Рекомендовано
 Скачать 6.62 Mb.
|
|
Формула полной вероятности. Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B 1 , B 2 , ..., B n , образующих полную группу, равна сумме произведений веро) ятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероят) ность события A: P(A) = P(B 1 ) × P(A/B 1 ) + P(B 2 ) × P(A/B 2 ) + ... + P(B n ) × P(A/B n ). Формула Байеса. Условная вероятность события B i в предположении, что событие A имеет место, определяется по следующей формуле: 1 P( ) P( / ) P( / ) P( ) P( / ) i i i n i i i B A B B A B A B 1 2 1 2 3 Формула Бернулли. Если производится n независимых испытаний, в ка) ждом из которых вероятность появления события A одна и та же и равна p, то вероятность того, что событие A появится в этих испытаниях ровно m раз, выражается формулой P ( ) , m m n m n n m C p q 1 2 3 где q = 1 – p. Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P n (k) того, что событие A появится в n независимых испытаниях ровно k раз, может быть вычислена по приближенной формуле 9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 245 2 2 1 1 1 P ( ) ( ), 2 x n k e x npq npq 1 2 3 2 34 5 при k np x npq 1 2 Значения функции j(x) приводятся в соответствующих таб# лицах (см. приложение 1). Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность p наступления собы# тия A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то веро# ятность P n (k 1 , k 2 ) того, что событие A появится в n независимых испытаниях от k 1 до k 2 раз, приближенно равна определенному интегралу: 2 2 1 2 1 2 1 P ( , ) , 2 x x n x k k e dx 1 2 3 4 где 1 2 1 2 и k np k np x x npq npq 1 1 2 2 Таблица для интеграла 2 2 0 1 ( ) 2 x z x e dz 1 2 3 4 5 при# ведена в приложении 2, так как соответствующий неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Случайной называют величину, которая в результате испытания прини# мает одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и завися# щее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдель# ные, изолированные возможные значения с определенной вероятностью. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого промежутка числовой оси. Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между воз# можными значениями случайной величины и их вероятностями, называет# ся законом распределения случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается рядом распределения: 12 3 1 2 3 3 2 3 4 2 5552 3 4 2 52 6 1 2 6 3 2 6 4 2 5552 6 4 2 1 при этом 1 1, n i i p 1 1 2 где суммирование распространяется на все множество воз# можных значений данной случайной величины X. Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат необходимо отме# тить точки (x i , p i ), затем соединить их отрезками прямых. Полученную фи# гуру называют многоугольником распределения. Закон распределения непрерывной случайной величины задается так на# зываемой дифференциальной функцией распределения f(x). Вероятность P(a < X < b) того, что значение случайной величины X попа# дает в промежуток (a, b), определяется равенством 246 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ P( ) ( ) b a a X b f x dx 1 1 2 3 Функция плотности вероятности f(x) обладает следующими свойствами: 1) f(x) ³ 0; 2) ( ) 1. f x dx 12 32 4 5 Функцией распределения (интегральной функцией распределения) назы6 вается функция F(x), определяющая для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше x, т. е. F(x) = P(X < x). Если f(x) — функция плотности распределения вероятностей непрерыв6 ной случайной величины X, то ( ) ( ) , т. е. ( ) ( ). x F x f x dx F x f x 12 3 4 4 5 Отметим важнейшие свойства функции распределения вероятности F(x): 1) 0 £ F(x) £ 1; 2) F(x) — неубывающая функция своего аргумента, т. е. F(x 2 ) ³ F(x 1 ) при x 2 > x 1 ; 3) P(a £ X < b) = F(b) – F(a); 4) если возможные значения случайной величины принадлежат интер6 валу (a, b), то F(x) = 0 при x £ a и F(x) = 1 при x ³ b. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называ6 ется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Пусть случайная величина X может принимать только значения x 1 , x 2 , ..., x n , вероятности которых соответственно равны p 1 , p 2 , ..., p n . Тогда математи6 ческое ожидание M(X) случайной величины X определяется равенством M(X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n Пусть f(x) — плотность вероятности непрерывной случайной величины X. Тогда математическое ожидание случайной величины X определяется ра6 венством M( ) ( ) X x f x dx 12 32 4 5 6 Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D(X) = M(X – M(X)) 2 Дисперсия случайной величины есть мера рассеяния ее значений около математического ожидания. Если ввести обозначение M(X) = m, то формулы для вычисления дисперсии примут следующий вид: 1) для дискретной случайной величины X — 2 2 2 1 1 D( ) ( ) , или D( ) ; n n i i i i i i X p x m X p x m 1 1 1 2 1 2 3 3 9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 247 2) для непрерывной случайной величины X — 2 2 2 D( ) ( ) ( ) , или D( ) ( ) X x m f x dx X x f x dx m 12 12 32 32 4 3 4 3 5 5 Средним квадратическим отклонением случайной величины X называ ется величина ( ) D( ), X X 1 2 где D(X) — дисперсия случайной величины X. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной слу чайной величины, которое описывается функцией плотности вероятности 2 2 ( ) 2 1 ( ) , 2 x a f x e 1 1 2 3 2 4 где a — математическое ожидание случайной величины, а s — среднее квад ратическое отклонение. Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероят ностей, которое описывается функцией плотности вероятности 0 при 0, ( ) при 0, x x f x e x 12 3 4 5 6 2 7 8 где l — постоянная положительная величина. Распределение вероятностей называется равномерным, если на интерва ле, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, функция плотности вероятности имеет постоянное значение. Если X — равномерно распределенная случайная величина на интервале (a, b), то функция плотности вероятности имеет вид 0 при , 1 ( ) при , 0 при x a f x a x b b a x b 1 2 33 4 5 1 6 7 3 8 39 Если каждому возможному значению случайной величины X соответст вует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называется функ цией случайного аргумента X : Y = j(X). Если X — дискретная случайная величина, то вероятности возможных значений X и Y = j(X) равны между собой. Если j(x) — дифференцируемая, строго монотонная функция, обратная функция которой x = y(y) существует, то функция плотности вероятности g (y) случайной величины Y находится по равенству g (y) = f[ y(y)] × |y¢(y)|. Если Y = j(X), где X — непрерывная случайная величина с функцией плотности вероятности f(x), то математическое ожидание M(Y) можно вы числить и по формуле M( ) ( ) ( ) Y x f x dx 12 32 4 5 6 248 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ Важную роль в теории систем случайных величин играет так называемая ковариация: C xy = M(X – M(X))(Y – M(Y)). Для дискретных случайных величин ковариация находится по формуле 1 1 ( M( ))( M( )) , m n xy i j ij i j C x X y Y p 1 1 1 2 2 3 4 4 а для непрерывных — по формуле ( M( ))( M( )) ( , ) xy C x X y Y f x y dxdy 12 12 32 32 4 3 3 5 5 Ковариацию можно также найти по формуле C xy = M(X × Y) – M(X) × M(Y). Случайные величины X и Y называются независимыми, если вероятность одной из них принять значение, лежащее в любом промежутке ее значений, не зависит от того, какое значение приняла другая величина. В этом случае M(X × Y) = M(X) × M(Y) и C xy = 0. Для характеристики связи между величинами X и Y рассматривается так называемый коэффициент корреляции D( ) D( ) xy xy C r X Y 1 Если случайные величины X и Y независимы, то r xy = 0. ИДЗ 27. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 1.1. В телестудии 3 телевизионные камеры. Вероятность того, что в дан; ный момент первая камера включена, равна 0,9; для второй камеры эта веро; ятность равна 0,8; для третьей — 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включены: 1) две камеры; 2) не более одной; 3) три. 1.2. Двадцать процентов приборов оформляется с применением элемента А1, остальные — с применением элемента А2. Надежность прибора с приме; нением элемента А1 равна 0,9; с применением элемента А2 — 0,8. а) Найти надежность работы наудачу взятого прибора. б) Найти вероятность того, что прибор оформлен с применением элемен; та А1, если он работает надежно. 1.3. Всхожесть семян лимона составляет 80%. Найти вероятность того, что из 6 посеянных семян взойдет: 1) три; 2) не менее трех; 3) не более четырех. 1.4. Вероятность сбоя в работе АТС при каждом вызове равна 0,0005. Поступило 2000 вызовов. Определить вероятность того, что при этом про; изошло 4 сбоя. 9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 249 1.5. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Из коробки наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что вынули 2 си& них карандаша? 2.1. Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, а второй — толь& ко 15. Каждому из них задают по одному вопросу из 25. Найти вероятность того, что на заданный вопрос правильно ответят: 1) оба студента; 2) только один из них; 3) хотя бы один из студентов. 2.2. Детали для обработки попадают на один из трех станков с вероятностя& ми, соответственно равными 0,2; 0,3; 0,5. Вероятность появления брака при обработке на первом станке равна 0,02; на втором — 0,03; на третьем — 0,01. а) Найти вероятность того, что случайно взятая после обработки деталь является стандартной. б) Взятая деталь оказалась стандартной. Какова вероятность того, что она изготовлена на втором станке? 2.3. В семье пять детей, имеющих разные даты рождения. Принимая рав& ными вероятности рождения мальчика и девочки, найти вероятность того, что мальчиков в семье: 1) трое; 2) не менее трех; 3) не более двух. 2.4. Вероятность неверно набрать знак при наборе текста равна 0,001. Найти вероятность того, что при наборе текста, состоящего из 3000 знаков, будет допущена хотя бы одна ошибка. 2.5. Наудачу выбирают 5 военнослужащих из группы, состоящей из 4 офицеров и 12 солдат. Какова вероятность того, что в выборке будет не более двух офицеров? 3.1. Три микросхемы входят в блок. Вероятности выйти из строя в тече& ние гарантийного срока для них соответственно равны 0,3; 0,2; 0,4. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдут из строя: 1) не менее двух микросхем; 2) ни одна; 3) хотя бы одна. 3.2. Среди поступивших на сборку деталей 30% изготовлены на заводе № 1, остальные — на заводе № 2. Вероятность брака для завода № 1 равна 0,02; для завода № 2 — 0,03. а) Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь является стан& дартной. б) Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Какова вероятность того, что она изготовлена на заводе № 1? 3.3. Студент пытается пройти тестирование, используя метод «угадыва& ния». Тест содержит 8 вопросов, на которые следует отвечать «да» или «нет». Найти вероятность того, что среди ответов студента правильных будет: 1) пять; 2) не менее пяти; 3) более пяти. 3.4. Вероятность того, что лампа будет гореть в течение года, равна 0,64. В начале года для освещения города было подключено 2500 ламп. Найти вероятность того, что к концу года из этих ламп будут гореть не менее 1552 и не более 1600 ламп. 3.5. В группе спортсменов 7 лыжников и 3 бегуна. Случайным образом взяли 3 спортсмена. Найти вероятность того, что все отобранные спортсме& ны окажутся лыжниками. 250 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ 4.1. В первом ящике имеется 20 деталей, из них 15 стандартных, во вто) ром ящике — 30, из них 25 стандартных. Из каждого ящика наудачу берут по одной детали. Какова вероятность того, что: 1) детали будут стандартны) ми; 2) хотя бы одна деталь будет стандартной; 3) обе детали будут нестан) дартными? 4.2. Три автомата штампуют одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительности первого, второго и третьего автома) тов относятся как 2 : 3 : 5. Вероятность того, что деталь с первого автомата будет отличного качества, равна 0,8; для второго — 0,6; для третьего — 0,7. а) Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь ока) жется отличного качества. б) Взятая деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность того, что она изготовлена первым автоматом? 4.3. В микрорайоне города расположено пять магазинов по продаже бы) товой техники. Вероятность того, что в данный момент в магазине отсутству) ют стиральные машины марки LG, для каждого из магазинов равна 0,1. Ас) сортимент товара в каждом магазине формируется независимо от других ма) газинов. Найти вероятность того, что стиральные машины марки LG в данный момент отсутствуют: 1) в двух магазинах; 2) не более чем в двух; 3) найти наивероятнейшее число магазинов, в которых в данный момент отсутствуют стиральные машины марки LG. 4.4. Контрольную работу по теории вероятностей успешно выполняют в среднем 75% студентов. Какова вероятность того, что из 75 студентов эту контрольную работу успешно выполнят 60 студентов? 4.5. В пакете находятся фрукты: 10 яблок, 3 груши и 8 лимонов. Из паке) та случайным образом вынимают 4 фрукта. Найти вероятность того, что сре) ди отобранных фруктов будет хотя бы одно яблоко. 5.1. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9; вторым — 0,7. Стрелки сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что цель поражена: 1) хотя бы один раз; 2) два раза; 3) один раз? 5.2. Сборщик получает 30% деталей, изготовленных на заводе № 1; 20% — на заводе № 2; остальные — на заводе № 3. Вероятность того, что деталь завода № 1 отличного качества, равна 0,9; эта вероятность для завода № 2 — 0,8; для завода № 3 — 0,6. а) Найти вероятность того, что случайно взятая сборщиком деталь от) личного качества. б) Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Какова вероят) ность того, что она с завода № 2? 5.3. Вероятность сдать любой из пяти экзаменов для данного студента равна 0,5. Найти вероятность того, что из пяти экзаменов студент сдаст: 1) один; 2) хотя бы два экзамена; 3) более двух экзаменов. 5.4. Станок)автомат штампует одинаковые детали. Вероятность произ) водства бракованной детали для данного станка равна 0,002. Найти вероят) ность того, что среди взятых на проверку 1000 деталей, изготовленных дан) ным станком, будет 4 бракованных. |