2
2 27.3.
tg
x
x dx
1 2
2 3
27.4.
(
9)
dx
x
1 2
2 27.5.
(
1)
1
dx
x
x
x
1 2 2 3
2 2
27.6.
4
x
dx
x
1 2
ln ln(ln )
28.1.
x
x
dx
x
1 2
arccos
28.2.
1
x
x
dx
x
1 2
3

172
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 28.3. (
2)
x
x
e
dx
1 2
3 3
2 28.4.
9
x
x dx
1 2
3 2
28.5.
(
1)
1
dx
x
x
x
1 1 1 2
2 4
28.6.
x
dx
x
1 2
2 29.1. ln(
1)
x
dx
1 2
arccos
29.2.
1
x
dx
x
1 2
2 2
29.3.
sin
x
x dx
1 2
2 2
3 29.4.
(
1)
dx
x
x
1 2
2 29.5.
(
1)
1
dx
x
x
x
1 1 2 3
2 4
29.6.
x
dx
x
1 2
3
ln
30.1.
x
dx
x
1 30.2. arcctg2
x dx
1 2
30.3.
(cos2 3)
x
x
dx
1 2
2 2
30.4.
4
dx
x
x
1 2
2 30.5.
(
1) 1
dx
x
x
x
1 1 2 3
2 9
30.6.
x
dx
x
1 2
ИДЗ 20.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ОТ ДРОБНОРАЦИОНАЛЬНОЙ
ФУНКЦИИ
Найти неопределенные интегралы от дробно#рациональных функций,
раскладывая их на простейшие дроби, выделив, если это необходимо, це#
лую часть.
2 2
(7 17 )
1.1.
(
2)(
2 3)
x
x dx
x
x
x
1 1
1 1
2 3
2 1.2.
dx
x
x
1 2
3 6
1.3.
1
x
dx
x
1 2
5 3
2 4
2 2
1.4.
1
x
x
x
dx
x
1 1
1 2
5 1
1.5.
(2
)
x
dx
x
1 1
2 4
3 2
2 2
7 2
13 2.1.
(
1)(
5 6)
x
x
x
dx
x
x
x
1 2
2 2
1 2
3 2
2 3
1 2.2.
(
1)(
1)
x
dx
x
x
1 2
2 3
þ

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
173
2 2
5 17 36 2.3.
(
1)(
6 13)
x
x
dx
x
x
x
1 1
1 1
1 2
3 2
4 2
1 2.4.
5 4
x
x
x
dx
x
x
1 1 2 1
1 3
7 1
2.5.
(7
)
x
dx
x
1 1
2 2
2 3
17 2
3.1.
(
1)(
5 6)
x
x
dx
x
x
x
1 2
1 2
2 3
3 2
3 2
2 5
1 3.2.
x
x
dx
x
x
1 2
1 3
2
(2 22)
3.3.
(
2)(
2 10)
x
dx
x
x
x
1 1
2 1
3 2
3 6
8 3.4.
8
x
x
dx
x
1 2
2 3
11 3.5.
(5
)
dx
x
1 2
2 12 4.1.
(
2)(
2 3)
dx
x
x
x
1 1
1 2
3 2
3 2
2 2
4 3
4.2.
x
x
x
dx
x
x
1 1
1 1
2 3
2
(2 3)
4.3.
(
1)(
4 4)
x
dx
x
x
x
x
1 2
2 1
2 3
5 4
2 2
1 4.4.
1
x
x
dx
x
1 2
1 3
4 4.5.
(
9)
dx
x
1 2
2 2
3 2
2 1
5.1.
x
x
dx
x
x
1 1
1 2
4 3
3 2
2 4
1 5.2.
2
x
x
dx
x
x
x
1 1
1 2
3 2
(12 6 )
5.3.
(
1)(
4 13)
x dx
x
x
x
1 2
1 2
3 2
2
(2 2
20)
5.4.
(
1)(
2 5)
x
x
dx
x
x
x
1 1
2 1
1 3
5 5.5.
(2
)
dx
x
1 2
4 3
2 2
2 8
9 7
6.1.
(
2)(
3)
x
x
x
dx
x
x
x
1 1
2 1 2 1
3 3
2 2
6.2.
x
dx
x
x
1 2
3 4
3 2
4 2
2 2
6.3.
5 4
x
x
x
x
dx
x
x
1 1
1 1 1
1 2
4 2
5 6.4.
3 4
dx
x
x
1 2
3 3
4 6.5.
(
3)
x
dx
x
1 1
2 2
8 7.1.
(
6 5)(
3)
x dx
x
x
x
1 1
1 2
4 3
3 2
4 8
3 3
7.2.
2
x
x
x
dx
x
x
x
1 2
2 1
1 3

174
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 3
3 2
7.3.
1
x
x
dx
x
1 1
2 3
3 4
2 8
2 7.4.
4
x
x
dx
x
x
1 2
1 3
11 7.5.
(
5)
xdx
x
1 2
4 3
2 2
2 7
7 8
8.1.
(
5 6)(
1)
x
x
x
x
dx
x
x
x
1 2
1 1
2 2
3 3
2 2
8.2.
x
dx
x
x
1 1
2 2
2 3
6 8.3.
(
1)(
6 13)
x
x
dx
x
x
x
1 2
1 1
1 3
3 2
2 2
2 2
5 8.4.
(
2) (
4)
x
x
dx
x
x
1 2
1 2
3 9
7 8.5.
(1
)
x
dx
x
1 2
3 3
3 2
1 9.1.
x
dx
x
x
1 2
3 2
2 4
9.2.
(
2 1)(
1)
x dx
x
x
x
1 2
2 3
2 36 9.3.
(
2)(
2 10)
dx
x
x
x
1 2
1 3
3 2
4 2
3 9.4.
x
x
x
dx
x
x
1 2 2 2
3 5
2 9.5.
(2
)
x
dx
x
1 2
3 4
3 2
2 2
17 32 7
10.1.
(
4 3)(
5)
x
x
x
x
dx
x
x
x
1 1
2 1
1 1
3 2
43 67 10.2.
(
1)(
12)
x
dx
x
x
x
1 1
1 1 2
2
(9 9)
10.3.
(
1)(
4 13)
x
dx
x
x
x
1 2
1 2
3 3
4 2
5 10.4.
3 4
x
x
dx
x
x
1 1 2
1 3
9 10.5.
(1
)
xdx
x
1 2
2 2
(6 6
6)
11.1.
(
1)(
2)
x
x
dx
x
x
x
1 2
1 1 2 3
3 2
4 5
11.2.
(
1)(
1)
x
x
dx
x
x
1 2
1 1
3 3
7 10 11.3.
8
x
dx
x
1 2
3 3
4 2
1 11.4.
x
x
dx
x
x
1 1 1
2 7
11.5.
(
7)
dx
x
1 2
4 3
2 2
2 3
21 26 12.1.
(
3)(
5 4)
x
x
x
dx
x
x
x
1 1
1 2
1 2
3 2
3 2
2 12.2.
x
x
dx
x
x
1 1 1
2

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ