Рекомендовано
 Скачать 6.62 Mb.
|
|
251 5.5. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает два вопроса, содержащихся в его экзаменационном билете. 6.1. Три радиолокационные станции следят за космическим кораблем. Корабль при одном цикле обзора обнаруживается станциями с вероятностя* ми 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора ко* рабль будет обнаружен: 1) тремя станциями; 2) не менее чем двумя; 3) ни одной. 6.2. Некоторое изделие может поступить для обработки на один из двух станков с вероятностями 0,4 и 0,6. Вероятность появления брака при обра* ботке на первом станке равна 2%, на втором — 3%. а) Найти вероятность того, что наудачу взятое после обработки изделие будет стандартным. б) Взятое наудачу изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно обработано на первом станке? 6.3. Вероятность того, что мотор в цехе в данный момент включен, для каждого мотора равна 0,8. Найти вероятность того, что из имеющихся в цехе пяти моторов в данный момент будут включены: 1) один мотор; 2) не более одного; 3) хотя бы два мотора. 6.4. Вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,1. Найти вероятность того, что из 400 студентов на лекцию опоздают 34. 6.5. В коробке имеется 18 одинаковых катушек ниток, среди которых 9 катушек с красными нитками, 2 — с синими и остальные — с белыми. Како* ва вероятность того, что три вынутые наудачу катушки будут одного цвета? 7.1. Устройство состоит из четырех блоков. Надежность (вероятность без* отказной работы в течение времени T) первого блока равна 0,4; второго — 0,5; третьего — 0,6; четвертого — 0,4. Найти вероятность того, что в течение времени T будут надежно работать: 1) 4 блока; 2) 3 блока; 3) менее трех. 7.2. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность появления брака при обработке детали на станке № 1 равна 0,03; на станке № 2 — 0,02. Обработанные детали складываются в одном месте, причем про* изводительность станка № 1 в два раза больше, чем производительность стан* ка № 2. а) Вычислить вероятность того, что наудачу взятая после обработки де* таль не будет бракованной. б) Взятая деталь оказалась небракованной. Какова вероятность того, что она с первого станка? 7.3. В шахматы играют два равных по силе партнера: Иванов и Петров. Что вероятнее для Иванова: 1) выиграть у Петрова три партии из четырех или пять из восьми; 2) выиграть у Петрова не менее трех партий из четырех или не менее пяти из восьми? 7.4. При транспортировке и разгрузке керамической плитки поврежда* ется в среднем 1,5%. Найти вероятность того, что в партии из 200 плиток поврежденных будет две. 7.5. Из восьми книг две художественные. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу четырех книг хотя бы одна художественная. 252 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ 8.1. Вероятность того, что деталь, изготовленная на первом станке, выс) шего сорта, равна 0,7, на втором станке — 0,8, на третьем — 0,6. Берут на) удачу по одной детали с каждого станка. Какова вероятность того, что среди взятых деталей: 1) все высшего сорта; 2) две высшего сорта; 3) хотя бы одна высшего сорта. 8.2. 45% телевизоров, продающихся в магазине, изготовлены в России, 15% — в Китае, остальные — в Корее. Вероятности того, что эти телевизоры не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, соответственно равны 0,8; 0,7; 0,9. а) Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор будет без) отказно работать в течение гарантийного срока. б) Купленный телевизор работал надежно в течение всего гарантийного срока. Найти вероятность того, что он изготовлен в России. 8.3. При массовом производстве полупроводниковых диодов вероятность брака равна 0,1. Какова вероятность того, что из восьми взятых диодов бра) кованных будет: 1) два; 2) не менее двух; 3) не более двух? 8.4. Вероятность производства бракованной детали для данного станка) автомата равна 0,0015. Найти вероятность того, что из взятых на проверку 2000 деталей будет 4 бракованных. 8.5. На полке шесть книг, из которых две не по интересующей теме. Слу) чайным образом берут две книги. Какова вероятность того, что они по инте) ресующей теме? 9.1. В первой студенческой группе 20 человек; во второй — 25; в треть) ей — 16. На английском языке свободно говорят 10 человек из первой груп) пы, 15 — из второй, 12 — из третьей. Из каждой группы случайным обра) зом выбрали одного студента. Найти вероятность того, что из выбранных студентов на английском языке говорят: 1) двое; 2) не менее двух; 3) хотя бы один. 9.2. Имеется пять ящиков по 30 шаров, в каждом из которых содержится пять красных, и шесть ящиков по 20 шаров, в каждом из которых содержит) ся четыре красных. а) Найти вероятность того, что из наудачу взятого ящика наудачу взятый шар будет красным. б) Наудачу выбранный шар оказался красным. Какова вероятность того, что он принадлежит одному из первых пяти ящиков? 9.3. Найти вероятность того, что в шести выстрелах по мишени попада) ний будет: 1) пять; 2) не менее пяти; 3) не более пяти, если в среднем пораже) ние мишени составляет 80%. 9.4. Вероятность нарушения стандарта при штамповке карболитовых колец составляет 4%. Найти вероятность того, что среди 2400 изготовлен) ных колец бракованных будет не менее 72 и не более 120. 9.5. На карточках по одной написаны буквы, образующие слово СТАТИ) СТИКА. Карточки перевернуты буквами вниз и перемешаны. Отобрали на) удачу 5 карточек. Найти вероятность того, что на отобранных карточках будет не менее трех гласных букв. 9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 253 10.1. Первый станокавтомат дает 10% брака, второй — 15%, третий — 20%. Взяли по одной детали с каждого станка. Найти вероятность того, что среди взятых деталей стандартными окажутся: 1) три; 2) две; 3) ни одной. 10.2. По линии связи передаются два сигнала A и B с вероятностями соответственно равными 0,8 и 0,2. Сигналов A принимается 60%, а сигна лов B — 70%. а) Определить вероятность того, что посланный сигнал будет принят. б) Посланный сигнал был принят. Какова вероятность того, что это сиг нал A? 10.3. Вероятность сдать экзамен для каждого из шести студентов равна 0,8. Найти вероятность того, что экзамен сдадут: 1) пять студентов; 2) не менее пяти; 3) не более пяти. 10.4. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 75 раз. 10.5. В партии из восьми деталей шесть стандартных. Найти вероятность того, что среди двух наудачу извлеченных из партии деталей есть хотя бы одна стандартная. 11.1. В цехе имеется три резервных мотора. Для каждого мотора вероят ность того, что он включен в данный момент, соответственно равна 0,2; 0,3; 0,1. Найти вероятность того, что в данный момент включены: 1) два мотора; 2) хотя бы один; 3) три. 11.2. Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии отклоняется от нормального, используются индикаторы двух типов: A и B. Каждая автоматическая линия снабжается только одним индикатором, ко торый принадлежит к типу A с вероятностью 0,4 и к типу B с вероятностью 0,6. Вероятности срабатывания при нарушении нормальной работы линии для индикаторов этих типов соответственно равны 0,9 и 0,7. а) Найти вероятность того, что наудачу взятый индикатор сработает при нарушении работы линии. б) От выбранного индикатора получен сигнал. К какому типу вероятнее всего он принадлежит? 11.3. Вероятность поражения мишени одним выстрелом равна 0,5. Най ти вероятность того, что в результате пяти выстрелов мишень будет пораже на: 1) три раза; 2) не менее трех раз; 3) менее двух раз. 11.4. В институте учатся 1584 студента. Найти вероятность того, что день рождения в сентябре не более чем у 121 студента этого института. 11.5. Из десяти билетов лотереи два выигрышных. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов этой лотереи один выигрышный. 12.1. Три стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,4; вторым — 0,5; третьим — 0,6. Определить вероятность того, что мишень будет поражена: 1) три раза; 2) не менее двух раз; 3) два раза. 254 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ 12.2. На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 20%; второй — 50%; третий — 30% всех замков. Бракованная продукция для этих цехов составляет соответственно 5%; 4%; 2%. а) Найти вероятность того, что случайно выбранный замок из изготов< ленных на этом заводе окажется бракованным. б) Случайно выбранный замок оказался бракованным. Вероятнее всего в каком цехе он изготовлен? 12.3. Пять покупателей приехали на оптовый склад. Вероятность того, что покупателю потребуется холодильник марки SAMSUNG, для каждого из них равна 0,4. Найти вероятность того, что такой холодильник потребуется: 1) четырем покупателям; 2) не менее чем двум; 3) не более чем трем. 12.4. Найти вероятность одновременной остановки 26 машин из 100 ра< ботающих, если вероятность остановки для каждой равна 0,2. 12.5. В вазочке лежат пирожки: шесть — с яблочным джемом; пять — с брусничным джемом; три — с апельсиновым джемом. Наудачу выбирают три пирожка. Найти вероятность того, что среди трех выбранных пирожков будет хотя бы два с брусничным джемом. 13.1. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; вто< рой — 0,7; третий — 0,6. Вычислить вероятность того, что студент сдаст: 1) два экзамена; 2) не менее двух; 3) не более двух. 13.2. Автомат снабжен одним сигнализатором. При отклонении от нор< мального режима работы автомата сигнализатор С1 срабатывает с вероятно< стью 0,9, а сигнализатор С2 — с вероятностью 0,8. Вероятность того, что автомат снабжен сигнализатором С1, равна 0,7, С2 — 0,3. а) Найти вероятность того, что при отклонении автомата от нормального режима работы сигнализатор сработал. б) Получен сигнал об отклонении работы автомата от нормального режи< ма. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором С1 или С2? 13.3. При штамповке изделий в среднем бывает 20% брака. Было изго< товлено 8 изделий. 1) Найти вероятность того, что среди этих восьми изде< лий оказалось два бракованных. 2) Найти наивероятнейшее число K 0 брако< ванных изделий из восьми. 3) Найти вероятность того, что из восьми изде< лий будет K 0 бракованных. 13.4. Аппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента за время T равна 0,002 и не зависит от работы других элементов. Какова вероятность отказа не менее двух элементов за время T? 13.5. На сборку поступают детали с трех автоматов. С первого автомата поступило 2 детали, со второго — 10 деталей, с третьего — 5 деталей. Из поступивших деталей отобрали три детали. Найти вероятность того, что из наудачу взятых деталей будет не менее двух с третьего автомата. 14.1. Самолет противника обнаруживается тремя радиолокаторами с вероятностями 0,8; 0,7; 0,5 соответственно. Какова вероятность того, что самолет будет обнаружен: 1) одним радиолокатором; 2) двумя; 3) хотя бы двумя? 9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 255 14.2. Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выбрано из одной группы десять человек, из второй — восемь человек. Вероятность того, что студент первой группы попадет в сборную института, равна 0,8, для студента второй группы эта вероятность равна 0,7. а) Найти вероятность того, что выбранный наудачу студент попадет в сбор( ную института. б) Наудачу выбранный студент попал в сборную института. К какой груп( пе вероятнее всего он принадлежит? 14.3. Среди изделий, произведенных на станке(автомате, в среднем бы( вает 80% высшего сорта. Какова вероятность того, что среди пяти изделий, изготовленных на этом станке, изделий высшего сорта будет: 1) четыре; 2) хотя бы четыре; 3) не более четырех? 14.4. Известно, что в среднем 10% людей, бронирующих номер в курорт( ной гостинице, отказываются от брони. Администратор гостиницы выдал бронь на 100 мест. Найти вероятность того, что все люди, приехавшие на курорт и имеющие бронь, поселятся в этой гостинице, если в ней 96 свобод( ных мест. 14.5. У сборщика имеется семь эллиптических и пять конусных вали( ков. Сборщик случайным образом выбрал три валика. Найти вероятность того, что среди отобранных валиков окажется хотя бы два эллиптиче( ских. 15.1. Два бомбардировщика с разных сторон преодолевают зону ПВО про( тивника. Вероятность того, что будет сбит первый бомбардировщик, равна 0,7, второй — 0,8. Найти вероятность поражения: 1) одного бомбардиров( щика; 2) двух; 3) ни одного. 15.2. На сборку поступают однотипные детали с трех автоматов. Первый из них дает 25%, второй — 30%, третий — 45% деталей данного типа, посту( пающих на сборку. Первый автомат допускает 2% брака, второй — 3%, тре( тий — 1%. На сборку поступила деталь. а) Найти вероятность того, что на сборку поступила бракованная деталь. б) Найти вероятность того, что на сборку поступила деталь со второго станка, если она оказалась бракованной. 15.3. Оптовая база обслуживает шесть магазинов. Вероятность поступле( ния заявки на данный день от магазина для каждого их них равна 0,6. Найти вероятность того, что на данный день на базу поступит: 1) пять заявок; 2) не менее пяти; 3) не более пяти. 15.4. Устройство состоит из 2000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение первого года работы равна 0,0005 и не зависит от состоя( ния других элементов. Какова вероятность отказа двух элементов в течение года? 15.5. Из пруда, в котором плавали 25 золотых рыбок, выловили пять рыбок, пометили их и отпустили обратно в пруд. Во второй раз выловили семь золотых рыбок. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее четырех помеченных рыбок. 256 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ 16.1. Стрелок выстрелил четыре раза по удаляющейся от него цели, при- чем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7 и после каж- дого выстрела уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность поражения цели: 1) четыре раза; 2) не менее трех; 3) три. 16.2. В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соот- ношении 2 : 3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9; для туфель — 0,8. Проведена проверка качества одной пары обуви из отремонти- рованных в этой мастерской. а) Найти вероятность того, что эта пара обуви отремонтирована качест- венно. б) Найти вероятность того, что качественно отремонтирована пара туфель. 16.3. Среди изделий, изготавливаемых рабочими, бывает в среднем 20% брака. Найти вероятность того, что среди взятых шести изделий бракован- ных будет: 1) три; 2) не более двух; 3) хотя бы одно. 16.4. Устройство содержит 5000 микросхем. Вероятность отказа для ка- ждой из них равна 0,0004. Какова вероятность отказа хотя бы одной микро- схемы? 16.5. Группа туристов состоит из 8 девушек и 12 юношей. Туристы выби- рают по жребию пять человек для приготовления ужина. Найти вероятность того, что при этом будет отобрано не менее двух юношей. 17.1. Доля второго сорта некоторой массовой продукции для первого ра- бочего составляет 40%, для второго — 30%. Взято без выбора по два экземп- ляра у каждого рабочего. Какова вероятность того, что: 1) все четыре экзем- пляра второго сорта; 2) хотя бы три экземпляра второго сорта; 3) менее трех экземпляров второго сорта. 17.2. В магазин на реализацию поступили ноутбуки от трех поставщи- ков, причем от первого поставщика поступило 50 ноутбуков; от второго — 30; от третьего — 20. К 70% ноутбуков первого поставщика, 80% второго и 90% третьего прилагается подарочный диск. а) Найти вероятность того, что выбранный наудачу для покупки ноутбук будет с подарочным диском. б) Купленный ноутбук оказался с подарочным диском. Какова вероят- ность того, что он от первого поставщика? 17.3. Вероятность промаха для данного стрелка в одном выстреле равна 0,3. Найти вероятность того, что стрелок, сделав 5 выстрелов, промахнется: 1) один раз; 2) не более одного раза; 3) не менее одного раза. 17.4. Вероятность отклонения от стандарта при штамповке клемм равна 0,01. Найти вероятность наличия в партии из 200 клемм не менее трех клемм, не соответствующих стандарту. 17.5. Из колоды в 36 карт наудачу извлекают три карты. Найти вероят- ность того, что выбранными картами будут либо две дамы и король, либо дама, король и туз. 18.1. Вероятность сбить самолет противника одним выстрелом из перво- го зенитного орудия равна 0,4; из второго — 0,5. Сделано по одному выстре- 9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 257 лу из каждого зенитного орудия. Найти вероятность того, что: 1) было два попадания в самолет; 2) хотя бы одно попадание; 3) не было попаданий в самолет. 18.2. У сборщика 16 деталей, изготовленных на заводе № 1, и 10 деталей, изготовленных на заводе № 2. Вероятности проработать гарантийный срок для деталей заводов № 1 и № 2 соответственно равны 0,8 и 0,9. а) Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь прора* ботает гарантийный срок. б) Наудачу взятая деталь проработала гарантийный срок. На каком из заводов вероятнее всего она изготовлена? 18.3. Найти вероятность того, что среди семи изделий нестандартных бу* дет: 1) два; 2) хотя бы одно; 3) менее двух, если в среднем стандартные изде* лия составляют 90%. 18.4. Сотрудники садоводческой фирмы считают, что в 70% случаев ор* хидея расцветает в марте. Всего в теплице посажено 2100 орхидей. Найти вероятность того, что в марте расцветет не менее 1512 орхидей. 18.5. В коробке четыре синих ручки, пять красных и две черных. Из ко* робки наудачу вынимают две ручки. Найти вероятность того, что они будут разного цвета. 19.1. Вероятность получения выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0,2, второго — 0,3. Имеется по два билета каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграют: 1) три билета; 2) не менее трех биле* тов; 3) менее трех. 19.2. В магазин поступило три партии зонтиков от трех поставщиков. В пер* вой партии — 100 зонтиков, из которых 2% бракованных. Во второй партии — 300 зонтиков, из которых 4% бракованных. В третьей партии — 600 зонтиков, из которых 1% бракованных. Наудачу выбирается один зонтик. а) Найти вероятность того, что выбранный зонтик окажется бракованным. б) Выбранный зонтик оказался бракованным. Найти вероятность того, что он поступил от первого поставщика. 19.3. Вероятность поражения цели в одном выстреле равна 0,4. Произве* дено восемь выстрелов. Найти: 1) наивероятнейшее число K 0 поражений цели в восьми выстрелах; 2) вероятность того, что произойдет K 0 поражений цели; 3) вероятность поражения цели не менее 4 раз из 8. 19.4. К магистральному водопроводу подключено 600 предприятий, ка* ждое из которых с вероятностью 0,6 в данный момент времени осуществляет забор воды. Найти вероятность того, что в данный момент забор воды произ* водят не менее 372 и не более 402 предприятий. 19.5. В коробке имеется 5 белых, 10 красных и 15 желтых шаров, одина* ковых на ощупь. Наудачу вынимают три шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров будет два красных или два белых. 20.1. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что за смену первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9, второй — 0,8, третий — 0,7. Найти вероятность того, |