Рекомендовано
 Скачать 6.62 Mb.
|
|
•САНКТПЕТЕРБУРГ• •МОСКВА• •КРАСНОДАР• 2011 САНКТПЕТЕРБУРГ • МОСКВА • КРАСНОДАР 2011 РЕКОМЕНДОВАНО Учебнометодическим объединением по образованию в области математических методов в экономике в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 080116 «Математические методы в экономике» и другим экономическим специальностям Л. В. НАЛИВАЙКО, Н. В. ИВАШИНА, Ю. Д. ШМИДТ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ Издание второе, переработанное © Издательство «Лань», 2011 © Л. В. Наливайко, Н. В. Ивашина, Ю. Д. Шмидт, 2011 © Издательство «Лань», художественное оформление, 2011 Охраняется законом РФ об авторском праве. Воспроизведение всей книги или любой ее части запрещается без письменного разрешения издателя. Любые попытки нарушения закона будут преследоваться в судебном порядке. Обложка Л. А. АРНДТ ББК 22.1 Н 23 Наливайко Л. В., Ивашина Н. В., Шмидт Ю. Д. Н 23 Математика для экономистов. Сборник заданий: Учеб( ное пособие. 2(е изд., перераб. — СПб.: Издательство «Лань», 2011. — 432 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература). ISBN 9785811411191 Учебное пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов экономических специальностей, а также может быть использовано преподавателями при подготовке и проведении практиче( ских занятий, контрольных работ, зачетов и экзаменов. Сборник содержит задачи по следующим разделам дисциплины «ма( тематика»: линейная алгебра, аналитическая геометрия, дифференци( альное исчисление, комплексные числа, функции нескольких перемен( ных, интегральное исчисление, теория рядов, теория вероятностей. Ка( ждый раздел сборника содержит индивидуальные домашние задания и примеры для проведения аудиторных контрольных работ. ББК 22.1 Рецензенты: зав. кафедрой высшей математики Дальневосточного государственного технического университета, к. ф.(м. н., доцент С. В. ПОЛИКАРПОВ; зав. кафедрой математики и моделирования Владивостокского госу( дарственного университета экономики и сервиса, д. э. н., доцент Л. С. МАЗЕЛИС ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящее время в России появилось достаточно много учебников и учеб ных пособий по математике для экономических специальностей высших учеб ных заведений, отражающих современные взгляды и подходы к преподава нию этой дисциплины. Разумеется, все они разные по стилю, уровню и глу бине предлагаемого материала, но среди этого многообразия книг имеется явный недостаток учебнометодической литературы для обеспечения прак тических занятий и самостоятельной работы студентов. Предлагаемое вниманию преподавателей и студентов учебное пособие может частично восполнить имеющийся пробел. Оно написано в соответст вии с действующими программами дисциплины «математика» для экономи ческих специальностей вузов. Весь практический материал по курсу разде лен на главы, в каждой из которых даются теоретические сведения (основ ные определения, понятия, формулировки теорем, формулы), необходимые для решения задач соответствующего раздела. По основным темам курса при водятся индивидуальные домашние задания (ИДЗ) и аудиторные контроль ные работы. В пособии приведены ответы ко всем задачам, включенным в индивидуальные домашние задания, что позволяет преподавателю значи тельно упростить проверку домашних заданий и применять данное пособие при модульном и рейтинговом методах обучения. Сборник содержит задачи по следующим разделам математики: линей ная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциаль ное исчисление, комплексные числа, функции нескольких переменных, ин тегральное исчисление, теория рядов, теория вероятностей. При подготовке пособия учитывалось то, что наиболее эффективной фор мой обучения является самостоятельная работа студента под наблюдением и контролем преподавателя. Именно поэтому сборник содержит большое ко личество упражнений, достаточное для выработки навыков решения типо вых примеров и задач. В конце пособия приводится список литературы, в который вошли ис точники, использованные при составлении сборника, а также учебники, со держащие теоретический материал, который будет полезен студенту при ре шении задач. 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ П рямоугольная таблица, составленная из m строк и n столбцов элементов a ij , называется матрицей размерности m ´n и записывается в круглых скоб ках. Элементы матрицы нумеруются двумя индексами. Первый индекс i эле мента a ij обозначает номер строки, а второй j — номер столбца, на пересече нии которых находится этот элемент в матрице. Матрицы, у которых m = n, называются квадратными. Рассмотрим основные операции над матрицами. 1. Сложение и вычитание матриц. Эти операции определяются только для матриц одинаковой размерности. Суммой (разностью) матриц A и B, обозна чаемой A + B (A – B), называется матрица C, элементы которой c ij = a ij + b ij , (c ij = a ij – b ij ), где a ij и b ij — соответственно элементы матриц A и B. 2. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A и числа k называется матрица B = k × A той же размерности, элементы которой b ij = ka ij , где a ij — элементы матрицы A. 3. Умножение матриц. Произведением матрицы A размерности m ´n на мат рицу B размерности n ´p называется матрица C размерности m´p, обозначается C = A × B, элементы которой 1 1 2 1 , n ij it tj t c a b где a it , b tj — элементы матриц A и B соответственно. Умножение матриц определено только в том случае, когда име ется согласование размерностей: число столбцов первого множителя A равно числу строк второго множителя B. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие некоторое число, которое называется определителем. Определителем nго порядка называется число D n , обозначается в виде квадратной таблицы 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 , n n n n n nn a a a a a a a a a 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 7 вычисляемое согласно указанному ниже правилу. Для n = 2 1 2 2 3 4 3 11 12 2 11 22 12 21 21 22 a a a a a a a a Для n = 3 1 2 2 3 3 4 3 3 4 4 3 3 5 3 3 4 3 3 4 3 3 11 12 13 3 21 22 23 11 22 33 12 23 31 31 32 33 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32 11 ( ). a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Минором M ij элемента a ij называется определитель (n – 1)+го порядка D n –1 , полученный из определителя n+го порядка D n вычеркиванием i+й стро+ ки и j+го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется число A ij = = (–1) i +j × M ij Определитель n+го порядка D n можно вычислить, раскладывая по любой строке или столбцу: D n = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ... + a in A in = a 1j A 1j + a 2j A 2j + ... + a nj A nj , где A ij — алгебраическое дополнение элемента a ij определителя D n Квадратная матрица A называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Матрица A –1 называется обратной для квадратной матрицы A порядка n, если A × A –1 = A –1 × A = E, где E — единичная матрица порядка n: 1 2 3 4 3 4 5 3 4 3 4 6 7 1 0 0 0 1 0 0 0 1 E Для любой квадратной матрицы A равносильны следующие утверждения: 1) существует матрица X такая, что A × X = X × A = E; 2) существует матрица Y такая, что A × Y = E; 3) существует матрица Z такая, что Z × A = E; 4) матрица A является невырожденной. Если матрица A невырожденная порядка n, то обратную матрицу A –1 мож+ но вычислить по формуле 1 2 3 4 5 4 5 6 7 4 5 4 5 8 9 11 21 1 12 22 2 1 1 2 1 , | | n n n n nn A A A A A A A A A A A где |A| — определитель матрицы A, а A ij — алгебраические дополнения к эле+ ментам a ij матрицы A. 8 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ Выделим в матрице A k строк и k столбцов, где k £ min{m, n}. Определи& тель, составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных k строк и k столбцов, называется минором kго порядка матрицы A. Рангом матрицы A (обозначается rang A) называется число, равное наи& большему порядку миноров матрицы A, отличных от нуля. Базисным минором матрицы A называется всякий отличный от нуля ми& нор, порядок которого равен рангу данной матрицы. Ранг матрицы можно вычислить, используя метод окаймляющих мино& ров. Минор M k +1 порядка k + 1 матрицы A, содержащий в себе минор M k порядка k, называется окаймляющим минор M k . Если у матрицы A сущест& вует минор M k ¹ 0, а все окаймляющие его миноры M k +1 = 0, то rang A = k. Система m уравнений с n неизвестными x 1 , x 2 , ..., x n , имеющая вид 1 1 1 2 3 4 1 1 1 2 4 5 4 4 1 1 1 2 6 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , , n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b (1) где a ij — коэффициенты системы и b j — свободные члены, являющиеся дей& ствительными числами для любых i, j, называется системой линейных урав нений Система линейных уравнений называется невырожденной, если число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы коэффициен& тов системы отличен от нуля. Невырожденная система линейных уравнений имеет единственное ре& шение. Справедлива следующая теорема Кронекера–Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений вида (1) была совместна (имела хотя бы одно решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов системы 1 1 1 1, , 1, ( ) ij i m j n A a и ранг так называемой расширенной матрицы сис& темы (1) 1 2 3 4 3 4 5 3 4 3 4 6 7 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b были равны, т. е. 1 rang rang . A A Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравне ний. Введем в рассмотрение матрицы&столбцы для неизвестных и свободных членов системы (1): 1 2 1 2 3 4 3 4 3 4 3 4 5 5 3 4 3 4 3 4 3 4 6 7 6 7 1 1 2 2 , n m x b x b X B x b 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 9 Тогда систему линейных уравнений можно записать в виде A × X = B. Если система линейных уравнений невырожденная, то решение системы можно найти в виде X = A –1 × B, где A –1 — обратная матрица для матрицы A. Формулы Крамера. Невырожденная система линейных уравнений (1) имеет решение 1 2 1 , i i x где D — определитель матрицы A и D i — определи- тель матрицы, полученной из матрицы A заменой i-го столбца на столбец свободных членов исходной системы. Метод последовательных исключений Гаусса. Следующие преобразова- ния расширенной матрицы системы линейных уравнений (1) будем назы- вать элементарными: 1) умножение строки на число и прибавление к другой строке; 2) умножение строки на число, отличное от нуля; 3) перестановка двух строк; 4) перестановка двух столбцов, за исключением последнего. При элементарных преобразованиях расширенной матрицы системы (1) множество решений системы не изменяется, с учетом перенумерации пере- менных при перестановке столбцов. Если матрица коэффициентов системы (1) имеет ранг r £ n, то расширен- ная матрица A этой системы с помощью элементарных преобразований мо- жет быть приведена к виду 12 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 r r n r r n rr rn r r m c c c c b c c c b c c b b b 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 4 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 7 8 (2) Матрица (2) является расширенной матрицей следующей системы: 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 3 4 5 2 2 2 2 2 3 5 5 5 2 262 3 7 5 3 5 5 5 3 8 1 12 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 , , , 0 , 0 , r r r r n n r r r r n n r rr r rn n r r n x c x c x c x c x b x c x c x c x b x c x c x b b b которая эквивалентна исходной системе (т. е. имеет те же самые решения, что и исходная система). Если хотя бы одно из чисел 1 1 21 ,..., r n b b отлично от нуля, то система не имеет решений. Если же 1 1 2 3 3 3 1 0, r n b b то исходная система совместна и можно найти ее общее решение, выражая последова- тельно переменные x r , x r –1 , ..., x 2 , x 1 через свободные переменные x r +1 , ..., x n , т. е. x 1 = f 1 (x r +1 , ... x n ), x 2 = f 2 (x r +1 , ... x n ), ..., x r = f r (x r +1 , ... x n ). Тогда набор (f 1 (x r +1 , ..., x n ), f 2 (x r +1 , ..., x n ), ..., f r (x r +1 , ..., x n ), x r +1 , ..., x n ) будет являться общим решением системы линейных уравнений (1). 10 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ ИДЗ 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Найти: 1) определитель D указанными двумя способами; 2) минор Mij для указанных i, j; 3) алгебраическое дополнение Aij для указанных i, j. 1. 1) Разложить по элементам третьей строки; получить 3 нуля в четвер5 том столбце и разложить по нему; 2) M 24 ; 3) A 13 1 2 3 1 2 5 1 0 1 4 2 3 5 1 1 1 2 0 2. 1) Разложить по элементам второго столбца; получить 3 нуля в четвер5 той строке и разложить по ней; 2) M 21 ; 3) A 43 1 1 2 3 1 6 3 9 0 0 2 1 3 4 2 0 6 2 0 1 3 3. 1) Разложить по элементам третьего столбца; получить 3 нуля в чет5 вертой строке и разложить по ней; 2) M 31 ; 3) A 34 1 2 2 7 2 1 1 1 1 0 3 4 0 2 0 5 1 3 4. 1) Разложить по элементам четвертой строки; получить 3 нуля во вто5 ром столбце и разложить по нему; 2) M 32 ; 3) A 23 1 2 3 5 1 0 2 3 4 5 6 1 0 10 2 2 3 7 1 5. 1) Разложить по элементам второй строки; получить 3 нуля в третьем столбце и разложить по нему; 2) M 12 ; 3) A 14 1 1 2 3 1 1 1 1 1 2 4 6 8 5 3 1 3 4 5 1 5 3 2 8 2 þ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ |