Рекомендовано

• Название: Рекомендовано
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 6.62 Mb.
• Имя файла: Matematika_dlya_ekonomistov_Sbornik_zadaniy_by_Nalivayko_L_V_Iva.pdf
• Тип: Учебное пособие; #577094
• страница: 10 из 62

Рис. 3.3
Парабола
Рис. 3.2
Гипербола

58
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Эксцентриситет параболы e равен 1.
Директрисы, фокусы и точки эллипса, гиперболы и параболы обладают одним замечательным свойством: отношение расстояния от любой точки M
кривой до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей выбранно5
му фокусу директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету кривой.
Преобразование координат. При переходе от системы координат Oxy к новой системе O
1
x
¢y¢ (направление осей координат прежнее, за новое начало координат принята точка O
1
(a; b)) связь между старыми и новыми координа5
тами некоторой точки M плоскости определяется следующими формулами:
,
,
или
x
x
a
x
x
a
y
y
b
y
y
b
1 1
2 3 2 4 5
5 6
6 1
1 2 3 2 4 7
7
При повороте осей координат на угол a (начало координат прежнее, а угол a отсчитывается против хода часовой стрелки) зависимость между ста5
рыми координатами x, y и новыми x
¢, y¢ определяется следующими форму5
лами:
cos sin ,
sin cos
x
x
y
y
x
y
1 1
2 3 4 3
5 6
1 1
2 3 7 3
8
или cos sin ,
sin cos .
x
x
y
y
x
y
1 2 3 4 3
5 6 1 2 7 3 4 3
8
ИДЗ 7.
УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ
1. Известны координаты вершин треугольника ABC. Найти:
1) уравнения всех сторон в общем виде;
2) уравнения всех высот в общем виде (AN
1
, BN
2
, CN
3
);
3) уравнения всех медиан в общем виде (AM
1
, BM
2
, CM
3
);
4) tg A;
5) уравнения прямых AE и AE
1
, проходящих под углом 45° к AC;
6) точку B
1
, симметричную точке B относительно AC;
7) расстояние от точки C до прямой AB;
8) уравнение прямой CC
1
, проходящей параллельно AB;
9) уравнение прямой CS, если точка S такая, что
2;
BS
SA
1 10) длину стороны AB;
11) длину медианы AM
1
;
12) длину высоты AN
1
;
13) площадь треугольника ABC.
þ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
59
1. A(–7; –2); B(3; –8); C(–4; 6).
2. A(–3; –2); B(14; 4); C(6; 8).
3. A(1; 0); B(–1; 4); C(9; 5).
4. A(1; 7); B(–3; –1); C(11; –3).
5. A(1; –2); B(7; 1); C(3; 7).
6. A(–2; –3); B(1; 6); C(6; 1).
7. A(–4; –2); B(–6; 6); C(6; 2).
8. A(4; –3); B(7; 3); C(1; 10).
9. A(4; –4); B(8; 2); C(3; 8).
10. A(–3; –3); B(5; –7); C(7; 7).
11. A(1; –6); B(3; 4); C(–3; 2).
12. A(–4; –2); B(2; 6); C(8; –6).
13. A(–3; 2); B(2; –4); C(7; 7).
14. A(4; –4); B(6; 2); C(–1; 8).
15. A(–3; 8); B(–6; 2); C(0; –5).
16. A(6; –9); B(10; –1); C(–4; 1).
17. A(4; 1); B(–3; –1); C(7; –3).
18. A(–4; 2); B(6; –4); C(4; 10).
19. A(3; –1); B(11; 3); C(–6; 2).
20. A(–7; –2); B(–1; 4); C(5; –5).
21. A(–1; –4); B(9; 6); C(–5; 4).
22. A(–3; 10); B(0; –1); C(12; 5).
23. A(–3; –1); B(–4; –5); C(8; 1).
24. A(–2; –6); B(–3; 5); C(4; 0).
25. A(–2; 4); B(3; 1); C(10; 7).
26. A(0; 2); B(–7; –4); C(3; –2).
27. A(–6; 4); B(8; 4); C(–2; 10).
28. A(–4; 1); B(6; –9); C(4; 5).
29. A(–5; 1); B(8; –2); C(1; 4).
30. A(4; 3); B(–3; –3); C(2; 7).
2. Известны координаты вершин треугольника ABC. Найти уравнение биссектрисы BP угла B.
1. A(–5; 1); B(–1; –2); C(4; 10).
2. A(10; 2); B(–6; –10); C(1; 14).
3. A(–8; 3); B(4; –2); C(7; 2).
4. A(4; 0); B(0; –3); C(–5; 9).
5. A(5; –2); B(1; –5); C(–4; 7).
6. A(–8; 6); B(4; 1); C(7; 5).
7. A(9; 1); B(–7; –11); C(0; 13).
8. A(–7; 3); B(5; –2); C(8; 2).
9. A(2; 0); B(–2; –3); C(–7; 9).
10. A(8; 6); B(–4; 1); C(–7; 5).
11. A(9; –1); B(–7; 11); C(0; –13).
12. A(–8; 2); B(–5; –2); C(7; 3).
13. A(–4; –7); B(1; 5); C(5; 2).
14. A(3; –2); B(–7; 8); C(–5; –6).
15. A(6; –2); B(2; –5); C(–3; 7).
16. A(3; 1); B(–1; –2); C(–6; 10).
17. A(–7; 5); B(5; 0); C(8; 4).
18. A(7; –1); B(3; –4); C(–2; 8).
19. A(–8; 6); B(4; 1); C(7; 5).
20. A(6; –1); B(2; –4); C(–3; 8).
21. A(–5; 2); B(7; –3); C(10; 1).
22. A(7; 4); B(3; 7); C(–2; –5).
23. A(–8; 7); B(4; 2); C(7; 6).
24. A(–3; 3); B(1; 6); C(6; –6).
25. A(6; 5); B(–6; 0); C(–9; 4).
26. A(–6; –3); B(6; –8); C(9; –4).
27. A(13; 5); B(–11; –2); C(–15; 1). 28. A(4; –1); B(–12; –13); C(–5; 11).
29. A(14; 0); B(–2; –12); C(5; 12).
30. A(9; –2); B(–7; –14); C(0; 10).
ИДЗ 8.
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1. Построить кривые, найти: 1) величину полуосей; 2) координаты вер- шин; 3) координаты фокусов F
1
, F
2
; 4) эксцентриситет e; 5) уравнения асимптот (для гиперболы).
1. а)
2 2
1;
49 25
y
x 1 2
б) 9x
2
– 4y
2
– 36 = 0.
2. а) 25x
2
+ 16y
2
– 400 = 0; б)
2 2
1.
4
x
y
1 2
þ
þ

60
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
3. а)
2 2
1;
36 16
y
x 1 2
б) 4x
2
– 16y
2
+ 64 = 0.
4. а)
2 2
1;
16 49
y
x 1 2
б) 16x
2
– 9y
2
– 144 = 0.
5. а)
2 2
1;
16 64
y
x 1 2
б) 25x
2
– 4y
2
+ 100 = 0.
6. а) 25x
2
+ 64y
2
= 1600; б)
2 2
1.
49 36
y
x 1 2
7. а)
2 2
1;
36 25
y
x 1 2
б) 25x
2
– 16y
2
+ 400 = 0.
8. а)
2 2
1;
64 16
y
x 1 2
б) 16x
2
– 49y
2
+ 784 = 0.
9. а) 9x
2
+ 36y
2
– 324 = 0; б)
2 2
1.
49 25
y
x
1 2
3 10. а) 9x
2
+ 25y
2
– 225 = 0; б)
2 2
1.
49 81
y
x 1 2
11. а) 9x
2
+ 4y
2
= 36; б)
2 2
1.
9 36
y
x
1 2
3 12. а) x
2
+ 4y
2
= 4; б)
2 2
1.
16 36
y
x
1 2
3 13. а)
2 2
1;
16 4
y
x 1 2
б) 16x
2
– 36y
2
+ 576 = 0.
14. а) 9x
2
+ 49y
2
– 441 = 0; б)
2 2
1.
16 49
y
x 1 2
15. а) 9x
2
+ 16y
2
= 144; б)
2 2
1.
36 9
y
x 1 2
16. а)
2 2
1;
25 4
y
x 1 2
б) x
2
– y
2
+ 25 = 0.
17. а) 36x
2
+ 25y
2
= 900; б)
2 2
1.
16 9
y
x 1 2
18. а) 36x
2
+ 9y
2
– 324 = 0; б)
2 2
1.
4
y
x
1 2
19. а) 16x
2
+ 25y
2
= 400; б)
2 2
1.
9 25
y
x
1 2
3 20. а)
2 2
1;
49 16
y
x 1 2
б) 9x
2
– 25y
2
+ 225 = 0.

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
61
21. а)
2 2
1;
25 49
y
x 1 2
б) x
2
– y
2
+ 9 = 0.
22. а)
2 2
1;
9
x
y
1 2
б) x
2
– y
2
– 16 = 0.
23. а) 49x
2
+ 9y
2
– 441 = 0; б)
2 2
1.
4 16
y
x 1 2
24. а) 16x
2
+ 9y
2
– 144 = 0; б)
2 2
1.
36 49
y
x 1 2
25. а)
2 2
1;
9 25
y
x 1 2
б) 25x
2
– 36y
2
+ 900 = 0.
26. а) 36x
2
+ 16y
2
– 576 = 0; б)
2 2
1.
25 49
y
x
1 2
3 27. а)
2 2
1;
25 64
y
x 1 2
б) 9x
2
– y
2
+ 9 = 0.
28. а)
2 2
1;
49 36
y
x 1 2
б) 36x
2
– 25y
2
– 900 = 0.
29. а)
2 2
1;
25 81
y
x 1 2
б) 4x
2
– 9y
2
– 36 = 0.
30. а) 4x
2
+ 36y
2
– 144 = 0; б)
2 2
1.
64 25
y
x
1 2
3
2. Для параболы (пункт а) найти: 1) координаты фокуса F; 2) уравне'
ние директрисы D. Для окружности (пункт б) найти: 1) координаты цен'
тра; 2) радиус R. Построить кривые.
1. а) x
2
= –18y; б) (x + 1)
2
+ (y – 2)
2
= 16.
2. а) y
2
= 18x; б) (x – 2)
2
+ (y + 1)
2
= 9.
3. а) y
2
= –16x; б) (x + 2)
2
+ (y – 3)
2
= 25.
4. а) x
2
= 16y; б) (x – 3)
2
+ (y + 2)
2
= 36.
5. а) y
2
= –5x; б) (x – 1)
2
+ (y + 2)
2
= 4.
6. а) x
2
= –9y; б) (x + 2)
2
+ (y – 1)
2
= 9.
7. а) y
2
= 5x; б) (x + 3)
2
+ (y – 2)
2
= 25.
8. а) x
2
= 9y; б) (x – 4)
2
+ (y – 2)
2
= 4.
9. а) y
2
= 4x; б) (x + 2)
2
+ (y + 4)
2
= 36.
10. а) x
2
= –4y; б) (x + 4)
2
+ (y + 2)
2
= 16.
11. а) y
2
= 16x; б) (x + 1)
2
+ (y – 3)
2
= 36.
12. а) x
2
= –16y; б) (x – 3)
2
+ (y + 1)
2
= 4.
13. а) y
2
= 8x; б) (x – 2)
2
+ (y + 3)
2
= 25.
14. а) x
2
= 5y; б) (x + 3)
2
+ (y + 2)
2
= 16.
15. а) x
2
= –12y; б) (x – 1)
2
+ (y + 3)
2
= 9.
16. а) y
2
= –18x; б) (x + 4)
2
+ (y – 3)
2
= 25.
17. а) y
2
= –9x; б) (x – 4)
2
+ (y + 1)
2
= 36.
þ

62
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
18. а) x
2
= 18y; б) (x – 1)
2
+ (y – 4)
2
= 4.
19. а) x
2
= 4y; б) (x – 3)
2
+ (y – 2)
2
= 16.
20. а) x
2
= –8y; б) (x + 3)
2
+ (y – 1)
2
= 9.
21. а) y
2
= 12x; б) (x – 2)
2
+ (y + 2)
2
= 36.
22. а) x
2
= 8y; б) (x + 2)
2
+ (y + 1)
2
= 4.
23. а) y
2
= –12x; б) (x + 4)
2
+ (y – 1)
2
= 9.
24. а) x
2
= 6y; б) (x – 4)
2
+ (y + 3)
2
= 16.
25. а) y
2
= 6x; б) (x + 1)
2
+ (y + 4)
2
= 25.
26. а) x
2
= –6y; б) (x – 1)
2
+ (y – 2)
2
= 36.
27. а) y
2
= –8x; б) (x – 2)
2
+ (y – 3)
2
= 16.
28. а) x
2
= 12y; б) (x – 3)
2
+ (y + 3)
2
= 9.
29. а) y
2
= –4x; б) (x + 3)
2
+ (y + 1)
2
= 4.
30. а) x
2
= –5y; б) (x – 4)
2
+ (y – 1)
2
= 25.
3. Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) па,
раболы (A, B — точки, лежащие на кривой, F — фокус, a — большая (дей,
ствительная) полуось, b — малая (мнимая) полуось, e — эксцентриситет,
y
=
±kx — уравнения асимптот гиперболы, D — директриса параболы, 2c —
фокусное расстояние).
1. а) b = 15, F(–10; 0); б) a = 13,
14
;
13 1 2
в) D: x = –4.
2. а) b = 2, (4 2; 0);
F
б) a = 7,
85
;
7 1 2
в) D: x = 5.
3. а) A(3; 0),
5 2;
;
3
B
1 2
3 4
5 6
б) B(0; –3);
5
;
4 1 2
в) D: y = –2.
4. а)
21
,
5 1 2
A(–5; 0); б)
( 80;3),
(4 6;3 2);
A
B
в) D: y = 1.
5. а) a = 11,
57
;
11 1 2
б)
2
,
5 13;
3
k
c
1 1
в) ось симметрии Ox и A(27; 9).
6. а)
10 15,
;
5
b
1 2 1
б)
3
,
4
k
1 2a = 16; в) ось симметрии Ox и A(4; –8).
7. а) a = 4, F(3; 0); б)
2 10,
b
1
F(–11, 0); в) D: x = –2.
8. а) b = 4, F(9; 0); б) a = 5,
7
;
5 1 2
в) D: x = 6.
9. а)
14
(0; 3),
;1 ;
3
A
B
1 2
3 4
5 6
б)
21
,
( 11; 0);
10
k
F
1 2
в) D: y = –4.
10. а)
7
,
8 1 2
A(8; 0); б)
3 5 3;
, (6; 6 2);
2
A
B
1 2
3 3
4 5
6 7
в) D: y = 4.
11. а) a = 12,
22
;
6 1 2
б)
2
,
3
k
1
c = 5; в) ось симметрии Ox и A(–7; –7).
þ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
63
12. а) b = 2,
5
;
29 1 2
б)
12
,
13
k
1
a = 13; в) ось симметрии Ox и A(–5; 15).
13. а) a = 6, F(–4; 0); б) a = 3, F(7; 0); в) D: x = –7.
14. а) b = 7, F(5; 0); б) a = 11,
12
;
11 1 2
в) D: x = 10.
15. а)
17 1 21 1
;
,
;
;
3 3
2 2
A
B
1 2
1 2
3 4
5 4
5 6
7 6
7
б)
5
,
2 1 2
b = 1; в) D: y = –1.
16. а)
3
,
5 1 2
A(0; 8); б)
( 6; 0), ( 2 2;1);
A
B
1
в) D: y = 9.
17. а) a = 11,
10
;
11 1 2
б)
11
,
5
k
1
c = 6; в) ось симметрии Ox и A(–9; 6).
18. а) b = 5,
12
;
13 1 2
б)
1
,
3
k
1 2a = 6; в) ось симметрии Oy и A(–6; 9).
19. а) a = 9, F(7; 0); б) b = 6, F(12; 0); в)
1
:
4
D x
1 2 20. а) b = 5, F(–10; 0); б) a = 9,
4
;
3 1 2
в) D: x = 12.
21. а) A(0; –2),
15
;1 ;
2
B
1 2
3 4
5 6
б)
2 10
,
9
k
1
F(11; 0); в) D: y = 5.
22. а) A(–6; 0),
2
;
3 1 2
б)
3
( 8; 0),
20;
;
2
A
B
1 2
3 4
5 6
в) D: y = 1.
23. а) 2a = 50,
3
;
5 1 2
б)
29
,
14
k
1
c = 15; в) ось симметрии Oy и A(4; 1).
24. а)
7 2 15,
;
8
b
1 2 1
б)
5
,
6
k
1
a = 6; в) ось симметрии Oy и A(–2; 1).
25. а) a = 13, F(–5; 0); б) b = 4, F(–7; 0); в)
3
:
2
D x
1 2 26. а) b = 7; F(13; 0); б) b = 4, F(–11; 0); в) D: x = 13.
27. а) A(–3; 0),
40 1;
;
3
B
1 2
3 4
5 6
б) 2a = 6,
11
;
3 1 2
в) F(–4; 0).
28. а)
5
,
(0;
11);
6
A
1 2 3
б)
32
;1 , ( 8; 0);
3
A
B
1 2
3 4
5 6
в) F(0; 4).
29. а) a = 15,
9
;
15 1 2
б)
17
,
8
k
1
c = 9; в) ось симметрии Oy и A(–12; –9).
30. а)
7 4 2,
;
9
b
1 2 1
б)
2
,
2
k
1
a = 6; в) ось симметрии Ox и A(–45; 15).

64
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
4. Найти уравнение окружности, проходящей через указанные точки.
1. Вершины гиперболы 12x
2
– 13y
2
= 156, с центром в точке A(0; –2).
2. Вершины гиперболы 4x
2
– 9y
2
= 36, с центром в точке A(0; 4).
3. Фокусы гиперболы 24x
2
– 25y
2
= 600, с центром в точке A(0; –8).
4. Начало координат, с центром в вершине параболы y
2
= 3(x – 4).
5. Фокусы эллипса 9x
2
+ 25y
2
= 225, с центром в точке A(0; 6).
6. Левый фокус гиперболы 3x
2
– 4y
2
= 12, с центром в точке A(0; –3).
7. Фокусы эллипса 4x
2
+ 5y
2
= 20, с центром в его верхней вершине.
8. Вершины гиперболы x
2
– 16y
2
= 64, с центром в точке A(0; –2).
9. Фокусы гиперболы 4x
2
– 5y
2
= 80, с центром в точке A(0; –4).
10. Начало координат, с центром в вершине параболы
1 2 3 2
5 2
x
y
11. Правый фокус эллипса
2 2
1,
49 33
y
x 1 2
с центром в точке A(1; 7).
12. Левый фокус гиперболы 3x
2
– 5y
2
= 30, с центром в точке A(0; 6).
13. Фокусы эллипса
2 2
1,
41 16
y
x 1 2 с центром в его нижней вершине.
14. Вершины гиперболы 2x
2
– 9y
2
= 18, с центром в точке A(0; 4).
15. Фокусы гиперболы 5x
2
– 11y
2
= 55, с центром в точке A(0; 5).
16. Точку B(1; 4), с центром в вершине параболы
1 2
2 4
3
x
y
17. Левый фокус эллипса 3x
2
+ 7y
2
= 21, с центром в точке A(–1; –3).
18. Левую вершину гиперболы
2 2
1,
9 5
y
x 1 2 с центром в точке A(0; –6).
19. Фокусы эллипса
2 2
1,
25 16
y
x 1 2
с центром в его верхней вершине.
20. Правую вершину гиперболы
2 2
1,
16 3
y
x 1 2
с центром в точке A(1; 3).
21. Левый фокус гиперболы
2 2
1,
9 7
y
x 1 2 с центром в точке A(–1; –2).
22. Точку B(2; –5), с центром в вершине параболы x
2
= –2(y + 1).
23. Правый фокус эллипса x
2
+ 4y
2
= 12, с центром в точке A(2; –7).
24. Правую вершину гиперболы
2 2
1,
81 40
y
x 1 2
с центром в точке A(–2; 5).
25. Фокусы эллипса x
2
+ 10y
2
= 90, с центром в его нижней вершине.
26. Правую вершину гиперболы 3x
2
– 25y
2
= 75, с центром в точке A(–5; –2).
27. Фокусы гиперболы 4x
2
– 5y
2
= 20, с центром в точке A(0; –6).
28. Точку B(3; 4), с центром в вершине параболы
1 2
2 7
4
x
y
þ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ