Рекомендовано
 Скачать 6.62 Mb.
|
|
71 10.1. Найти угловой коэффициент прямой AB и отрезки, отсекаемые ею на осях координат, если A(3; 4), B(–2; 3). 10.2. Даны точки A(–4; 3), B(2; 3), C(1; 4). Составить уравнение перпен8 дикуляра, опущенного из точки C на прямую AB. 10.3. Прямая L пересекает ось OX в точке B, а ось OY — в точке C, и про8 ходит через точку A(1; 4). Найти уравнение L, если BA : AC = 2. 10.4. Найти расстояние от точки A(–3; 1) до прямой (L): 4x + 3y – 11 = 0. 10.5. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку пересечения прямых (L 1 ): 3x + 2y – 3 = 0, (L 2 ): x – 3y + 7 = 0 параллельно прямой (L 3 ): x – y + 2 = 0. 11.1. Множество прямых задано уравнением x + 2y + 7 + l(3x – y + 5) = 0. Составить уравнение прямой L, принадлежащей этому множеству прямых и проходящей параллельно прямой (L 1 ): 7x + 2y – 8 = 0. 11.2. Прямая L проходит через точку A(–3; 2) и середину отрезка BC. Най8 ти отрезки, которые прямая L отсекает на осях координат, если B(2; 4), C (5; 3). 11.3. Точка M симметрична точке K(–4; 5) относительно прямой (L): 2x – – 3y + 6 = 0. Какая точка находится ближе к прямой L — начало координат или точка M? 11.4. Даны точки A(3; –2), B(–4; –2), C(2; 3). Составить уравнение пер8 пендикуляра L, опущенного из точки B на прямую AC. В каком отношении прямая L делит отрезок AC? 11.5. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку A(1; –3) под углом 45 ° к оси OX. Проходит ли прямая L через точку B(10; 6)? 12.1. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку пересече8 ния прямых (L 1 ): 3x + y – 2 = 0, (L 2 ): x + 2y + 1 = 0 параллельно прямой (L 3 ): x – 2y + 2 = 0. 12.2. Множество прямых задано уравнением 3x + y – 2 + l(x + 2y + 1) = 0. Составить уравнение прямой L, принадлежащей этому множеству прямых и проходящей через точку D, расположенную внутри отрезка MN, если M(1; –2), N (5; 2), MD : DN = 3. 12.3. Даны точки A(3; –4), B(2; 3), C(–2; 4). Составить уравнение пря8 мой L, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BC. 12.4. На оси OX прямая L отсекает отрезок a = 3, на оси OY прямая L отсекает отрезок b = –4. Найти расстояние от точки A(–7; 2) до прямой L. 12.5. Составить уравнение прямой L, проходящей через середину отрез8 ка AB под углом 30 ° к оси OX, если A(–3; 4), B(2; 5). 13.1. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку пересечения прямых (L 1 ): 2x – y = 0, (L 2 ): x + y – 1 = 0 и точку M(–3; 5). Будет ли прямая L параллельна прямой (L 3 ): x + 2y – 6 = 0? 13.2. Множество прямых задано уравнением 3x – y + 5 + l(x + 2y + 7) = 0. Найти уравнение прямой L, принадлежащей этому множеству, и проходя8 щей перпендикулярно прямой (L 1 ): 4x – y + 3 = 0. 72 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ 13.3. Даны точки A(1; 2), B(2; 7) и точка M внутри отрезка AB такая, что AM : MB = 3. Составить уравнение прямой L, проходящей через точки M и H (–2; 6). 13.4. Составить уравнение прямой L, проходящей через точку A(3; 5) под углом 60 ° к оси OX. 13.5. Доказать, что точки A(0; 2), B(2; 1), C(4; 0) лежат на одной прямой L. Найти отрезки, отсекаемые прямой L на осях координат. 14.1. В каком отношении делит отрезок AB прямая L, перпендикуляр> ная отрезку AB и проходящая через начало координат, если A(4; 1), B(2; 5)? 14.2. Лежит ли точка пересечения прямых (L 1 ): 2x – y + 1 = 0, (L 2 ): x + 3y + 2 = 0 на прямой (L 3 ): 3x – 2y + 1 = 0? 14.3. Прямая L проходит через точку M(2; 1) параллельно прямой (L 1 ): 2x – y + 3 = 0. Найти отрезки, отсекаемые прямой L на осях координат. 14.4. Прямая L проходит через точку M(4; 2) под углом 45 ° к оси OX. Найти расстояние от точки K(2; –1) до прямой L. 14.5. Через точки M(–1; 3), P(2; 2) проведена прямая L. Найти угол меж> ду прямой L и прямой (L 1 ): 3x + 3y – 2 = 0. 15.1. Даны вершины треугольника A(–3; 2), B(4; 3), C(2; –1). Найти дли> ну высоты этого треугольника, опущенной из B на сторону AC. 15.2. Составить уравнение прямой L, проходящей через точку M(6; –2) параллельно прямой (L 1 ): y = 8x + 1. 15.3. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку пересече> ния прямых (L 1 ): x + 2y – 5 = 0 и (L 2 ): 2x – y = 0 перпендикулярно прямой (L 3 ): x + 3y – 2 = 0. 15.4. Найти уравнение прямой L, проходящей через точку M и точку C (–1; 2), если точка M расположена внутри отрезка AB, AM : MB = 2, A(2; –1), B (5; 2). 15.5. На оси OX прямая L отсекает отрезок a = 3, на оси OY прямая L отсе> кает отрезок b = 4. Найти угол между прямой L и прямой (L 1 ): x – 3y + 1 = 0. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ч исло a называется пределом последовательности x 1 , x 2 , ..., x n , ..., если для всякого сколь угодно малого положительного числа e найдется такое положительное число N, что |x n – a| < e при всех n > N. В этом случае пишут lim n ®¥ xn = a. Число A называется пределом функции f(x) при x ® a, обозначается lim x ®a f (x) = A, если для любого сколь угодно малого e > 0 найдется такое d > 0, что |f(x) – A| < e при всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0 < |x – a| < d. Условно записывают lim x ®a f (x) = ¥, если для любого сколь угодно боль" шого числа M найдется такое число d > 0, что для всех x таких, что 0 < |x – – a| < d выполняется |f(x)| > M. В этом случае функция f(x) называется бес" конечно большой при x ® a. Если lim x ®a f (x) = 0, то функция f(x) называется бесконечно малой при x ® a. Если x < a и x ® a, то употребляют запись x ® a – 0, если x > a и x ® a — запись x ® a + 0. Числа f(a – 0) = lim x ®a–0 f (x) и f(a + 0) = lim x ®a+0 f (x) назы" ваются соответственно левым и правым пределом функции f(x) в точке a. Для существования предела функции f(x) при x ® a необходимо и доста" точно, чтобы левый и правый пределы функции f(x) в точке a существовали и были равны, т. е. f(a – 0) = f(a + 0). Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоре" мах. Если существуют lim x ®a f (x) и lim x ®a g (x), то 1) lim x ®a (f(x) ± g(x)) = lim x ®a f (x) ± lim x ®a g (x); 2) lim x ®a (f(x) × g(x)) = lim x ®a f (x) × lim x ®a g (x); 3) lim ( ) ( ) lim , ( ) lim ( ) x a x a x a f x f x g x g x 1 1 1 2 если lim x ®a g (x) ¹ 0. Используются также следующие пределы: 0 sin lim 1 x x x 1 2 (первый замечательный предел); 74 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ 1 2 1 lim 1 2,71828 x x e x 34 5 6 6 7 (второй замечательный предел). При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства: 0 0 0 ln(1 ) (1 ) 1 1 lim 1, lim ln , lim m x x x x x x a a m x x x 1 1 1 2 2 3 3 4 4 4 Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если: 1) f(x) определена в некоторой окрестности точки a; 2) существует предел lim x ®a f (x) и он равен значению функции в этой точ= ке, т. е. lim x ®a f (x) = f(a). Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она называется непрерывной в этой области. Точка a, принадлежащая области определения функции или являющая= ся граничной для этой области, называется точкой разрыва, если в этой точ= ке нарушается условие непрерывности функции. Если существуют конечные пределы lim x ®a–0 f (x) = f(a – 0) и lim x ®a+0 f (x) = = f(a + 0), причем не все три числа f(a), f(a – 0), f(a + 0) равны между собой, то a называется точкой разрыва первого рода. Точки разрыва, не являю= щиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва вто рого рода . В этих точках не существует хотя бы один из односторонних пре= делов. Если функции f(x) и g(x) непрерывны при значении x = x 0 , то функции 1) f(x) ± g(x); 2) f(x) × g(x); 3) 1 0 ( ) , ( ) 0 ( ) f x g x g x также непрерывны при x = x 0 Если функция f(x) непрерывна при x = x 0 и функция g(y) непрерывна при y 0 = f(x 0 ), то функция g(f(x)) непрерывна при x = x 0 Основные элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены. Пусть x 1 и x 2 — значения аргумента, а y 1 = f(x 1 ) и y 2 = f(x 2 ) — соответст= вующие значения функции y = f(x). Разность Dx = x 2 – x 1 называется прира щением аргумента , а разность Dy = f(x 2 ) – f(x 1 ) — приращением функциина отрезке [x 1 , x 2 ]. Производной от функции y = f(x) по аргументу x называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю: 0 lim x dy y y dx x 1 2 1 3 4 4 1 Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке x, т. е. y ¢ = tg a. Основные правила нахождения производной. Пусть C — постоянная, u = u(x), v = v(x) — функции, имеющие производные, тогда: 1) C ¢ = 0; 2) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢; 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 75 3) (Cu) ¢ = Cu¢; 4) (u × v)¢ = u¢ × v + u × v¢; 5) 1 2 2 ; u u v uv v v 3 3 3 4 5 6) если функции y = y(u) и u = u(x) имеют производные, то dy dy du dx du dx 1 2 (правило дифференцирования сложной функции). Формулы дифференцирования основных функций: 1) (x n ) ¢ = nx n –1 , n = const; 2) (sin x) ¢ = cos x; 3) (cos x) ¢ = –sin x; 4) 2 1 (tg ) ; cos x x 1 2 5) 2 1 (ctg ) ; sin x x 1 2 3 6) 2 1 (arcsin ) ; 1 x x 1 2 3 7) 2 1 (arccos ) ; 1 x x 1 2 3 3 8) 2 1 (arctg ) ; 1 x x 1 2 3 9) 2 1 (arcctg ) ; 1 x x 1 2 3 4 10) (a x ) ¢ = a x × ln a, a > 0; 11) 1 (log ) , ln a x x a 1 2 a > 0; 12) 1 (ln ) ; x x 1 2 13) 1 2 (sh ) ch ; 2 x x e e x x 3 4 3 4 5 5 14) 1 2 (ch ) sh ; 2 x x e e x x 3 4 5 4 6 6 15) 1 2 2 sh 1 (th ) ; ch ch x x x x 3 3 4 4 16) 1 2 2 ch 1 (cth ) sh sh x x x x 3 3 4 4 5 Если функция y от аргумента x задана в виде уравнения F(x, y) = 0, не разрешенного относительно переменной y, то говорят, что функция y задана неявно . Чтобы найти производную от неявно заданной функции y, надо про< дифференцировать обе части уравнения F(x, y) = 0, считая y функцией от x, и из полученного уравнения найти производную y ¢. Если функция y от аргумента x задана с помощью системы уравнений ( ), ( ), x t y t 1 2 3 4 1 5 6 то говорят, что функция y задана параметрически. Переменная t в этом слу< чае называется параметром. Если функции j(t) и y(t) дифференцируемы и j¢(t) ¹ 0, то существует производная функции y по переменной x и эта произ< водная равна ( ) ( ) t t y dy t dx x t 1 1 2 3 3 1 1 4 76 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ Чтобы найти производную функции y = u v , где u = u(x), v = v(x) — диф- ференцируемые функции, применяют следующее: 1) находят ln y = v ln u; 2) вычисляют производную функции y как неявно заданную уравнением ln y = v ln u. Производной n-го порядка функции y = f(x) называется производная от производной (n – 1)-го порядка данной функции, т. е. y (n) = (y (n–1) ) ¢. ИДЗ 9. ПРЕДЕЛЫ Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя. 2 1 2 2 1.1. lim 1 x x x 1 2 2 1 2 9 0 3 1.2. lim 3 x x x 3 4 5 3 1 6 6 1.3. lim 1 x x x 1 2 2 3 2 125 25 1.4. lim (5 3)(5 2 1) x x x x x x 123 4 2 4 2 4 0 cos3 tg5 1.5. lim sin(3,5 ) x x x x 1 2 2 3 2 2 7 1.6. lim 2 x x x x x x 123 2 4 5 6 7 2 8 9 3 2 8 ( 5)(8 ) 2.1. lim 3 x x x x x x 123 4 2 2 4 3 2 1 3 2.2. lim 2 ( 2) x x x 1 2 3 4 5 6 4 4 7 8 0 2cos8 arcsin4 2.3. lim x x x x 1 2 1 2 5 2.4. lim 1 x x x x 3 456 3 5 2 1 2 1 2.5. lim 5( 1) x x x x 1 2 3 2 4 1 0 2 5 2.6. lim 1 20 x x x x 1 2 3 4 5 6 2 7 8 0 3.1. lim ctg2 arctg6 . x x x 1 2 6 3 8 3.2. lim (2 )(20 ) x x x x 12 3 4 4 2 2 1 3( 1) 3.3. lim 2 x x x x 1 2 3 2 1 2 3 1 2 5 3.4. lim 25 x x x x 3 456 5 5 1 2 1 4ln 3.5. lim 2 sin x x x x 345 4 2 sin( ) 3.6. lim ctg x x x 1 2 3 2 8 5 2 2 4 5 6 4.1. lim ( 3)(2 2) x x x x x 12 3 3 3 4 0 2 4.2. lim 9 9 x x x x 1 2 3 3 1 2 5 4.3. lim x x x x 3 456 3 2 2 3 2 4.4. lim 2 x x x x 1 2 3 2 2 2 3 3 3 3 4.5. lim 2 5 x x x x x 1 213 1 4 5 6 7 1 8 9 2 0 sin 6 ctg9 4.6. lim tg7 cos5 x x x x x 1 2 2 þ |