Рекомендовано

• Название: Рекомендовано
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 6.62 Mb.
• Имя файла: Matematika_dlya_ekonomistov_Sbornik_zadaniy_by_Nalivayko_L_V_Iva.pdf
• Тип: Учебное пособие; #577094
• страница: 15 из 62

91
27.1. ( )
arcctg(
cos ).
x
y x
e
x
1 2
2 2
(arctg ) ,
27.2.
1 1
y
t
x
t
1 23 4 1 3
5 6
27.3.
10.
x
y
1 2
3 27.4. ( )
4
arcsin5 .
y x
x
x
1 4
5 27.5. ( )
2 3
x
e
y x
x
1 2
3 27.6. ( )
ln ctg(5 3).
y x
x
1 2
3 3
cos4 27.7. ( )
( 6 8
)
x
y x
x
1 2
tg
28.1. ( )
2 arcctg
2
x
y x
x
1 2
3 2
2 3
2 3 ,
28.2.
2 .
y
t
t
x
t
t
1 2 3
4 1 2 5
2 28.3. ln
3
x
y
y
1 2 2
3 28.4. ( )
arcsin
4 .
x
y x
x
1 2
6 2
4 28.5. ( )
ln(5 3)
x
y x
x
1 2
3 2
28.6. ( )
sin tg(
).
x
y x
e
1 2 3
3
tg2 28.7. ( )
(arcsin(
2))
x
y x
x
1 2
1 sin6 29.1. ( )
3 2cos6
x
y x
x
1 2
1 1 2 3
5 arccos ,
5 29.2.
3 3
t
t
t
y
x
t
t
3 4 5
6 5 4 7
8 2
2 29.3.
sin(
)
2 .
x
xy
xy
1 2
3 29.4. ( )
arctg 5
ln tg .
y x
x
x
x
1 2 3
7
arctg (8 9)
29.5. ( )
3
x
y x
1 2
2
ln
29.6. ( )
1 ln
x
y x
x
1 2
ln sin
29.7. ( )
(cos )
x
x
y x
x
1 2
8 3
3 3cos (4 7)
30.1. ( )
3 1
x
y x
x
x
1 2
1 1
3 2
tg
,
30.2.
ctg .
y
t
t
x
t
t
1 2
3 4 1 5 6
3 30.3.
tg
3 3
0.
y
x
x
y
1 1
2 2
ctg 3 3
30.4. ( )
ctg
x
y x
e
x
1 2
3 30.5. ( )
arcsin ln(
1).
y x
x
1 2
3
ln(
)
30.6. ( )
sin2
x
x
e
y x
x
1 2
3 2
30.7. ( )
(arccos(
)) .
x
y x
x
x
1 2

92
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2. Найти производную второго порядка
( ).
y x
11 2
1. ( )
sin 3 .
y x
x
1 2
3 2. ( )
x
y x
e
1 2
3 2
3. ( )
sin (4 5
).
y x
x
1 2 2
3 2
3 1
4. ( )
x
y x
x
1 2
8 5. ( )
sin (4 5).
y x
x
1 2
5 2
6. ( )
x
y x
xe
1 2
3 7. ( )
tg 4 .
y x
x
1 4
8. ( )
cos (3 1).
y x
x
1 2 2
6 2
9. ( )
5 1.
y x
x
1 2
7 10. ( )
ln 2 .
y x
x
1 3
2 11. ( )
1 4
y x
x
1 2
4 12. ( )
sin (5 2).
y x
x
1 2 3
1 2
2 2
13. ( )
ln(
1
).
x
x
y x
e
e
2 14. ( )
cos 4 .
y x
x
1 7
2 15. ( )
4 1.
y x
x
1 2
2 16. ( )
4 8
x
y x
x
1 2
3 17. ( )
tg 2 .
y x
x
1 2
2 3
18. ( )
4 21
x
y x
x
1 2
3 2
19. ( )
arcsin(1
).
x
y x
e
1 2
3 20. ( )
arccos(5
).
y x
x
1 2
21. ( )
arcsin(3
).
y x
x
1 2
22. ( )
3 .
x
y x
1 2
23. ( )
sin 4 .
y x
x
1 2
24. ( )
cos 5 .
y x
x
1 5
25. ( )
ln 6 .
y x
x
1 3
26. ( )
5 ln 2 .
y x
x
1 3
27. ( )
tg 6 .
y x
x
1 8
2 28. ( )
4 5
y x
x
1 2
8 29. ( )
(lnln ) .
y x
x
1
ctg 3 30. ( )
2
x
y x
1
ИДЗ 12.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
С ПОМОЩЬЮ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Выполнить полное исследование функции по следующей схеме:
1) найти область определения функции;
2) определить, является ли функция четной или нечетной;
3) определить, является ли функция периодической;
4) найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции;
5) найти точки разрыва функции, односторонние пределы функции в этих точках, уравнения вертикальных асимптот;
6) найти наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции;
þ
þ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
93
7) найти критические точки производной
( ),
y x
1
интервалы возраста!
ния и убывания функции, экстремумы функции;
8) найти критические точки производной второго порядка
( ),
y x
11
ин!
тервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба гра!
фика функции;
9) построить график функции.
2 1
1.1.
(
5)(
2) .
2
y
x
x
1 2
2 2
1.2.
4(
2)
x
y
x
1 2
2 2
6 1.3.
(
5)
x
y
x
1 2
3 2
2 1.4.
3(
9)
x
y
x
1 2
3 2
2.1.
16 24
y
x
x
1 2 2
2
(
3)
2.2.
2(
1)
x
y
x
1 2
1 2
2 6(
1)
2.3.
x
y
x
1 2
2 8
2.4.
(
3)
y
x
x
1 2
4 3
1 3.1.
4
y
x
x
1 2
2 7
3.2.
1
x
x
y
x
1 2 3
2 2
36 3.3.
(
2)
x
y
x
1 2
1 3
2
(
1)
3.4.
(
1)
x
y
x
1 1 2
3 3
2 1
4.1.
(
3 9
27).
4
y
x
x
x
1 2
3 3
2
(
2)
4.2.
1
x
x
y
x
1 2 2 3
1 2
9(
4)
4.3.
(
3)
x
y
x
1 2
1 3
3 4
4.4.
(1
)
x
y
x
1 2
2 5.1.
(
2)(
1) .
y
x
x
1 2
3 2
5.2.
3(
3)
x
y
x
1 2
1 2
12(
1)
5.3.
(
1)
x
y
x
1 2
3 5
2 2
4 5.4.
5(
5)
x
y
x
1 2
1 3
2 6.1.
2 6
y
x
x
1 2
2
(
2 2)
6.2.
1
x
x
y
x
1 1
2 3
1 2
2 6
6.3.
(
1)
x
y
x
1 2
3 2
8 6.4.
(
3)
y
x x
1 2
3 3
2 1
7.1.
(
3 9
27).
8
y
x
x
x
1 2 2 3
3 2
8 7.2.
2(
1)
x
x
y
x
1 2
3

94
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 36 7.3.
(
2)
x
y
x
1 2
3 2
7.4.
3(
5)
x
y
x
1 2
1 2
8.1.
(
1)(
2) .
y
x
x
1 2 3 2
2 2
6 8.2.
2(
1)
x
x
y
x
1 1
2 3
2 2
6(
3)
8.3.
(
3)
x
y
x
1 1
2 3
3 2
8.4.
3(
12)
x
y
x
1 2
3 2
1 9.1.
(
3 9
27).
4
y
x
x
x
1 2
3 3
2 3(
2)
9.2.
4(
3)
x
y
x
1 1
2 1
2 9(2 1)
9.3.
(
1)
x
y
x
1 1
2 3
4 3
9.4.
(
1)
x
y
x
1 2
1 3
2 1
10.1.
(
6
).
4
y
x
x
1 2
2 4
10.2.
1
x
y
x
1 2
3 2
36(
2)
10.3.
x
y
x
1 2
5 4
8 10.4.
x
y
x
1 2
2 1
11.1.
(5
)(
2) .
2
y
x x
1 2
2 2
3 11 11.2.
2
x
x
y
x
1 1
2 1
2 90(
4)
11.3.
x
y
x
1 1
2 2
64 11.4.
(
6)
y
x
x
1 2
3 3
12.1.
3
y
x
x
1 2
2
(
3)
12.2.
2(
1)
x
y
x
1 2
1 2
18(
1)
12.3.
x
y
x
1 2
3 2
(
4)
12.4.
(
2)
x
y
x
1 2 3 1
2 13.1.
(
2)(
1) .
y
x
x
1 2 3 2
2 3
11 13.2.
2
x
x
y
x
1 2 1
3 1
2 2
3 13.3.
(
2)
x
y
x
1 2
3 2
2 7
7 13.4.
4
x
y
x
1 2
3 4 5 6
7 8
3 2
1 14.1.
(
9
).
18
y
x
x
1 2
2
(
1)
14.2.
1
x
y
x
1 2 1 3
2 2
4 4 14.3.
4
x
y
x
1 2
1 3
72(
2)
14.4.
x
y
x
1 2

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
95
2 1
15.1.
(
4)(
2) .
4
y
x
x
1 2
3 2
(2 3)
15.2.
4(
1)
x
y
x
1 2
3 2
3(2 1)
15.3.
(
1)
x
y
x
1 2
1 1 2 3
1 15.4.
4 1
x
y
x
3 4
5 3
2 16.1.
8 12
y
x
x
1 2
2
(
4)
16.2.
2(
2)
x
y
x
1 2 1 1
2 18(
1)
16.3.
(
2)
x
y
x
1 2
1 2
2 2
(
5)
16.4.
(
2)
x
x
y
x
1 2
3 2
2 3
1 17.1.
(
20) .
800
y
x
1 2
2 9
17.2.
2
x
y
x
1 2
3 2
9(2 1)
17.3.
(
2)
x
y
x
1 2
1 2
2
(
3)
17.4.
(
1)
x
x
y
x
1 2
1 3
2 1
18.1.
(
3 9
27).
4
y
x
x
x
1 2
2 3
2 7
10 18.2.
1
x
x
y
x
1 2
3 1
2 2
6 18.3.
1
x
y
x
1 2
3 3
2 18.4.
2(
2)
x
y
x
1 2 2
2 19.1.
(2
)(
1) .
y
x x
1 2 3
2 19.2.
4(
4)
x
y
x
1 2
3 2
2 4
19.3.
1
x
y
x
1 2
1 3
2 19.4.
3
x
y
x
1 2
3 3
1 20.1.
(3 9 ).
2
y
x
x
1 2
2
(
1)
20.2.
3
x
y
x
1 2
3 2
18 20.3.
(
1)
x
y
x
1 2
1 3
4 20.4.
1
x
y
x
1 2
3 2
1 21.1.
(
9
).
18
y
x
x
1 2 2 2
2 10 21.2.
2(
3)
x
x
y
x
1 1
2 3 3
2 6(
3)
21.3.
(
2)
x
y
x
1 1
2 1
5 2
2 2
21.4.
(
1)
x
y
x
1 2
2 2
1 22.1.
(
1)(
17).
8
y
x
x
1 2
2 2
(
2)
22.2.
4(
1)
x
y
x
1 2
3 2
27(
3)
22.3.
x
y
x
1 2
3 2
22.4.
3(
5)
x
y
x
1 2

96
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 2
1 23.1.
(
9) .
9
y
x
1 2 2
2 3
6 23.2.
1
x
x
y
x
1 1
2 1
2 2
9 23.3.
1
x
y
x
1 2
1 3
27 23.4.
(
1)
x
y
x
1 2
2 1
24.1.
(
4)(
2) .
8
y
x
x
1 2
3 2
4 24.2.
1
x
x
y
x
1 2
1 2
18 24.3.
(
1)
x
y
x
1 2
3 2
(
3)
24.4.
3(
1)
x
y
x
1 2
1 3
2 1
25.1.
(
6
).
8
y
x
x
1 2
2 2
5 25.2.
2(
1)
x
x
y
x
1 2
3 1 1
2 36(
2)
25.3.
x
y
x
1 2
3 3
2 2
25.4.
3(3
)
x
y
x
1 2
3 2
26.1.
3
y
x
x
1 2
2 8
26.2.
2(
1)
x
x
y
x
1 2 3
2 2
18(
1)
26.3.
x
y
x
1 2
3 2
26.4.
3(27
)
x
y
x
1 2
2 27.1.
(1
)(
2) .
y
x x
1 2 3
2
(
2)
27.2.
2(
1)
x
y
x
1 1 2
3 2
2 6
27.3.
(
4)
x
y
x
1 2
2 2
2
(
5)
27.4.
(
2)
x
x
y
x
1 1
2 1
2 1
28.1.
(
6)(
3) .
4
y
x
x
1 2
2 2
(
3)
28.2.
5(
2)
x
y
x
1 2
3 2
2 28.3.
16
x
y
x
1 2
2 2
(
5)
28.4.
(
1)
x
x
y
x
1 2
3 2
3 1
29.1.
(
5) .
16
y
x
1 2
2
(
2)
29.2.
1
x
y
x
1 2
1 2
29.3.
25
x
y
x
1 2
1 1 2 3
1 29.4.
8
x
y
x
3 4
3 1
30.1.
(
1) (
5).
4
y
x
x
1 2 2
2 2
4 30.2.
1
x
x
y
x
1 2
1 2
2 4(
9)
30.3.
16
x
y
x
1 1
2 1
3 2
30.4.
(
1)
x
y
x
1 2

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
97
Контрольная работа 4.
ПРЕДЕЛЫ
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
2 2
1 3
2 1
1.1. lim
4 1
x
x
x
x
x
1 2
2 3
3 2
2 2
2 3
2 1.2. lim
3 2
8
x
x
x
x
x
12 3
2 3
2 3
2 2
1 1.3. lim
2 5
x
x
x
x
x
12 3 4 4
3 2
2 3
2 2
1.4. lim
4
x
x
x
1 2 2 2
0 1.5. lim sin3
ctg2 .
x
x
x
1 2
1 2
4 1
3 1.6. lim 1 2
1
x
x
x
3 45 3
6 2
2 2
1 2.1. lim
2
x
x
x
x
x
1 2 2 3 3 2
2 2
3 1
2.2. lim
5
x
x
x
x
x
12 3
4 4 3 2
0 1 cos4 2.3. lim sin 3
x
x
x
1 2
2 2
1 3
5 2
2.4. lim
2 1
x
x
x
x
x
1 2
3 2 2 3
4 1 2.5. lim
3 2 3
x
x
x
12 3 2 2
2 1
2 2
1 2
2.6. lim 1 4
x
x
x
3 45 3
6 2
2 3
4 3
3.1. lim
2 5
1
x
x
x
x
x
1 2
3 2
3 3
3 2
2 3
1 3.2. lim
3 4
x
x
x
x
x
12 3
4 3
4 0
arcsin6 3.3. lim
2
x
x
x
1 2
2 2
10 3
8 3.4. lim
3 8
4
x
x
x
x
x
1 2
2 2
3 2
3.5. lim (
2 ).
x
x
x
x
123 4
2 1 2 3
4 2
3 3.6. lim
2 1
x
x
x
x
3 45 3
6 2
2 4
2 4.1. lim
5 4
x
x
x
x
x
1 2 2 2
3 2
2 1
2 3
4.2. lim
3 4
x
x
x
x
x
12 2 2 2
2 2
3 2
3 1
4.3. lim
2 3
x
x
x
x
x
12 3
4 4
3 0
sin2 4.4. lim tg3
x
x
x
1 2
2 6
2 4.5. lim
4
x
x
x
12 3 2 2
1 2 4
3 2
4.6. lim
3 5
x
x
x
x
3 45 6
6 2
2 5
25 5.1. lim
4 5
x
x
x
x
1 2
3 3
2 2
3 2
1 5.2. lim
3 4
x
x
x
x
x
12 3
4 4
4 0
arctg3 5.3. lim
2
x
x
x
1 2
2 3
7 12 5.4. lim
2 11 15
x
x
x
x
x
1 2
2 2
3
þ

98
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 5.5. lim ( 4 2 ).
x
x
x
x
123 2 4 1
2 2
2 5.6. lim 1 3
1
x
x
x
3 45 6
6 2
2 1
3 1
6.1. lim
2 3
5
x
x
x
x
x
12 3
3 2
2 2
3 2
3 6.2. lim
3 1
x
x
x
x
x
12 3 4 3
3 2
0 1 cos4 6.3. lim sin 3
x
x
x
x
1 2
3 2
2 3
3 8 3
6.4. lim
6
x
x
x
x
x
12 2
2 3 2 4
2 6.5. lim
2 1 3
x
x
x
1 2
3 2 1 2 3
2 2
1 6.6. lim
2 5
x
x
x
x
3 45 3
6 2
2 3
2 5
1 7.1. lim
2 3
x
x
x
x
x
12 3
3 3
2 2
3 3
4 1
7.2. lim
3 4
x
x
x
x
x
12 3
4 4
3 0
sin6 7.3. lim tg2
x
x
x
1 2
2 5
2 17 35 7.4. lim
20
x
x
x
x
x
1 2
3 2 2 0
9 3
7.5. lim
4 2
x
x
x
1 2 2 3 2 1 2 4
2 3
7.6. lim
2 1
x
x
x
x
3 45 3
6 2
2 2
2 8.1. lim
2 1
x
x
x
x
x
12 3 2 2 3 3
2 8
1 8.2. lim
3 4
x
x
x
x
x
12 3
4 3 4 0
sin5 8.3. lim sin3
x
x
x
1 2
2 1
2 1
8.4. lim
4 3
x
x
x
x
x
1 2 2 2
2 3
2 3
3 8.5. lim
2 1
x
x
x
1 2 3 3
2 1 2 2
4 3
1 8.6. lim
3 2
x
x
x
x
3 45 3
6 2
2 4
16 9.1. lim
5 2
x
x
x
x
12 2
3 2
2 2
2 9
2 10 9.2. lim
2
x
x
x
x
x
1 2
2 2 2 2
2 3
4 1
9.3. lim
2 3
x
x
x
x
x
12 3
4 4 3 2
0
tg 3 9.4. lim
1 cos4
x
x
x
1 2
2 2
0 9
3 9.5. lim
4 2
x
x
x
1 2 3 3
3 1
2 1 3 2
9.6. lim 1 3
1
x
x
x
3 45 3
3 2
2 2
3 10.1. lim
4
x
x
x
x
1 2 3 3
2 2
2 3 10.2. lim
2 1
x
x
x
x
x
12 3
3 4 3 0
3 10.3. lim sin2
x
x
x
1 2
3 1
3 2
1 10.4. lim
1
x
x
x
x
12 3
2 3
2 4
5 9
10.5. lim
2 1 3
x
x
x
1 2
3 3 2 1
2 1 6 2
10.6. lim 1 3
4
x
x
x
3 45 6
3

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ