Рекомендовано

• Название: Рекомендовано
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 6.62 Mb.
• Имя файла: Matematika_dlya_ekonomistov_Sbornik_zadaniy_by_Nalivayko_L_V_Iva.pdf
• Тип: Учебное пособие; #577094
• страница: 4 из 62

2.
ЭЛЕМЕНТЫ
ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Е
сли в пространстве задана прямоугольная декартовая система координат
Oxyz
, то точка M пространства, имеющая координаты x (абсцисса), y (ордината)
и z (аппликата), обозначается M(x, y, z).
Вектором
AB
11112
называется направленный отрезок прямой, т. е. множест
во точек прямой, заключенных между точками A и B с указанием направле
ния, а именно с началом в точке A и концом в точке B.
Два вектора называются равными, если они параллельны, одинаково на
правлены и имеют одинаковую длину. Длиной или модулем вектора называ
ется расстояние между его началом и концом. Длина обозначается
|
| и | |
AB
a
11112 2
для векторов и
AB
a
11112 2
соответственно.
Вектор
,
a
1
заданный в координатном пространстве Oxyz, может быть пред
ставлен в виде
,
x
y
z
a
a i
a j
a k
1 2
2 1
1 1
1
где a
x
, a
y
, a
z
— проекции вектора a
1
на соответствующие оси координат (их называют координатами вектора
),
a
1
, ,
i j k
1 1
1
— орты этих осей (единичные вектора, направление каждого из которых совпадает с положительным на
правлением соответствующей оси).
Такое представление вектора a
1
называется его разложением по осям
координат
или разложением по ортам и записывается следующим об
разом:
(
,
,
).
x
y
z
a
a
a
a
1 1
Тогда длина вектора a
1
определяется по формуле
2 2
2
| |
x
y
z
a
a
a
a
1 2
2 1
Если заданы координаты точек A(x
1
, y
1
, z
1
) и B(x
2
, y
2
, z
2
), то
2 1
2 1
2 1
(
,
,
).
AB
x
x y
y z
z
1 2
2 2
11112
Направление вектора a
1
определяется углами a, b , g , образованными им с осями координат Ox, Oy и Oz. Косинусы этих углов (так называемые на
правляющие косинусы
вектора) определяются по формулам

2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
29
2 2
2
cos
, cos
, cos
| |
| |
| |
y
x
x
z
x
y
z
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1 2 2
3 2 4 2 5
5 1
1 1
Суммой
векторов и
a
b
1 1
называется такой вектор
,
c
1
обозначается
,
c
a
b
1 2 1
1 1
начало которого совпадает с началом вектора
,
a
1
а конец — с концом векто(
ра
,
b
1
при условии, что начало вектора
b
1
приложено к концу вектора
a
1
Разностью
векторов и
a
b
1 1
называется вектор
,
c
1
обозначается
,
c
a
b
1 2 1
1 1
для которого
c
b
a
1 2 1
1 1
Произведением
вектора a
1
на число k называется вектор
,
c
1
обозначается
,
c
k a
1 2 1
1
параллельный вектору
,
a
1
направленный как вектор
,
a
1
если k > 0, и противоположно, если k < 0, и имеющий длину
| | | |.
k
a
1 1
Если k = 0, то по определению
0
k a
1 2 1
1
для любого вектора
a
1
Если вектора и
a
b
1 1
заданы в координатной форме
1 1
1 2
2 2
(
,
,
),
(
,
,
),
a
x y z
b
x
y
z
1 1
1 1
то
1 2
1 2
1 2
(
,
,
),
a
b
x
x
y
y
z
z
1 2 1
1 1
1 1
1 2
1 2
1 2
(
,
,
),
a
b
x
x
y
y
z
z
1 2 1
1 1
1 1
а
1 1
1
(
,
,
).
k a
kx ky kz
1 2 1
Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной пря(
мой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Проекцией
вектора a
1
на ось l называется число, обозначаемое пр
l
a
1
и рав(
ное
| | cos ,
a
1 1
где j (0 £ j £ p) — угол между положительным направлением оси l и направлением вектора
,
a
1
т. е. по определению пр
| | cos .
l
a
a
1 2
1 1
Скалярным произведением
двух векторов и
a
b
1 1
называется число, рав(
ное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними:
| | | | cos .
a b
a
b
1 2 1
3 1
1 1
1
Перечислим основные свойства скалярного произведения векторов. Для любых векторов
, и
a b
c
1 1
1
выполняется следующее:
1)
;
a b
b a
1 2 1 1 1 1
1 2)
(
)
(
)
(
)
a b
a b
a
b
1 2 3 1 2 3 2 1 1
1 1
1 1
1
для любого числа l;
3) (
)
;
a b
c
a b
a c
1 2 3 1 3 1
1 1
1 1
1 1 4)
| | пр
| | пр
;
a
b
a b
a
b
b
a
1 2 1
2 1
1 1
1 1
1 1
1 1
5)
0,
a b
1 2 1
1
если
0,
a
1 1
либо
0,
b
1 1
либо a
1
ортогонален
(
).
b a
b
1 1
1 1
Если заданы координаты векторов и
a
b
1 1
в ортонормированном базисе,
1 1
1 2
2 2
(
,
,
) и
(
,
,
),
a
x y z
b
x
y
z
1 1
1 1
то
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2 2
2 2
2 2
2 1
1 1
2 2
2 1 2 1 2 1 2 2
2 2
1 1
1
,
cos( , )
,
| | | |
пр
| |
a
a b
x
x
y
y
z
z
x x
y y
z z
a b
a b
a b
x
y
z
x
y
z
x x
y y
z z
a b
b
a
x
y
z
1 2 3 2
4 2 4 2 4
4 2
3 3
4 4
2 4
4 4
4 2
3 3
4 4
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
Векторным произведением
двух векторов и
a
b
1 1
называется вектор
,
c
1
обо(
значается
,
c
a b
1 2 1
1 1
удовлетворяющий следующим условиям:

30
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
1) длина вектора c
1
равна площади параллелограмма, построенного на векторах и ,
a
b
1 1
т. е.
| |
| | | | sin ,
c
a
b
1 2
3 1
1 1
где j — угол между векторами и ;
a
b
1 1
2) вектор c
1
перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и ;
a
b
1 1
3) вектора
( , , )
a b c
1 1
1
образуют правую тройку, т. е. если наблюдать из кон5
ца вектора c
1
кратчайший поворот от вектора a
1
к вектору
,
b
1
то он происхо5
дит против хода часовой стрелки.
Перечислим основные свойства векторного произведения. Для любых векторов
, ,
a b c
1 1
1
выполняется следующее:
1)
;
a b
b
a
1 2 3 1 1
1 1
1 1 2 1
1 1
2)
0,
a b
если
0,
a
1 1
1
либо
1 1
1 0,
b
либо
||
a b
1 1
(коллинеарность ненулевых векторов);
1 2 1 2
1 1
1 1
1 1
1 3) (
)
(
)
(
)
ka
b
a
kb
k a b для любого числа k;
4)
(
)
a
b
c
a b
a c
1 2 3 1 2 1 1
1 1
1 1
1 1
Если известны координаты векторов
1 1
1 2
2 2
(
,
,
) и
(
,
,
)
a
x y z
b
x
y
z
1 1
1 1
в орто5
нормированном базисе
, , ,
i j k
1 1
1
то координаты вектора
c
a b
1 2 1
1 1
удобнее всего находить по формуле
1 1
1 2
2 2
i
j
k
a b
x
y
z
x
y
z
1 2 1
1 1
1 1
Смешанным произведением
векторов
, и
a b
c
1 1
1
называется число, обозна5
чаемое
a b c
1 1 1
1 1
и определяемое формулой
(
)
,
a b
c
1 2 1
1 1
т. е. скалярное произведе5
ние вектора
a b
1 1
1
на вектор
c
1
Для любых векторов
, и
a b
c
1 1
1
выполняются следующие свойства смешан5
ного произведения векторов:
1 2 3 2 1 1
1 1
1 1 1
1) (
)
(
);
a b
c
a b c
2)
0,
a b c
1 1 2 1
1 1
если и только если
, и
a b
c
1 1
1
— компланарные вектора;
3) смешанное произведение не изменяется, если переставлять перемно5
жаемые векторы в круговом порядке:
;
a b c
b c a
c a b
1 1 2 1 1 2 1 1 1
1 1
1 1
1 1 1 1 4) при перестановке любых двух векторов смешанное произведение изме5
няет только знак:
1 1 2 3 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 2 3 1 1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1
1
,
,
;
b a c
a b c
c b a
a b c
a c b
a b c
5) смешанное произведение трех векторов
, и
a b
c
1 1
1
по абсолютной величи5
не равно объему V параллелепипеда, построенного на векторах
, , ,
a b c
1 1
1
т. е.
|
|
a b c
V
1 1 2 1
1 1
Из последнего свойства вытекает, что объем треугольной пирамиды, по5
строенной на векторах
, , ,
a b c
1 1
1
равен
1
|
|.
6
V
a b c
1 2 2 1
1 1
Если заданы координаты векторов , ,
a b c
1 1
1
в ортонормированном базисе
1 1
1 2
2 2
3 3
3
(
,
,
),
(
,
,
),
(
,
,
),
a
x y z
b
x
y
z
c
x
y
z
1 1
1 1
1 1
то
1 1
1 2
2 2
3 3
3
x
y
z
a b c
x
y
z
x
y
z
1 1 2 1
1 1

2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
31
ИДЗ 4.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
1. Даны векторы и .
a
b
1 1
В вариантах 1–15 найти:
1)
(
); 2) | |; 3) cos( , ), если
2
;
a b
a
a
a c
c
a
b
1 2 3 4
5 1
1 1
1 1
1 1 1
1 4) cos b для
;
a
1 5) |
|; 6) пр
b
a
b
a
1 1
1 1
1
В вариантах 16–30 найти:
1)
(
); 2) | |; 3) cos( , ), если
2 ;
a
a
b
b
a c
c
a
b
1 2 3 4 5 1
1 1
1 1 1 1 1 1 4) cos g для ;
b
1 5) |
|; 6) пр
a
a
b
b
1 1
1 1
1 1
1 2 2 2 1
1 1.
(3;6;7),
( 4; 9; 8).
a
b
1 1 2 2 2 1
1 2.
(4;5;6),
( 2; 8; 6).
a
b
1 1
2 2 1
1 3.
(5; 4;5),
(0; 7; 4).
a
b
1 1
2 2 1
1 4.
(6;3; 4),
(2; 6; 2).
a
b
1 1
2 1
1 5.
(7;2;3),
(4; 5; 0).
a
b
1 1
2 1
1 6.
(8;1;2),
(6; 4;2).
a
b
1 1
2 1
1 7.
(9; 0;1),
(8; 3; 4).
a
b
1 2
1 2
1 1
8.
(10; 1; 0),
(10; 2;6).
a
b
1 2 2 1
2 1
1 9.
(11; 2; 1),
(12; 1; 8).
a
b
1 2 2 1
1 1
10.
(12; 3; 2),
(14; 0;10).
a
b
1 2 2 1
1 1
11.
(13; 4; 3),
(16;1;12).
a
b
1 2 2 1
1 1
12.
(14; 5; 4),
(18;2;14).
a
b
1 2 2 1
1 1
13.
(15; 6; 5),
(20;3;16).
a
b
1 2 2 1
1 1
14.
(16; 7; 6),
(22; 4;18).
a
b
1 2 2 1
1 1
15.
(17; 8; 7),
(24;5;20).
a
b
1 1 2 2 2 1
1 16.
(3;6;7),
( 4; 9; 8).
a
b
1 1 2 2 2 1
1 17.
(4;5;6),
( 2; 8; 6).
a
b
1 1
2 2 1
1 18.
(5; 4;5),
(0; 7; 4).
a
b
1 1
2 2 1
1 19.
(6;3; 4),
(2; 6; 2).
a
b
1 1
2 1
1 20.
(7;2;3),
(4; 5; 0).
a
b
1 1
2 1
1 21.
(8;1;2),
(6; 4;2).
a
b
1 1
2 1
1 22.
(9; 0;1),
(8; 3; 4).
a
b
1 2
1 2
1 1
23.
(10; 1; 0),
(10; 2;6).
a
b
1 2 2 1
2 1
1 24.
(11; 2; 1),
(12; 1; 8).
a
b
1 2 2 1
1 1
25.
(12; 3; 2),
(14; 0;10).
a
b
1 2 2 1
1 1
26.
(13; 4; 3),
(16;1;12).
a
b
1 2 2 1
1 1
27.
(14; 5; 4),
(18;2;14).
a
b
1 2 2 1
1 1
28.
(15; 6; 5),
(20;3;16).
a
b
1 2 2 1
1 1
29.
(16; 7; 6),
(22; 4;18).
a
b
1 2 2 1
1 1
30.
(17; 8; 7),
(24;5;20).
a
b
2. Даны точки A
1
, A
2
, A
3
. Найти:
2 3
1 2
1 3
1 2
1 2
1 3
1. a)
3
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(–2; 1; 0), A
2
(3; 2; 4), A
3
(0; –3; 5).
1 3
1 2
2 3
2 3
2 1
2 3
2. a) 2
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(1; –2; 0), A
2
(4; 3; –1), A
3
(2; 4; 6).
1 3
1 3
2 3
1 2
3 1
3 2
3. a)
2
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(3; 4; –2), A
2
(5; 0; 1), A
3
(0; –2; 9).
þ
þ

32
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 3
1 2
1 3
3 1
1 2
1 3
4. a) 3
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(0; 2; –5), A
2
(3; 2; 1), A
3
(5; –6; 4).
1 2
2 3
1 2
3 2
3 1
3 2
5. a)
2
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(2; 0; –3), A
2
(1; –2; 4), A
3
(3; –1; 0).
1 2
1 3
2 3
1 3
2 1
2 3
6. a)
3
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(–1; 3; 2), A
2
(2; –3; 5), A
3
(1; 4; –2).
2 1
1 2
1 3
2 3
2 3
1 2
1 3
7. a)
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
3 3
111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(4; 0; 2), A
2
(0; 3; –1), A
3
(–1; 3; 2).
1 3
1 2
1 3
2 3
1 2
2 1
2 3
8. a)
2
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
3 111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(–4; 2; –1), A
2
(–2; 1; 0), A
3
(4; 3; –3).
2 3
1 2
1 3
2 3
1 2
3 1
3 2
9. a) 2
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
2 111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(1; 1; 1), A
2
(3; –6; 4), A
3
(2; 5; 1).
2 3
1 2
1 3
2 3
1 3
1 2
1 3
10. a)
3
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
3 111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(1; –1; 1), A
2
(4; –5; 2), A
3
(–2; 1; 7).
1 3
1 2
1 3
2 3
1 2
2 1
2 3
11. a)
3
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
3 111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(2; 0; 1), A
2
(2; 2; 2), A
3
(5; 8; 1).
1 3
1 2
1 3
2 3
2 3
3 1
3 2
12. a)
2
; b) пр
; c) cos(
,
),
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
1 2
3 2
111111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112 1111112
если A
1
(0; 1; 4), A
2
(–1; 3; 3), A
3
(3; 0; 5).

2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ