Рекомендовано

• Название: Рекомендовано
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 6.62 Mb.
• Имя файла: Matematika_dlya_ekonomistov_Sbornik_zadaniy_by_Nalivayko_L_V_Iva.pdf
• Тип: Учебное пособие; #577094
• страница: 7 из 62

43
24.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(1; 1; 1), B(4; –3; 1), C(2; 3; 0),
D
(1; 3; 2). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cos
ÐADC; 3) высоту VABC,
опущенную из вершины A на BC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пира6
миды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC.
24.3. При каком значении k векторы
1 1
1 1
1 1
(2;2;1),
(1;1;2),
(3; ;1)
a
b
c
k
ком6
планарны?
25.1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
7 4
c
a
b
1 2
1 1
1
и
3
,
d
a
b
1 2
1 1
1
если
| |
2, | |
6, ( , ) 150 .
a
b
a b
1 2
2 2
3 1
1 1
1 25.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
: A(–1; 2; –1),
B
(1; 4; 0), D(0; 3; 1), A
1
(2; 1; 3). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD;
2) cos
ÐDAB; 3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из вершины B
на AD; 4) объем параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
; 5) высоту параллелепипе6
да ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, опущенную из A
1
на основание ABCD.
25.3. При каком значении k точки A(0; –1; –1), B(2; 1; 3), C(1; 0; 2), D(k; 1; 1)
лежат в одной плоскости?
26.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
6
c
a
b
1 2
1 1
1
и
2 3 ,
d
a
b
1 2
1 1
1
если
| |
2, | |
1, ( , ) 150 .
a
b
a b
1 2
2 2
3 1
1 1
1 26.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(–2; 4; 0), B(2; –4; 1), C(1; 1; 2),
D
(–1; 2; 4). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cos
ÐCDA; 3) высоту
VABC, опущенную из вершины B на AC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пирамиды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC.
26.3. Лежат ли точки A(1; 2; 5), B(2; 1; 5), C(–5; 2; 0), D(–1; 1; 3) в одной плоскости?
27.1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
7 6
c
a
b
1 2
1 1
1
и
,
d
b
a
1 2 1 1 1
если
| |
2, | |
2, ( , ) 135 .
a
b
a b
1 2
2 2
3 1
1 1
1 27.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
: A(1; 3; 0), B(2; 5; 2),
D
(1; 4; 5), A
1
(3; 4; 6). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cos
ÐABC;
3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из вершины A на BC; 4) объем параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
; 5) высоту параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
,
опущенную из A
1
на основание ABCD.
27.3. При каком значении k точки A(1; –1; 0), B(0; k; 4), C(2; –3; 1),
D
(–1; 2; 0) лежат в одной плоскости?
28.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
6 7
c
a
b
1 2
1 1
1
и
4 5 ,
d
a
b
1 2
1 1
1
если
| |
3 3, | |
5, ( , )
60 .
a
b
a b
1 2
2 2
3 1
1 1
1 28.2. Даны вершины параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
: A(–1; 0; 3), B(0; 2; 1),
D
(2; 3; 4), A
1
(1; 6; 8). Найти: 1) площадь параллелограмма ABCD; 2) cos
ÐA
1
AB
;
3) высоту параллелограмма ABCD, опущенную из вершины B на AD; 4) объем параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
; 5) высоту параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
,
опущенную из A
1
на основание ABCD.
28.3. Лежат ли точки A(4; –2; 0), B(3; 0; 0), C(0; 0; 2), D(3; 3; 1) в одной плоскости?

44
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
29.1. Найти площадь треугольника, построенного на векторах
4 7
c
a
b
1 2
1 1
1
и
2 ,
d
b
a
1 2 1 1 1
если | |
2, | |
5, ( , )
45 .
a
b
a b
1 2
2 2
3 1
1 1
1 29.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(1; 2; 2), B(3; 4; 5), C(0; 1; 2),
D
(3; 5; 8). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cos
ÐCBD; 3) высоту VABC,
опущенную из вершины A на BC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пира>
миды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC.
29.3. Компланарны ли векторы
1 2 2 1
2 1 2 1
1 1
(3; 3; 2),
(4; 1; 0),
( 3;5;2)?
a
b
c
30.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
7 2
c
a
b
1 2
1 1
1
и
4
,
d
a
b
1 2
1 1
1
если | |
5 3, | |
2, ( , ) 120 .
a
b
a b
1 2
2 2
3 1
1 1
1 30.2. Даны вершины пирамиды ABCD: A(2; 3; –1), B(3; 5; 2), C(2; 4; 0),
D
(4; 6; 8). Найти: 1) площадь треугольника ABC; 2) cos
ÐCBA; 3) высоту VABC,
опущенную из вершины B на AC; 4) объем пирамиды ABCD; 5) высоту пира>
миды ABCD, опущенную из вершины D на основание ABC.
30.3. При каком значении k точки A(3; 0; 2), B(0; 7; 1), C(1; 3; 1), D(2; k; 3)
лежат в одной плоскости?
ИДЗ 6.
РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА
ПО НОВОМУ БАЗИСУ
Найти разложение вектора
b
1
по строкам
1 2
3
,
,
a a
a
1 1 1
матрицы A.
1 2 3
3 1.
0 1
3 ,
1 .
1 2 1
5
A
b
1 2
1 2 3
4 3 4 5
5 3
4 3 4 3
4 3 4 6
7 8
7 8 1
5 2
1 3
2.
3 1 4 ,
7 .
2 7
0 1
A
b
1 2
1 2 3
4 3 4 5
6 5
3 4
3 4 3
4 3 4 7
8 7 8 1
1 4
3 5
3.
3 2
2 ,
7 .
5 4
0 3
A
b
1 2
3 2 3 4
5 4 5 6
1 6
4 5
4 5 4
5 4 5 1
7 8
7 8 1
1 0 1
1 4.
3 2
2 ,
2 .
2 4
0 5
A
b
1 2
1 2 3
4 3 4 5
6 5
3 4
3 4 3
4 3 4 6
7 8
7 8 1
2 2
1 3
5.
1 3 1 ,
1 .
1 0 1
5
A
b
1 2
1 2 3
4 3 4 5
5 6 3
4 3 4 3
4 3 4 6
6 7
8 7 8 1
0 2
2 4
6.
5 2
4 ,
2 .
3 1
5 3
A
b
1 1
2 3
2 3
4 5
4 5
6 1 6 1 4
5 4
5 4
5 4
5 7
8 7
8 1
1 1
1 4
7.
7 4
3 ,
0 .
5 2
1 2
A
b
1 2
3 2 3 4
5 4 5 6
1 6
4 5
4 5 4
5 4 5 1
1 7
8 7 8 1
3 2 5 7
8.
5 7 3 ,
1 .
3 1 5 3
A
b
1 2
1 2 3
4 3 4 5
5 3
4 3 4 3
4 3 4 6
7 6 7 1
1 3 7 3
9.
2 7
1 ,
1 .
0 2
4 1
A
b
1 2
1 2 3
4 3 4 5
5 6 3
4 3 4 3
4 3 4 6
7 8
7 8 1
7 2 2 0
10.
1 1 3 ,
1 .
5 9 3 3
A
b
1 2
3 2 3 4
5 4 5 6
6 4
5 4 5 4
5 4 5 1
7 8
7 8 1
þ

2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
45
1 9 0 1
11.
1 4
1 ,
1 .
3 2
2 1
A
b
1 2
1 2 3
4 3 4 5
6 5
3 4
3 4 3
4 3 4 6
7 8
7 8 1
1 2
0 0
12.
3 7
5 ,
2 .
5 4
1 5
A
b
1 2
1 2 3
4 3 4 5
5 3
4 3 4 3
4 3 4 6
6 6
7 8
7 8 1
5 1 0 3
13.
2 1
1 ,
2 .
5 3 0 7
A
b
1 2
3 2 3 4
5 4 5 6
1 6
4 5
4 5 4
5 4 5 1
7 8
7 8 1
0 1
2 7
14.
2 2 9 ,
2 .
4 2 1
2
A
b
1 2
3 2
3 4
5 4
5 6 1 6 1 4
5 4
5 4
5 4
5 7
8 7
8 1
3 7
5 0
15.
3 4
0 ,
1 .
0 2
1 2
A
b
1 2
1 2 3
4 3 4 5
6 5
3 4
3 4 3
4 3 4 7
8 7 8 1
1 7 1
0 16.
4 1 2 ,
2 .
5 2 0 5
A
b
1 2
1 2 3
4 3 4 5
5 3
4 3 4 3
4 3 4 6
7 8
7 8 1
2 2 3 3
17.
1 2 3 ,
0 .
1 1 1 2
A
b
1 2
1 2
3 4
3 4
5 5
3 4
3 4
3 4
3 4
6 7
8 7
8 1
3 2
2 5
18.
3 2
1 ,
1 .
1 1
1 4
A
b
1 2
3 2
3 4
5 4
5 6
1 1
6 4
5 4
5 4
5 4
5 1
1 7
8 7
8 1
0 2
5 3
19.
7 9
3 ,
1 .
1 1 4 5
A
b
1 2
1 2 3
4 3 4 5
5 3
4 3 4 3
4 3 4 6
6 7
8 7 8 1
6 5 3 2
20.
1 7
5 ,
9 .
0 4
1 3
A
b
1 2
3 2
3 4
5 4
5 6 1 6
4 5
4 5
4 5
4 5
1 7
8 7
8 1
4 1
2 7
21.
2 3
0 ,
1 .
3 1
2 3
A
b
1 2
3 2
3 4
5 4
5 6
1 6 1 4
5 4
5 4
5 4
5 1
1 7
8 7
8 1
1 2 4 3
22.
1 7 0 ,
1 .
0 3 5
5
A
b
1 2
1 2 3
4 3 4 5 6 5
3 4
3 4 3
4 3 4 7
8 7 8 1
2 1
1 6
23.
2 3
0 ,
5 .
1 1
1 3
A
b
1 2
3 2
3 4
5 4
5 6
1 6 1 4
5 4
5 4
5 4
5 1
7 8
7 8
1 2
7 5
4 24.
3 4
0 ,
2 .
2 2
9 3
A
b
1 2
1 2
3 4
3 4
5 6 6
5 3
4 3
4 3
4 3
4 6
6 7
8 7
8 1
1 2 3
4 25.
1 0 4 ,
1 .
5 3
2 2
A
b
1 1
2 3
2 3
4 5
4 5
6 6 1 4
5 4
5 4
5 4
5 1
7 8
7 8
1 4
1 2
1 26.
0 2
7 ,
7 .
5 2
3 5
A
b
1 2
3 2 3 4
5 4 5 6
6 4
5 4 5 4
5 4 5 1
1 7
8 7 8 1
1 4
2 6
27.
7 2
1 ,
2 .
3 4
0 3
A
b
1 2
1 2 3
4 3 4 5
6 5
3 4
3 4 3
4 3 4 6
6 7
8 7 8 1
1 2 0 1
28.
3 2
3 ,
4 .
5 1 2 3
A
b
1 2
1 2
3 4
3 4
5 5
3 4
3 4
3 4
3 4
6 6
6 7
8 7
8 1
5 4 7 7
29.
3 2
1 ,
1 .
4 0 2 0
A
b
1 1
2 3
2 3 4
5 4 5 6
6 4
5 4 5 4
5 4 5 7
8 7 8 1
3 1
2 4
30.
1 3
1 ,
2 .
9 5
0 1
A
b
1 2
3 2
3 4
5 4
5 6
6 1 4
5 4
5 4
5 4
5 1
1 7
8 7
8 1

46
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Контрольная работа 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
1.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
,
,
AB AC
11112 1112
если
2 ,
3 , |
|
8, | |
3, (
, )
6
AB
m
n AC
m
n m
n
m n
1 2
3 4 3 5 3
3 3
11112 1112 2
2 2
2 2 2
2 2 1.2. Найти значение d, при котором точки A, B, C, D лежат в одной плоско/
сти, если A(–1; 0; 1), B(1; 4; 6), C(2; 2; 1), D(1; 0; d).
1.3. Найти
2
|
|
,
a b
a b
1 2 3 1
1 1
1
если
2 2 ,
5 .
a
i
j
k b
i
k
1 2 3 1 3 1 1 1
1 1
1 1
1.4. Найти пр (
),
a
a
b
1 1
1 1
если
2 2 ,
5 .
a
i
j
k b
i
k
1 2 3 1 3 1 1 1
1 1
1 1
1.5. Найти 5(cos a + cos b), если cos a, cos b — направляющие косинусы вектора
(4;3).
m
1 1
2.1. Найти значение k, при котором
,
m
n
1 1
1
если
17 ,
3
,
m
ka
b n
a
b
1 2
1 3
1 1
1 1
1 1
| |
2, | |
5, ( , ) 120 .
a
b
a b
1 2
2 2
3 1
1 1
1 2.2. Найти сумму координат вектора
,
c
1
если
1 2 1
3 3 1
1 1 1
,
(3; 1; 2),
c
a b a
1 2
1
(2;2; 1).
b
2.3. Найти
3пр (2
),
b
a
b
1 1
1 1
если
1 2 2 1
2 1
1
(3; 1; 2),
(2;2; 1).
a
b
2.4. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
,
,
,
AB AC AD
11112 1112 11112
если A(1; 0; 3), B(2; 1; 0), C(1; 2; 2), D(0; 2; 3).
2.5. Найти ординату вектора
,
m
1
коллинеарного вектору
,
AC
1112
противопо/
ложно направленного и имеющего модуль
|
|
3 5,
m
1 1
если A(1; 0; 3), C(1; 2; 2).
3.1. Найти 9cos a + 2cos b – cos g, если cos a, cos b, cos g — направляющие косинусы вектора
1 2
1
(10; 20;20).
a
3.2. Найти ординату вектора
,
a
1
если
,
a
AB
AC
1 2
11112 1112 2
A(1; –1; 2), B(5; –6; 2),
C
(1; 3; –1).
3.3. Найти |3 4 |,
a
b
1 1
1
если | |
4, | |
3, ( , )
60 .
a
b
a b
1 2
2 2
3 1
1 1
1 3.4. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , ,
a b c
1 1
1
если
2
,
2 ,
3 3 .
a
i
j
k b
i
j
k c
i
k
1 2 3 1 3 2 1 2 2 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
3.5. Найти абсциссу вектора
,
m
1
коллинеарного вектору
,
a
1
сонаправлен/
ного с
,
a
1
если |
|
5 6,
2
m
a
i
j
k
1 1
2 3 1
1 1
1 1
4.1. Найти пр (
),
b
a
b
1 1
1 1
если
1 2 2 1
2 1
1
(1; 5; 2),
(4; 0; 3).
a
b
4.2. Найти абсциссу вектора
,
c
1
если
1 2 1
3 3 1
3 1
1 1
1 1
| |
,
(1; 5; 2),
(4; 0; 3).
c
b a a
b
4.3. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
,
,
AB AC
11112 1112
если A = (–2; 1; 3), B = (0; 1; 4), C = (–2; 2; 4).
4.4. Найти
(
)
| |,
a b
c
c
1 2 3 1
1 1 1
если
| |
2, | |
1, | |
5, ( , )
, ( , )
0.
a
b
c
a c
b c
1 1
2 2
2 2 3 2
1 1
1 1
1 1 1
4.5. Найти объем треугольной пирамиды, построенной на векторах
, , ,
a b c
1 1
1
если
2
,
3 3 ,
2 .
a
i
j
k b
i
k c
i
j
k
1 2 3 1 2 2 1 3 2 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
5.1. Найти |
|
,
m n
m n
1 2 3 1 1 1 1
если
|
|
1, | |
2, (
, )
4
m
n
m n
1 2
3 3
3 1
1 1 1 5.2. Найти аппликату вектора
,
a
1
если
,
a
AB CA
1 2
11112 1112 2
A(1; –1; 2); B(5; –6; 2),
C
(1; 3; –1).

2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
47
5.3. Найти значение коэффициента b, при котором
,
a
b
1 1
1
если
1 2 3 1
( ; 3;2)
a
и
1 2
1
(2; 2;1).
b
5.4. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
, , ,
a b c
1 1
1
если
2 2 ,
3 4 ,
2
a
i
j
k b
i
k c
j
k
1 2 3 1
2 1
3 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 5.5. Найти
3пр (
2 ),
a
b
c
1 1
1 1
если
2 2 ,
3 4 ,
2
a
i
j
k b
i
k c
j
k
1 2 3 1
2 1
3 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 6.1. Найти |6
|,
p
q
1 1 1
если
| |
2 2, | |
3, ( , )
4
p
q
p q
1 2
3 3
3 1
1 1 1 6.2. Найти 33(cos a + cos b + cos g), если cos a, cos b, cos g — направляю7
щие косинусы вектора
,
AB
11112
A(2; –5; 1), B(8; 2; –5).
6.3. Найти
1 4
объема параллелепипеда, построенного на векторах , , ,
a b c
1 1
1
если
,
2 ,
4 .
c
a b a
i
j
k b
i
j
k
1 2 1 3 3 1 4 3 1
1 1 1
1 1
1 1
1 1 1
6.4. Найти значение k, при котором векторы и
p
q
1 1
ортогональны, если
3 2
,
2 , | |
6, | |
2, ( , )
3
p
a
kb q
a
b a
b
a b
1 2
3 4
3 5 3
3 3
1 1
1 1
1 1
1 1 1
1 6.5. Найти
7пр
,
AB
BC
11112 1112
если
1 2
3 2
11112 2
2 2
3 2
6 ,
(1; 1;3),
(0; 1; 13).
AB
i
j
k A
C
7.1. Найти
|
|,
a
b
1 1
1
если
| |
2, | |
1, ( , )
4
a
b
a b
1 2
3 3
3 1
1 1
1 7.2. Найти значение a, при котором векторы
, ,
a b c
1 1
1
компланарны, если
1 2
1 2
1 3
1 1
1
(2; 0; 1),
(1; 14;3),
(1; ; 0).
a
b
c
7.3. Найти квадрат модуля вектора
,
c
1
если
3 2 ,
2
,
a
i
j
k b
i
j
k
1 2 2 1 3 2
1 1 1
1 1
1 1
1
(2
) (2
).
c
a
b
a
b
1 2 3 4
1 1
1 1
1 7.4. Найти
5пр
,
AC
AB
11112 11112
если A(0; –2), B(1; 2), C(3; 2).
7.5. Найти площадь треугольника ABC, если A(0; –2), B(1; 2), C(3; 2).
8.1. Найти
11пр
,
b
a
1 1
если
1 1
2 2 1
1
(0;1;2),
(3; 1; 1).
a
b
8.2. Найти
(
)
,
AB
AC
AD
1 2
11112 1112 11112
если A(1; 2; 3), B(2; –4; 0), C(1; 0; 3), D(2; 0; 4).
8.3. Найти 20(cos a + cos b + cos g), если cos a, cos b, cos g — направляю7
щие косинусы вектора
,
AB
11112
A(–2; 3; 1), B(–2; –1; 5).
8.4. Найти значение k, при котором векторы и
p
q
1 1
ортогональны, если
3 9
,
2 , | |
6, | |
2, ( , )
3
p
a
kb q
a
b a
b
a b
1 2
3 4
3 5 3
3 3
1 1
1 1
1 1
1 1 1
1 8.5. Найти площадь параллелограмма, сторонами которого являются век7
торы
, ,
p q
1 1
если
3 2
,
4 5 , |
|
5, | |
2, (
, )
4
p
m
n q
m
n m
n
m n
1 2
3 4
3 5
3 3
3 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 9.1. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
, , ,
a b c
1 1
1
если
1 2 2 1
1 2
1 1
1
(1; 2; 3),
(5; 0;1),
(0; 4; 3).
a
b
c
9.2. Найти квадрат модуля вектора
1 2
,
F
F
F
1 2
12 12 112
если
1 2
и
F
F
112 112
направлены под углом 60
°,
1 2
|
|
5, |
|
7.
F
F
1 1
112 112 9.3. Найти значение b, при котором векторы
, ,
a b c
1 1
1
компланарны, если
3 2 ,
,
3
a
i
k b
i
j c
j
k
1 2
1 3 1
2 4 1 1 1
1 1
1 1
1 1
9.4. Найти
3пр
,
a b
a
1 1
1 1
если
3 2 ,
a
i
k b
i
j
1 2
1 3 1 1 1
1 1
1 9.5. Найти сумму координат вектора
,
a
1
если
,
a
AB
AC
1 2
11112 1112 2
A(1; –1; 2),
B
(5; –6; 2), C(1; 3; –1).