Рекомендовано

• Название: Рекомендовано
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 6.62 Mb.
• Имя файла: Matematika_dlya_ekonomistov_Sbornik_zadaniy_by_Nalivayko_L_V_Iva.pdf
• Тип: Учебное пособие; #577094
• страница: 26 из 62

175
2 2
4 3
17 12.3.
(
1)(
2 5)
x
x
dx
x
x
x
1 1
2 1
1 3
2 3
2
(2 7
10)
12.4.
(
1)(
4 4)
x
x
dx
x
x
x
x
1 2
1 1
2 1
3 3
12.5.
(
3)
dx
x
1 2
2 2
3 3
24 13.1.
(
2)(
3)
x
x
dx
x
x
x
1 2
2 2 2
3 3
2 3
2 2
2 1
13.2.
x
x
x
dx
x
x
1 1
2 1
3 2
3 3
4 7
13.3.
1
x
x
dx
x
1 2
1 1
3 4
2 4
2 13.4.
4
x
dx
x
x
1 1
2 9
13.5.
(1
)
dx
x
1 2
4 3
2 2
7 3
30 14.1.
(
2)(
2 3)
x
x
x
dx
x
x
x
1 2
2 1
1 1
3 2
2 3
2 14.2.
(
1)
x
x
dx
x x
1 2
1 2
3 2
2 5
40 14.3.
(
2)(
2 10)
x
x
dx
x
x
x
1 2
2 1
2 3
3 4
2 2
14.4.
x
x
dx
x
x
1 2 1
3 11 10 14.5.
(
5)
x
dx
x
1 1
2 2
2
(3 15)
15.1.
(
1)(
5 6)
x
dx
x
x
x
1 1
2 2
3 3
2 2
1 15.2.
(
1)
x
dx
x
x
1 1
2 2
3 4
12 15.3.
8
x
x
dx
x
1 2 1
2 3
2 4
2 2
4 15.4.
5 4
x
x
dx
x
x
1 1
1 1
2 7
1 15.5.
(
7)
x
dx
x
1 1
2 2
2 3
20 9
16.1.
(
4 3)(
5)
x
x
dx
x
x
x
1 1
1 1
1 2
4 3
2 2
8 45 61 16.2.
(
1)(
5 6)
x
x
x
dx
x
x
x
1 2
2 2
1 1
3 2
(3 13)
16.3.
(
1)(
2 5)
x
dx
x
x
x
1 2
1 1
3 4
2 5
16.4.
3 4
xdx
x
x
1 2
3 5
16.5.
(
2)
dx
x
1 2
2 2
19 6
17.1.
(
2)(
3)
x
x
dx
x
x
x
1 2
2 1 2
3 3
2 3
17.2.
(
1)(
1)
x
dx
x
x
1 1
1 2

176
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
3 3 9 17.3.
1
x
dx
x
1 1
2 4
2 3
17.4.
4
dx
x
x
1 2
9 7
17.5.
(
1)
x
dx
x
1 2
3 3
2 6
18.1.
2 2
xdx
x
x
x
1 2 2 3
2 3
2 3
2 18.2.
2
x
x
dx
x
x
x
1 2
2 2
3 2
2 13 40 18.3.
(
1)(
4 13)
x
x
dx
x
x
x
1 2
2 1
2 3
5 3
2 4
2 2
18.4.
1
x
x
x
dx
x
1 2
1 3
4 6
18.5.
(
9)
x
dx
x
1 1
2 2
2
(4 32 52)
19.1.
(
6 5)(
3)
x
x
dx
x
x
x
1 1
1 1
1 2
3 2
2 19.2.
2
x
dx
x
x
x
1 2
1 3
3 6 9 19.3.
8
x
dx
x
1 2
3 4
4 2
19.4.
5 4
x dx
x
x
1 1
2 4
12 19.5.
(
9)
x
dx
x
1 1
2 2
2
(2 41 91)
20.1.
(
2 3)(
4)
x
x
dx
x
x
x
1 2
1 2
2 3
4 3
2 4
8 1
20.2.
(
)(
1)
x
x
dx
x
x x
1 2
1 1
3 2
(4 10)
20.3.
(
2)(
2 10)
x
dx
x
x
x
1 2
1 2
3 3
4 2
5 20.4.
1
x
x
dx
x
1 2
1 3
9 20.5.
(
1)
xdx
x
1 2
4 2
6 21.1.
(
1)(
2)
x
dx
x
x
1 2
3 2
4 21.2.
(
1)(
1)
xdx
x
x
1 1
2 2
2
(
23)
21.3.
(
1)(
6 13)
x
dx
x
x
x
1 1
1 1
2 3
4 2
4 3
21.4.
4
x
x
dx
x
x
1 2
1 3
5 3
21.5.
(
2)
x
dx
x
1 1
2 4
3 2
2 8
15 2
2 22.1.
(
1)(
8 15)
x
x
x
x
dx
x
x
x
1 1
1 1
1 1
1 2
3 2
22.2.
dx
x
x
1 2

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
177
2 2
(2 7
7)
22.3.
(
1)(
2 5)
x
x
dx
x
x
x
1 1
2 1
1 3
2 2
7 2
22.4.
(
1) (
4)
x
dx
x
x
1 1
2 3
7 6
22.5.
(
7)
x
dx
x
1 1
2 2
2 6
23.1.
(
1)(
3 2)
x dx
x
x
x
1 2
2 3
3 2
3 2
4 2
1 23.2.
x
x
x
dx
x
x
1 2
1 1
3 2
2
(
19 34)
23.3.
(
1)(
4 13)
x
x
dx
x
x
x
1 2 1
2 1
2 3
3 2
4 2
2 4
2 23.4.
3 4
x
x
x
dx
x
x
1 1
2 1
2 3
9 2
23.5.
(
1)
x
dx
x
1 1
2 4
2 2
10 5
34 24.1.
(
1)(
12)
x
x
x
dx
x
x
x
1 1
1 1
1 1 2
2 2
3 2
24.2.
(
)(
1)
x
dx
x
x x
1 1
1 2
2 5
13 24.3.
(
1)(
6 13)
x
dx
x
x
x
1 1
1 1
2 4
2 24.4.
dx
x
x
1 2
5 2
24.5.
(
2)
x
dx
x
1 2
3 2
2
(2 12 6)
25.1.
(
1)(
8 15)
x
x
dx
x
x
x
1 2
1 1
1 3
4 3
3 2
2 4
6 1
25.2.
2
x
x
x
dx
x
x
x
1 2
1 1
2 3
2 2
(4 38)
25.3.
(
2)(
2 10)
x
dx
x
x
x
1 1
2 1
3 2
4 2
4 2
25.4.
x
dx
x
x
1 1
2 9
25.5.
(
1)
dx
x
1 2
2 2
(2 26)
26.1.
(
4 3)(
5)
x
dx
x
x
x
1 2
2 2
3 4
3 2
2 2
4 2
4 1
26.2.
(
1)
x
x
x
x
dx
x x
1 2
1 2
1 3
2 8
26.3.
(
1)(
6 13)
dx
x
x
x
1 1
1 2
3 4
2 2
2 5
26.4.
3 4
x
x
dx
x
x
1 1
2 1
3 7
26.5.
(7
)
dx
x
1 2
4 2
(6 30 30)
27.1.
(
1)(
1)(
2)
x
x
dx
x
x
x
1 2
1 2
2 3
3 2
5 27.2.
1
x
dx
x
x
x
1 2
2 1 3

178
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 3
4 10 27.3.
8
x
x
dx
x
1 1 1
2 2
4 2
27.4.
5 4
x dx
x
x
1 1
2 3
2 27.5.
(
3)
x
dx
x
1 1
2 4
2 2
6 21 3
24 28.1.
(
1)(
2)
x
x
x
dx
x
x
x
1 2
2 2
2 1 3
2 2
3 7
2 28.2.
(
)(
1)
x
x
dx
x
x x
1 2
1 1
3 2
2
(4 7
5)
28.3.
(
1)(
2 5)
x
x
dx
x
x
x
1 1
2 1
1 3
4 2
2 8 28.4.
4
x
dx
x
x
1 2
3 5
1 28.5.
(
2)
x
dx
x
1 1
2 4
3 2
4 8
2 29.1.
(
1)
x
x
x
dx
x x
1 2 2 1
3 2
(37 85)
29.2.
(
2 3)(
4)
x
dx
x
x
x
1 2
1 1
3 2
3 3
2 1
29.3.
1
x
x
dx
x
1 1
2 3
3 2
4 4
29.4.
1
x
x
x
dx
x
1 2
1 3
7 6
29.5.
(7
)
x
dx
x
1 1
2 4
3 2
2 8
17 5
30.1.
(
2 3)(
2)
x
x
x
dx
x
x
x
1 2
2 1
2 1
3 2
3 2
2 5
1 30.2.
2
x
x
dx
x
x
x
1 2
1 2
3 2
2 2
4 20 30.3.
(
1)(
4 13)
x
x
dx
x
x
x
1 1
1 2
1 3
2 2
3 8
30.4.
(
1) (
4)
x
dx
x
x
1 1
2 3
11 30.5.
(
5)
dx
x
1 2
ИДЗ 21.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В пунктах 1, 2 найти интегралы от иррациональных функций.
В пункте 3 найти интеграл, применив универсальную тригонометри/
ческую подстановку
2 2
2 2
1
sin
, cos
,
tg .
2 1
1
t
t
x
x
x
t
t
t
1 2
2 2
3 3
В пункте 4 найти интеграл, применяя подстановку t = tg x.
В пункте 5 найти интеграл от тригонометрической функции.
þ

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
179
1 1.1.
1
x
dx
x
1 1
2 3
3 1.2.
1 3
x
dx
x
1 1
1 2
1.3.
5 4sin
dx
x
1 2
3 1.4.
cos sin
dx
x
x
1 4
2 1.5. sin 2 cos 2
x
x dx
1 2.1.
1
xdx
x
1 2
3 6
2.2.
x
x
dx
x
x
1 1
2 2.3.
8 4cos
dx
x
1 2
7 2.4.
cos sin
dx
x
x
1 4
3 5
2.5.
cos sin
x
x dx
1 3.1.
1
x
dx
x
1 2
6 3
3 3.2.
3 3
x
dx
x
x
1 1 1 1
2 3.3.
3sin
4cos
dx
x
x
1 2
2 3.4.
1 sin
dx
x
1 2
3 2
3
sin
3.5.
cos
x
dx
x
1 4.1.
3 3
dx
x
1 1
2 6
2 3
3 1
(
1)
1 4.2.
(
1)(1 1)
x
x
x
dx
x
x
1 1 1
1 1
1 1
1 2
4.3.
2 4sin
3cos
dx
x
x
1 1
2 2
4.4.
4sin
8sin cos
dx
x
x
x
1 2
2 4
4.5. sin 2 cos 2
x
x dx
1 5.1.
1 1
dx
x
1 2
3 3
(
1)
5.2.
(
1)
x
dx
x
x
1 2
3 5.3.
7sin
3cos
dx
x
x
1 2
3 5
4 5.4.
sin cos
dx
x
x
1 3
3 5
cos
5.5.
sin
x dx
x
1

180
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
6.1.
1
dx
x x
1 2
3 3
1 2 6.2.
3 1 2 3 1
x
dx
x
x
1 1 1 1 1
2 6.3.
5 2sin
3cos
dx
x
x
1 1
2 4
4
sin2 6.4.
cos
4sin
x dx
x
x
1 2
5 3
3 6.5.
cos 2 sin 2
x
x dx
1 1
7.1.
1
x
dx
x x
1 2
3 3
2 7.2.
4
x dx
x
x
1 2
7.3.
3cos
4sin
dx
x
x
1 2
4 4
sin2 7.4.
4cos sin
x dx
x
x
1 2
3 2
3
cos
7.5.
sin
x
dx
x
1 3
8.1.
1
x dx
x
1 2
2 3
8.2.
(2 1)
2 1
dx
x
x
1 2
1 3
2 sin
3cos
8.3.
1 cos
x
x
dx
x
1 2
2 3
2 2
8.4.
sin
2sin2 5cos
dx
x
x
x
1 2
3 2
3 3
8.5.
sin cos
x
x dx
1 2
9.1.
1 1
x dx
x
1 1 2
3 3
6 9.2.
1
x
x
dx
x
x
1 1
1 2
9.3.
5 sin
3cos
dx
x
x
1 1
2 2
2 9.4.
4cos
3sin
dx
x
x
1 2
2 3
3 9.5.
cos sin
x
x dx
1 1
10.1.
x
dx
x
1 2
6 3
3 1 1 10.2.
3 1
3 1
x
dx
x
x
1 1 1 2 1
3 10.3.
4sin
3cos
5
dx
x
x
1 1
2 2
2 10.4.
7cos
16sin
dx
x
x
1 2
3 3
5
sin
10.5.
cos
x
dx
x
1

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
181
3 11.1.
1
x dx
x
1 2
4 11.2.
1
x dx
x
1 2
11.3.
3 cos sin
dx
x
x
1 1
2 2
2 11.4.
5sin
3cos
dx
x
x
1 2
5 4
11.5. sin cos
x
x dx
1 12.1.
1
x dx
x
1 2
3 2
12.2.
4
x dx
x
x
1 2
7 6sin
5cos
12.3.
1 cos
x
x
dx
x
1 2
1 3
2 2
12.4.
sin sin2 3cos
dx
x
x
x
1 1
2 3
4 3sin
12.5.
cos
x dx
x
1 13.1.
(
1)
dx
x x
1 2
4 13.2.
1
x dx
x
1 2
13.3.
5 3cos
dx
x
1 2
2 13.4.
3cos
2
dx
x
1 2
3 4
3
sin
13.5.
cos
x dx
x
1 14.1.
1 2
dx
x
1 2
3 3
3 1 1 14.2.
3 1
3 1
x
dx
x
x
1 2 1 1 1
3 6sin cos
14.3.
1 cos
x
x
dx
x
1 1
2 2
2 14.4.
sin
3sin cos cos
dx
x
x
x
x
1 2
3 5
3 3
14.5.
sin 2 cos 2
x
x dx
1 15.1.
2
dx
x x
1 2
3 2
3 15.2.
(1
)
x
x
x
dx
x
x
1 1
1 2
15.3.
3sin cos
dx
x
x
1 2
2 15.4.
5 3sin
dx
x
1 2
3 4
3
cos
15.5.
sin
x dx
x
1

182
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 16.1.
2 2
x dx
x
1 2 3
3 2
16.2.
x dx
x
x
1 2
16.3.
4 4sin
3cos
dx
x
x
1 2
3 2
2 3tg
1 16.4.
sin
4cos
x
dx
x
x
1 2
3 3
8 16.5. cos sin
x
x dx
1 1
17.1.
2
x
dx
x x
1 1
2 3
2 17.2.
3
x dx
x
x
1 2
17.3.
cos
3sin
dx
x
x
1 2
2 17.4.
3 2sin
dx
x
1 2
4 3
17.5. cos sin
x
x dx
1 3
18.1.
2
x dx
x
1 2
3 18.2.
1
x dx
x
1 2
18.3.
3 5sin
3cos
dx
x
x
1 1
2 2
18.4.
2cos
3
dx
x
1 2
4 3
5 18.5.
sin cos
x
x dx
1 19.1.
3 1
dx
x
1 2
3 3
2 6
19.2.
(1
)
x
x
dx
x
x
1 2
3 19.3.
7cos
3sin
dx
x
x
1 2
2 4
cos
19.4.
1 sin
x dx
x
1 2
2 4
19.5. sin 3 cos 3
x
x dx
1 2
20.1.
1
x
dx
x
1 2
3 6
2 3
3
(
1)
1 20.2.
1 1
x
x
dx
x
x
1 1
1 1 1 1
2
sin cos
20.3.
1 cos
x
x
dx
x
1 1
2 2
2 20.4.
3sin
5cos
dx
x
x
1 2
5 5
20.5.
sin cos
x
x dx
1 21.1.
2 3
dx
x
1 1
2 4
21.2.
1
x
x
dx
x
1 1
2

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
183
21.3.
4cos
3sin
dx
x
x
1 2
2
tg
21.4.
1 ctg
x dx
x
1 2
5 4
21.5. cos sin
x
x dx
1 22.1.
3 1
xdx
x
1 1 2
3 1
1 22.2.
(1 1)
1
x
dx
x
x
1 2
2 2
2 3
22.3.
5 4sin
2cos
dx
x
x
1 2
3 2
22.4.
16sin
8cos sin
dx
x
x
x
1 2
3 5
5 22.5.
cos sin
x
x dx
1 2
23.1.
3 1
x dx
x
1 2 3
3 2
3 23.2.
(4
)
x
x
dx
x
x
1 1
2 3sin
2cos
23.3.
1 cos
x
x
dx
x
1 2
3 2
23.4.
1 3cos
dx
x
1 2
3 4
3cos
23.5.
sin
x
dx
x
1 24.1.
2 3
xdx
x
1 1
2 3
6 5
(
1)(
1)
24.2.
x
x
dx
x
x
1 1
1 2
24.3.
5 3cos
5sin
dx
x
x
1 2
3 2
24.4.
8sin
16sin cos
dx
x
x
x
1 2
3 8
24.5. sin cos
x
x dx
1 3
25.1.
3
x dx
x
1 2
3 6
2 3
25.2.
(1
)
x
x
x
dx
x
x
1 1
1 2
25.3.
5cos
10sin
dx
x
x
1 2
2 2
25.4.
3cos
4sin
dx
x
x
1 2
2 4
25.5. cos 3 sin 3
x
x dx
1 1
26.1.
3
x
dx
x x
1 1
2 3
5 2
6 3
2 1
2 1
26.2.
(2 1)
2 (2 1)
x
x
dx
x
x
1 1 1
1 2
1 3