Рекомендовано

• Название: Рекомендовано
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 6.62 Mb.
• Имя файла: Matematika_dlya_ekonomistov_Sbornik_zadaniy_by_Nalivayko_L_V_Iva.pdf
• Тип: Учебное пособие; #577094
• страница: 38 из 62

272
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
но и, найдя первые такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Соста*
вить закон распределения случайной величины X — числа просмотренных часов. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
20.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x
1
и x
2
; если x
1
< x
2
, M(X) = 3,7,
D(X) = 0,21, вероятность возможного значения x
1
равна p
1
= 0,3.
20.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят*
ностей
1 2 0,
,
6
sin3 ,
,
6 3
0,
3
x
f x
A
x
x
x
3 4
5 6
66 3
3 7
8 8 9
6 3
6 6
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в двух независимых испытаниях случайная величина X попадет два раза в интервал
1 2
;
4 3 3 21.1. В лотерее на 100 билетов разыгрываются две вещи, стоимость кото*
рых 210 и 60 рублей. Составить закон распределения случайной величи*
ны X — суммы выигрыша для лица, имеющего два билета. Найти F(x), M(X),
D(X), s(X).
21.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x
1
и x
2
; если x
1
< x
2
, M(X) = 3,8,
D(X) = 0,16, вероятность возможного значения x
1
равна p
1
= 0,2.
21.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят*
ностей
0,
0,
( )
sin3 , 0
,
3 0,
3
x
f x
A
x
x
x
1 2
3 4
3 5
6 6 7
3 4
8 39
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная величина X попадет не менее одного раза в интервал
1 2
;
6 2 3 3 22.1. Имеется 6 электроламп, из которых одна бракованная. Для того что*
бы ее обнаружить, лампы проверяют по очереди. Составить закон распределе*
ния случайной величины X — числа проверенных ламп, если проверенная лам*
па в последующей проверке не участвует. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).

9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
273
22.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x
1
и x
2
; если x
1
< x
2
, M(X) = 3,9,
D(X) = 0,09, вероятность возможного значения x
1
равна p
1
= 0,1.
22.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят'
ностей
0,
0,
( )
cos2 , 0
,
4 0,
4
x
f x
A
x
x
x
1 2
3 4
3 5
6 6 7
3 4
8 39
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в пяти независимых испытаниях случайная величина X попадет четыре раза в интервал
1 2
;
6 2 3 3 23.1. Батарея состоит из трех орудий. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле из первого, второго и третьего орудия соответственно равны 0,5; 0,6; 0,8. Каждое орудие стреляет по мишени один раз. Составить закон распределения случайной величины X — числа попаданий в мишень.
Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
23.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x
1
и x
2
; если x
1
< x
2
, M(X) = 2,2,
D(X) = 0,36, вероятность возможного значения x
1
равна p
1
= 0,9.
23.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят'
ностей
4 0,
1,
1,
( )
,
1 1.
x
x
f x
A x
x
1 2 1 3
4 5 6 7
1 8 8 9
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в двух независимых испытаниях случайная величина X ни разу не попадет в интервал (0; 2).
24.1. Стрелок выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее при первом выстреле равна 0,8 и уменьшается в каждом последующем выстреле на 0,1. Составить закон распределения случайной величины X — числа попаданий в цель. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
24.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x
1
и x
2
; если x
1
< x
2
, M(X) = 3,4,
D(X) = 1,44, вероятность возможного значения x
1
равна p
1
= 0,2.
24.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят'
ностей
0,
0,
2 ,
( )
2
, 0 2 .
2
x
x
A
f x
A
x
x
A
A
1 2
34 5 6 7
8 1 49

274
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная величина X попадет два раза в интервал (1; 3).
25.1. Отношение числа деталей первого сорта, выпускаемых станком9ав9
томатом, к числу деталей второго сорта равно 2 : 1. Составить закон распре9
деления случайной величины X — числа деталей первого сорта среди пяти отобранных случайным образом деталей, изготовленных данным станком.
Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
25.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x
1
и x
2
; если x
1
< x
2
, M(X) = 4,4,
D(X) = 0,24, вероятность возможного значения x
1
равна p
1
= 0,6.
25.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят9
ностей
0,
0,
( )
4 , 0 1,
0,
1.
x
x
f x
A
x
x
1 2
3 4
5 6 6 7
3 8
9
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в двух независимых испытаниях случайная величина X попадет один раз в интервал (0,5; 1,5).
26.1. При бросании трех игральных костей игрок выигрывает 200 руб9
лей, если на всех костях выпадет по 6 очков; 100 рублей, если на двух костях выпадет по 6 очков; 50 рублей, если только на одной кости выпадет 6 очков.
Составить закон распределения случайной величины X — величины выиг9
рыша при одновременном бросании трех костей один раз. Найти F(x), M(X),
D(X), s(X).
26.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x
1
и x
2
; если x
1
< x
2
, M(X) = 4,1,
D(X) = 1,89, вероятность возможного значения x
1
равна p
1
= 0,3.
26.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят9
ностей
0,
0,
( )
9 , 0 1,
0,
1.
x
x
f x
A
x
x
1 2
3 4
5 6 6 7
3 8
9
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная величина X попадет два раза в интервал (–0,5; 0,5).
27.1. Вероятность того, что в магазине имеется интересующая покупате9
ля вещь, равна 0,4. Составить закон распределения случайной величины X —
числа магазинов, которые посетит покупатель в поисках необходимой ему вещи, если в городе 5 специализированных магазинов. Найти F(x), M(X),
D(X), s(X).

9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
275
27.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x
1
и x
2
; если x
1
< x
2
, M(X) = 5,4,
D(X) = 3,84, вероятность возможного значения x
1
равна p
1
= 0,4.
27.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят'
ностей
2 0,
0,
1,
( )
, 0 1.
x
x
f x
Ax
x
x
1 2
3 4 5 6
7 1 8
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в двух независимых испытаниях случайная величина X попадет не меньше одного раза в интервал
1 2 1 1
;
3 2 3
28.1. Студенту во время сессии предстоит сдать 4 экзамена. Вероятности сдать экзамены соответственно равны 0,9; 0,8; 0,9; 0,7. Составить закон рас'
пределения случайной величины X — числа сданных во время сессии экза'
менов. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
28.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x
1
и x
2
; если x
1
< x
2
, M(X) = 3,7,
D(X) = 0,21, вероятность возможного значения x
1
равна p
1
= 0,3.
28.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят'
ностей
0,
1,
4,
( )
, 1 4.
x
x
f x
A
x
x
1 2
34 5 6 7 1 48
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная величина X попадет один раз в интервал (3; 5).
29.1. В соревнованиях участвуют 10 студентов математического факуль'
тета, 8 студентов исторического факультета и 12 студентов физического фа'
культета. На старт вызваны три студента. Составить закон распределения случайной величины X — числа студентов математического факультета,
вызванных на старт. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
29.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x
1
и x
2
; если x
1
< x
2
, M(X) = 3,1,
D(X) = 0,09, вероятность возможного значения x
1
равна p
1
= 0,9.
29.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят'
ностей
0,
,
,
6 6
( )
cos3 ,
6 6
x
x
f x
A
x
x
1 1
2 3 4 5
6 7 8 1
1 6 9 4

276
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная величина X попадет не менее двух раз в интервал
1 2
; 0 .
3 3
4 30.1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8.
Составить закон распределения случайной величины X — числа попаданий в мишень, если произведено 5 выстрелов. Найти F(x), M(X), D(X), s(X).
30.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X,
принимающей два возможных значения x
1
и x
2
; если x
1
< x
2
, M(X) = 2,4,
D(X) = 0,24, вероятность возможного значения x
1
равна p
1
= 0,6.
30.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятC
ностей
2 0,
0,5,
1,
( )
(
0,25), 0,5 1.
x
x
f x
A
x
x
1 2
3 4 5 6
7 8 1 9
Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X),
s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная величина X попадет не меньше одного раза в интервал (0; 0,75).
Контрольная работа 8.
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
1.1. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационC
ный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает:
а) все три вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменациC
онного билета.
1.2. Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 человек знают ангC
лийский язык, 40 — французский и 35 — немецкий. Английский и франC
цузский языки знают 20 студентов, английский и немецкий — 8, французC
ский и немецкий — 10. Все три языка знают 5 человек. Один из студентов вышел из аудитории. Найти вероятность того, что: а) вышедший знает ангC
лийский или французский язык; б) вышедший не знает ни одного языка.
1.3. На сборку поступают детали из трех автоматов. Первый дает 20%,
второй — 30%, третий — 50% деталей данного типа, поступающих на сборC
ку. Первый автомат дает 0,2% брака, второй — 0,3%, третий — 0,1%. НайC
ти вероятность поступления на сборку бракованной детали. Поступившая на сборку деталь оказалась бракованной. На каком автомате она вероятнее всеC
го изготовлена?
1.4. Устройство состоит из 6 независимо работающих элементов. ВероятC
ности отказов каждого из элементов за время T одинаковы и равны p = 0,3.
Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказаC
ли хотя бы два элемента из шести.
1.5. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и незаC
висимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1600 испытаC
ниях событие наступит 1200 раз.

9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
277
2.1. В урне находится 5 белых и 10 черных шаров. Из урны вынимают 5
шаров одновременно. Какова вероятность того, что 2 из них окажутся бе'
лыми?
2.2. Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 человек знают анг'
лийский язык, 40 — французский и 35 — немецкий. Английский и фран'
цузский языки знают 20 студентов, английский и немецкий — 8, француз'
ский и немецкий — 10. Все три языка знают 5 человек. Один из студентов вышел из аудитории. Найти вероятность того, что: а) вышедший знает анг'
лийский или немецкий язык; б) вышедший не знает ни одного языка.
2.3. На сборку поступают детали из трех автоматов. Первый дает 30%,
второй — 50%, третий — 20% деталей данного типа, поступающих на сбор'
ку. Первый автомат дает 0,1% брака, второй — 0,2%, третий — 0,3%. Най'
ти вероятность поступления на сборку бракованной детали. Поступившая на сборку деталь оказалась бракованной, на каком автомате она вероятнее все'
го изготовлена?
2.4. Устройство состоит из 8 независимо работающих элементов. Вероят'
ности отказов каждого из элементов за время T одинаковы и равны p = 0,2.
Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказа'
ли хотя бы три элемента из восьми.
2.5. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и неза'
висимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1500 испыта'
ниях событие наступит 1000 раз.
3.1. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных,
наудачу извлекают три изделия для контроля. Найти вероятность того, что ровно одно изделие в полученной выборке является бракованным.
3.2. Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 человек знают английский язык, 40 — французский и 35 — немецкий. Английский и французский языки знают 20 студентов, английский и немецкий — 8,
французский и немецкий — 10. Все три языка знают 5 человек. Один из студентов вышел из аудитории. Найти вероятность того, что: а) вышед'
ший знает немецкий или французский язык; б) вышедший не знает ни одного языка.
3.3. На сборку поступают детали из трех автоматов. Первый дает 50%,
второй — 30%, третий — 20% деталей данного типа, поступающих на сбор'
ку. Первый автомат дает 0,2% брака, второй — 0,1%, третий — 0,3%. Най'
ти вероятность поступления на сборку бракованной детали. Поступившая на сборку деталь оказалась бракованной, на каком автомате она вероятнее все'
го изготовлена?
3.4. Устройство состоит из 5 независимо работающих элементов. Вероят'
ности отказов каждого из элементов за время T одинаковы и равны p = 0,1.
Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказа'
ли хотя бы два элемента из пяти.
3.5. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и неза'
висимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1200 испыта'
ниях событие наступит 800 раз.

278
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
4.1. Из урны, содержащей 10 шаров, из которых 3 белых и 7 черных,
наудачу отбирают 3 шара и откладывают в сторону. Найти вероятность того,
что среди отложенных шаров ровно 1 белый.
4.2. Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 человек знают анг8
лийский язык, 40 — французский и 35 — немецкий. Английский и фран8
цузский языки знают 20 студентов, английский и немецкий — 8, француз8
ский и немецкий — 10. Все три языка знают 5 человек. Один из студентов вышел из аудитории. Найти вероятность того, что: а) вышедший знает хотя бы один язык; б) вышедший знает два языка.
4.3. На сборку поступают детали из трех автоматов. Первый дает 40%,
второй — 40%, третий — 20% деталей данного типа, поступающих на сбор8
ку. Первый автомат дает 0,1% брака, второй — 0,1%, третий — 0,5%. Най8
ти вероятность поступления на сборку бракованной детали. Поступившая на сборку деталь оказалась бракованной, на каком автомате она вероятнее все8
го изготовлена?
4.4. Вероятность того, что расход электроэнергии на протяжении одних суток не превысит установленной нормы, равна p = 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.
4.5. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и неза8
висимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1000 испыта8
ниях событие наступит 800 раз.
5.1. Из урны, содержащей 12 шаров, из которых 4 белых и 8 черных,
наудачу отбирают 5 шаров и откладывают в сторону. Найти вероятность того,
что среди отложенных шаров равно 3 белых.
5.2. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сдан8
ным, если студент ответит не менее чем на три из четырех поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?
5.3. На сборку поступают детали из трех автоматов. Первый дает 30%,
второй — 20%, третий — 50% деталей данного типа, поступающих на сбор8
ку. Первый автомат дает 0,1% брака, второй — 0,3%, третий — 0,1%. Най8
ти вероятность поступления на сборку бракованной детали. Поступившая на сборку деталь оказалась бракованной, на каком автомате она вероятнее все8
го изготовлена?
5.4. Вероятность того, что расход электроэнергии на протяжении одних суток не превысит установленной нормы, равна p = 0,6. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 3 суток не превысит нормы.
5.5. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и неза8
висимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испыта8
ниях событие наступит 5 раз.
6.1. Из урны, содержащей 13 шаров, из которых 5 белых и 8 черных,
наудачу отбирают 6 шаров и откладывают в сторону. Найти вероятность того,
что среди отложенных шаров ро´вно 3 белых.

9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ