Рекомендовано
 Скачать 6.62 Mb.
|
|
258 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ что за смену потребуют внимания рабочего: 1) два станка; 2) только один станок; 3) хотя бы один станок. 20.2. Для поисков пропавшего самолета выделено четыре вертолета пер4 вого типа и шесть вертолетов второго типа. Каждый вертолет первого типа обнаруживает находящийся в районе поиска самолет с вероятностью 0,6, для вертолета второго типа эта вероятность равна 0,7. а) Найти вероятность того, что наудачу выбранный вертолет обнаружит самолет. б) Вероятнее к какому типу принадлежит вертолет, обнаруживший про4 павший самолет? 20.3. Всхожесть семян огурцов составляет 80%. Найти вероятность того, что из шести посеянных семян взойдет: 1) пять; 2) не менее пяти; 3) не более пяти. 20.4. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение минуты равна 0,003. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на четырех веретенах. 20.5. На полке находится 12 книг, расставленных в произвольном поряд4 ке. Из них 4 книги — по теории вероятностей; 3 — по математическому ана4 лизу и 5 — по линейной алгебре. Студент случайным образом достает три книги. Найти вероятность того, что он выбрал не менее двух книг по теории вероятностей. 21.1. В двух коробках находятся детали: в первой — 20, из которых 18 стандартных; во второй — 30, из которых 25 стандартных. Из каждой короб4 ки наудачу берут по одной детали. Найти вероятность того, что среди ото4 бранных деталей будет: 1) две нестандартных; 2) одна нестандартная; 3) две стандартных. 21.2. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс вокзала A или в одну из пяти касс вокзала B. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира в кассах вокзала A имеются в продаже билеты, равна 0,6; для вокзала B эта вероятность равна 0,5. а) Найти вероятность того, что в кассе наудачу выбранного вокзала пас4 сажир купит билет. б) Пассажир купил билет. Вероятнее всего в кассе какого вокзала куплен билет? 21.3. В среднем 20% открывающихся малых предприятий становятся банкротами в течение первого года своей деятельности. Найти вероятность того, что из 6 малых предприятий, открывшихся в начале года, к концу года обанкротятся: 1) хотя бы одно; 2) одно предприятие; 3) более трех пред4 приятий. 21.4. В новом микрорайоне поставлено 500 кодовых замков на входные двери домов. Вероятность выхода из строя для каждого замка в течение меся4 ца равна 0,002. Найти вероятность того, что за месяц откажут четыре замка. 21.5. Среди 17 студентов группы, из которых восемь девушек, разыгры4 вается семь билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей биле4 тов окажутся четыре девушки? 9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 259 22.1. Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок выйдет из строя в течение смены, равна 0,1, для второго и третьего станков эти вероятности соответственно равны 0,2 и 0,3. Найти ве& роятность того, что в течение смены выйдут из строя: 1) не менее двух стан& ков; 2) два; 3) три. 22.2. В магазин поступили арбузы из трех овощеводческих хозяйств в количественном соотношении 2 : 2 : 1. Вероятность того, что арбуз, посту& пивший из первого хозяйства, окажется неспелым, равна 0,3; для арбузов из второго хозяйства эта вероятность равна 0,2; для арбузов из третьего хозяй& ства — 0,1. Посетитель магазина выбрал для покупки наудачу один арбуз. а) Найти вероятность того, что купленный арбуз окажется спелым. б) Купленный арбуз оказался спелым. Вероятнее всего в каком из овоще& водческих хозяйств он был выращен? 22.3. По оценке туристического агентства 60% всех туристических групп, пользующихся его услугами, являются англоязычными. В агентстве ожида& ется прибытие шести групп. Найти вероятность того, что из прибывающих групп англоязычными будут: 1) четыре группы; 2) не более двух; 3) менее двух. 22.4. На станциях отправления пригородных электропоездов находится 1000 автоматов для продажи железнодорожных билетов. Вероятность выхо& да из строя одного автомата в течение одного часа равна 0,004. Найти вероят& ность того, что в течение одного часа из строя выйдут два автомата. 22.5. В ящике 10 деталей, из которых три являются нестандартными. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что одна из взя& тых деталей оказалась нестандартной. 23.1. В магазин от разных поставщиков поступают четыре партии мебе& ли. Вероятности того, что партии будут доставлены в срок, соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что из этих четырех партий будут доставлены в срок: 1) менее двух; 2) хотя бы одна; 3) одна. 23.2. По оценке кредитной компании 10% ее потенциальных клиентов относятся к группе лиц с повышенным риском невозврата кредита. Лицам, входящим в эту группу, удается получить кредит в 20% случаев; остальные клиенты кредитной компании получают кредит в 70% случаев. а) Найти вероятность того, что клиент, обратившийся в компанию, полу& чит кредит. б) Какова вероятность того, что клиент, получивший кредит, относится к группе лиц с повышенным риском невозврата кредита? 23.3. Игрок набрасывает кольца на колышек. Вероятность удачи в каж& дом броске равна 0,1. Найти вероятность того, что из шести колец на колы& шек попадут: 1) два кольца; 2) хотя бы два кольца. 3) Найти наивероятней& шее число попаданий при бросании 6 колец на колышек. 23.4. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что про& данная пара обуви окажется бракованной и будет возвращена в магазин, рав& на 0,005. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви в магазин будет возвращено три пары. 260 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ 23.5. В ящике имеется 20 одинаковых деталей, среди которых 2 детали изготовлены на заводе № 1, 13 — на заводе № 2 и 5 — на заводе № 3. Из ящика случайным образом вынимают три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна деталь из трех отобранных будет изготовлена на заводе № 1. 24.1. Для сигнализации о возгорании установлено два независимо рабо8 тающих датчика. Вероятность того, что при возгорании первый датчик сра8 ботает, равна 0,9, для второго эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что при возгорании сигнал поступит: 1) от двух датчиков; 2) ни от одно8 го датчика; 3) хотя бы от одного. 24.2. На сборку поступают детали с трех автоматов, причем с первого — 50%, со второго — 40% и с третьего — 10% всех деталей. Вероятность по8 явления брака для первого автомата равна 0,02, для второго автомата — 0,03 и для третьего — 0,04. а) Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется брако8 ванной. б) Взятая наудачу деталь оказалась бракованной. Вероятнее всего с како8 го автомата поступила деталь? 24.3. Вероятность торпедировать судно одной торпедой равна 0,2. Вы8 пущено пять торпед. Какова вероятность того, что будет иметь место: 1) хотя бы одно попадание в судно; 2) менее двух попаданий; 3) более двух попаданий? 24.4. Для поступления в университет необходимо успешно сдать вступи8 тельные экзамены. В среднем их успешно сдают лишь 64% абитуриентов. В при8 емную комиссию университета поступило 900 заявлений. Найти вероятность того, что хотя бы 540 абитуриентов успешно сдадут вступительные экзамены. 24.5. В коробке находится 35 шоколадных конфет, среди которых 15 кон8 фет с шоколадно8ореховой начинкой, 12 — с помадно8сливочной начинкой, 8 — с земляничным желе. Наудачу из коробки вынимают три конфеты. Най8 ти вероятность того, что хотя бы две из выбранных конфет будут с землянич8 ным желе. 25.1. Абитуриент сдает два вступительных экзамена: по математике и физике. Вероятность получения пятерки по математике для него равна 0,8, по физике — 0,6. Найти вероятность того, что абитуриент получит «пять»: 1) на двух экзаменах; 2) хотя бы на одном экзамене; 3) ни на одном из экза8 менов. 25.2. В конкурсе на лучшую курсовую работу участвуют 20 студентов пер8 вого курса, 22 студента второго курса и 18 студентов третьего курса. Шансы на победу для студента первого курса оцениваются в 50%, для студента вто8 рого курса — в 60%, для студента третьего курса — в 70%. а) Найти вероятность того, что случайно выбранный студент победит в конкурсе. б) Найти вероятность того, что в конкурсе победил студент второго курса. 25.3. Телевизионный канал СТС оценивает вероятность того, что теле8 зритель увидит новую развлекательную программу в 0,3. Случайным обра8 9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 261 зом выбраны шесть телезрителей. Найти вероятность того, что из них увиде$ ли новую развлекательную программу СТС: 1) три человека; 2) более трех; 3) не менее трех. 25.4. Вероятность задержки вылета самолета по каким$либо причинам равна 0,25. Найти вероятность того, что в предстоящих 243 вылетах про$ изойдет не более 54 задержек. 25.5. В коробке находятся фломастеры: 4 синих, 3 красных и 5 зеленых. Из коробки наудачу вынимают четыре фломастера. Найти вероятность того, что среди выбранных фломастеров не менее двух красных. 26.1. В микрорайоне города расположено четыре магазина, реализующих бытовую технику. Вероятности того, что в продаже в данный момент имеют$ ся кондиционеры марки LG, для этих магазинов соответственно равны 0,7; 0,6; 0,9; 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент кондиционеры этой марки имеются в ассортименте: 1) четырех магазинов; 2) хотя бы одно$ го из магазинов; 3) ни одного из магазинов. 26.2. В каждом из двух ящиков содержится 2 нестандартных и 8 стан$ дартных деталей. Из второго ящика наудачу извлечена одна деталь и перело$ жена в первый ящик, после чего из первого ящика берут деталь. а) Найти вероятность того, что деталь, извлеченная из первого ящика, окажется стандартной. б) Найти вероятность того, что из второго ящика была вынута нестан$ дартная деталь, если из первого вынули стандартную. 26.3. Торговый агент из опыта работы знает, что потенциальный покупа$ тель совершает покупку в 25% случаев. Найти вероятность того, что из вось$ ми потенциальных покупателей, с которыми в течение дня торговому агенту предстоит работать, покупку совершат: 1) два человека; 2) хотя бы два чело$ века; 3) менее двух. 26.4. Гроссмейстер дает сеанс одновременной игры на 25 досках. Вероят$ ность того, что участник сеанса выиграет у гроссмейстера, равна 0,1. Найти вероятность того, что гроссмейстер выиграет 21 партию в этом сеансе. 26.5. На 9 одинаковых карточках написаны буквы, образующие слово «дис$ персия», по одной букве на каждой карточке. Карточки перевернуты буквами вниз и перемешаны. Наудачу выбирают четыре карточки. Найти вероятность того, что на выбранных карточках будет менее трех гласных букв. 27.1. Три студента независимо друг от друга пытаются в течение одно$ го часа решить одну и ту же задачу. Вероятность того, что первый студент успеет решить задачу за один час, равна 0,6; для второго студента эта вероятность равна 0,9; для третьего — 0,7. Найти вероятность того, что за один час задача будет решена: 1) тремя студентами; 2) хотя бы одним; 3) ни одним. 27.2. Из продаваемого в магазине молока 40% поставляет компания «До$ мик в деревне» и 60% — компания «Веселый молочник». В среднем 9 из 1000 пакетов молока первого поставщика и 1 из 250 пакетов второго постав$ щика не выдерживают транспортировку. 262 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ а) Найти вероятность того, что случайно выбранный в магазине пакет молока не выдержал транспортировку. б) Найти вероятность того, что пакет, не выдержавший транспортиров1 ку, изготовлен компанией «Домик в деревне». 27.3. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса была допущена ошибка, равна 0,2. Аудитору для проверки предоставлено шесть балансов предприятия. Найти вероятность того, что положительных заклю1 чений на проверяемые балансы будет: 1) четыре; 2) не менее четырех; 3) бо1 лее четырех. 27.4. Всхожесть семян дыни составляет 75%. Найти вероятность того, что из 1200 посаженных семян будет не менее 870 проросших. 27.5. Из корзины, содержащей 4 белых, 3 желтых и 5 красных роз, слу1 чайным образом выбирают 7 роз для составления букета. Найти вероятность того, что в букете красных роз будет в два раза больше, чем белых. 28.1. В магазин вошли три посетителя. Вероятность того, что первый из них совершит покупку, равна 0,6; для второго эта вероятность равна 0,4; для третьего — 0,5. Найти вероятность того, что из этих посетителей покупку совершат: 1) двое; 2) хотя бы двое; 3) менее двух. 28.2. В сеансе одновременной игры в шахматы с гроссмейстером играют 10 перворазрядников и 15 второразрядников. Вероятность того, что в этом сеансе у гроссмейстера выиграет перворазрядник, равна 0,2; для второраз1 рядника эта вероятность равна 0,1. а) Найти вероятность того, что случайно выбранный участник сеанса вы1 играет у гроссмейстера. б) Участник выиграл у гроссмейстера. Найти вероятность того, что это был второразрядник. 28.3. В лифт одиннадцатиэтажного дома на первом этаже вошли пять че1 ловек. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из эта1 жей, начиная со второго. Найти вероятность того, что на шестом этаже из лифта выйдут: 1) два человека; 2) хотя бы один; 3) ни один. 28.4. В жилом доме имеется 600 ламп. Вероятность включения для каж1 дой из них в вечернее время равна 0,6. Найти вероятность того, что включен1 ных в ближайший вечер ламп будет не менее 282 и не более 336. 28.5. В магазин поступили 15 женских шуб, 4 из которых имеют скры1 тый производственный дефект. В течение дня из них было продано 3 шубы. Найти вероятность того, что хотя бы две из них не имеют скрытого дефекта. 29.1. Анализ деятельности трех банков выявил, что надежность первого бан1 ка в течение ближайшего года будет составлять 70%; надежность второго — 80%; надежность третьего — 90%. Найти вероятность того, что за ближайший год из этих банков обанкротятся: 1) три; 2) менее двух; 3) хотя бы один. 29.2. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропор1 ции 2 : 3. Доля продукции высшего качества для первого завода составляет 90%, для второго — 80%. Покупатель случайным образом выбирает одну банку консервов. 9. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 263 а) Найти вероятность того, что выбранная банка консервов имеет отлич ное качество. б) Выбранная банка консервов оказалась отличного качества. Вероятнее всего на каком из заводов она изготовлена? 29.3. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину в одном броске равна 0,7. Баскетболист собирается сделать шесть бросков в корзину. 1) Найти наивероятнейшее число K 0 попаданий в корзину при шес ти бросках. 2) Найти вероятность того, что баскетболист попадет в корзину: а) K 0 раз; б) хотя бы один раз. 29.4. К пульту охранной системы микрорайона подключено 4000 датчи ков. Вероятность появления тревожного сигнала датчика в данный момент для каждого из них равна 0,0005. Найти вероятность того, что в данный момент сигналы поступят от трех датчиков. 29.5. На склад привезли 12 одинаковых коробок с комплектующими из делиями для компьютеров: 10 коробок — для компьютеров вида A и две ко робки комплектующих — для компьютеров вида B. Наудачу выбрали пять коробок. Найти вероятность того, что хотя бы в одной из них окажутся дета ли для компьютеров типа B. 30.1. Вероятности своевременного выполнения задания тремя независи мо работающими предприятиями соответственно равны 0,5; 0,6; 0,9. Найти вероятность того, что задание своевременно будет выполнено: 1) тремя пред приятиями; 2) хотя бы двумя; 3) ни одним. 30.2. Вероятность того, что клиент банка не вернет кредит в период эко номического роста, равна 0,05; а в период экономического кризиса — 0,15. По мнению экспертов, вероятность того, что предстоящий год будет годом экономического роста, равна 0,8; а годом кризиса — 0,2. а) Найти вероятность того, что случайно выбранный клиент банка, полу чивший кредит в текущем году, не вернет его в предстоящем году. б) Клиент не вернул кредит. Найти вероятность того, что это произошло в период экономического кризиса. 30.3. Игральную кость бросают пять раз. Найти вероятность того, что шесть очков на верхней грани при этом выпадет: 1) два раза; 2) более двух раз; 3) менее двух раз. 30.4. Тираж книги — 10 000 экземпляров. Вероятность того, что данный экземпляр книги сброшюрован неправильно, равна 0,0002. Найти вероят ность того, что тираж содержит менее трех бракованных книг. 30.5. Территория острова является заповедником. На острове обитают 20 сайгаков. Для мониторинга состояния здоровья животных сначала отлови ли пять сайгаков, осмотрели их, пометили и отпустили. Через некоторое время отловили семь сайгаков. Найти вероятность того, что среди отловлен ных во второй раз сайгаков окажется не менее четырех помеченных. 264 МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ ИДЗ 28. ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1.1. В семье 5 детей, имеющих разные даты рождения. Предполагая рав/ новероятными рождение мальчика и рождение девочки, составить закон распределения случайной величины X, которая равна числу мальчиков в этой семье. Найти F(x), M(X), D(X), s(X). 1.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X, принимающей два возможных значения x 1 и x 2 ; если x 1 < x 2 , M(X) = 3,4, D(X) = 0,64, вероятность возможного значения x 1 равна p 1 = 0,8. 1.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят/ ностей 5 0, 1, ( ) , 1. x f x A x x 1 23 4 5 6 37 Определить: а) параметр A; б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X), s(X); г) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях случай/ ная величина X попадет три раза в интервал (0; 2). 2.1. Из партии в 25 изделий, среди которых имеется 6 нестандартных, выбрано случайным образом для проверки их качества 3 изделия. Найти F(x), M(X), D(X), s(X) случайной величины X — числа нестандартных изделий, содержащихся в выборке. 2.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X, принимающей два возможных значения x 1 и x 2 ; если x 1 < x 2 , M(X) = 2,2, D(X) = 0,36 и вероятность возможного значения x 1 равна p 1 = 0,9. 2.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят/ ностей 0, 2, ( ) , 2 6, 0, 6. x f x Ax x x 1 2 3 4 5 5 6 3 7 8 Определить: а) параметр A, б) функцию распределения F(x); в) M(X), D(X), s(X); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная величина X попадет два раза в интервал (4; 7). 3.1. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Веро/ ятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым — 0,4. Соста/ вить закон распределения числа попаданий в мишень. Найти F(x), M(X), D(X), s(X). 3.2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X, принимающей два возможных значения x 1 и x 2 ; если x 1 < x 2 , M(X) = 5,5, D(X) = 2,25 и вероятность возможного значения x 1 равна p 1 = 0,1. 3.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят/ ностей |