Рекомендовано

• Название: Рекомендовано
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 6.62 Mb.
• Имя файла: Matematika_dlya_ekonomistov_Sbornik_zadaniy_by_Nalivayko_L_V_Iva.pdf
• Тип: Учебное пособие; #577094
• страница: 29 из 62

205
2 3
2
arctg
18.3.
1
x
dx
x
1 2
3 2
18.4.
ln
x
x dx
1 2
18.5.
1
dx
x
x
1 2
3 18.6. sin5 cos3
x
x dx
1 2
sin5 19.1.
1 cos 5
x
dx
x
1 2
19.2. arctg
x dx
1 2
4 19.3.
2 3
x
dx
x
x
1 1
2 3
4 19.4.
1
dx
x
1 2
2 2
19.5.
4
x dx
x
1 2
3 2
sin
1 19.6.
cos
x
dx
x
1 2
2 2
3 2ctg
20.1.
cos
x
dx
x
1 2
2
(
2)
20.2.
4 4
3
x
dx
x
x
1 2
1 3
2 20.3.
sin
xdx
x
1 3
20.4.
dx
x
x
1 2
4 20.5. ctg
x dx
1 2
3 1
20.6.
(
1) (
3)
x
dx
x
x
1 2
1 3
3 2
3 3
5 1
21.1.
x
x
x
dx
x
x
1 1
1 1
2 2
5 3
21.2.
2 8
1
x
dx
x
x
1 2
2 3
6 3
21.3.
1
x
dx
x
1 2
21.4.
4sin
3cos
5
dx
x
x
1 1
2 4
21.5.
2 5
xdx
x
1 2
21.6. (
1)
x
x
e dx
1 2 3
22.1.
(
7)
dx
x x
1 2
2 22.2. (
2 3) cos
x
x
x dx
1 1
2 2
3 2
(3 6)
22.3.
3 3
x
x
dx
x
x
x
1 2 1
2 1
3 2
22.4.
2 2
5
xdx
x
x
1 1
2 4
4 22.5.
16
x dx
x
1 2
2 4
22.6. sin cos
x
x dx
1 2
2 23.1.
(1
)(arctg
3)
dx
x
x
1 2
3 2
3 2
23.2.
4 12
x
dx
x
x
1 2
1 3

206
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
3
ln
23.3.
x dx
x
1 3
2 23.4.
(7
)
x
dx
x
1 1
2 2
3 23.5.
x
dx
x
1 2
4 23.6. (1 sin
)
x dx
1 2
2 3
24.1.
cos
(1 tg )
dx
x
x
1 2
2 4
24.2.
7 6
x
dx
x
x
1 1
2 3
2 24.3.
sin2
x
e
x dx
1 2
2 3
2
(
1)
24.4.
2
x
dx
x
x
x
1 2
2 3
24.5.
5 3cos
dx
x
1 2
3 3
24.6.
(
)
x dx
x
x
x
1 2
2 4
25.1.
5
x
x
e
dx
e
1 2
4 2
25.2.
dx
x
x
1 2
2
(5 3)
25.3.
5 4
x
dx
x
x
1 1
2 3
25.4.
2 9
dx
x
x
1 2
2 25.5. ln(
1)
x
dx
1 2
25.6.
3 5sin
3cos
dx
x
x
1 1
2 2
2 3
26.1.
x
x
dx
e
1 2
2 26.2.
3
dx
x
x
1 1 2
5 26.3.
ln
dx
x
x
1 4
3 2
26.4.
6 9
dx
x
x
x
1 2
3 1
26.5.
2 1
x
dx
x
1 1
2 3
sin
26.6.
1 cos
x dx
x
1 2
27.1. (
2) ln
x
x dx
1 2
2 5
27.2.
(
3)(
2)
x
x
dx
x x
x
1 1 1
2 3
2 2
3 27.3.
5 7
x
dx
x
x
1 2
1 3
27.4.
1 1
dx
x
1 1 2
2 27.5.
(1
) arcsin
dx
x
x
1 2
3 3
27.6.
tg 3
dx
x
1 81 3
28.1.
9
x
x
x
dx
1 2
2 1 2 28.2.
1 6 3
x
dx
x
x
1 1
2 3

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
207
28.3.
1 2
1
xdx
x
1 1
2 28.4. sin(ln )
x dx
1 2
4 2
3 28.5.
5 6
x
dx
x
x
1 1
2 3
28.6.
2sin cos
dx
x
x
1 2
2 29.1. 2 3
x
x
dx
1 29.2. arcsin
x dx
1 2
1 29.3.
5 2
1
x
dx
x
x
1 1
1 2
2 3
29.4.
(
2)(
1)
x
dx
x
x
x
1 1
1 1 2
4 29.5.
1 2 1 2
dx
x
x
1 1
1 2
3 29.6. (tg ctg )
x
x dx
1 2
3
sin
30.1.
7 2cos
x dx
x
1 2
2 30.2.
ln(
1)
x
x
dx
1 2
2 3
1 30.3.
4 8
x
dx
x
x
1 1
2 3
6 3
2
(
1)(
1)
30.4.
x
x
dx
x
1 2
3 3
30.5.
sin
dx
x
1 4
4 2
2 30.6.
1
x
x
dx
x
1 2
2 3

8.
РЯДЫ
Ч
исловым рядом
называется выражение
1 2
1
,
n
n
n
a
a
a
a
1 2
3 3 3 3
2 4
(1)
где числа a
1
, a
2
, ..., называемые членами ряда, образуют числовую последо
вательность; a
n
= f(n), n = 1, 2, ..., называется общим или nм членом ряда.
Сумма конечного числа n первых членов ряда называется его nй частич
ной суммой
:
S
n
= a
1
+ a
2
+ ... + a
n
Числовой ряд (1) называется сходящимся, если существует lim
,
n
n
S
S
12 3
а конечное число S называется суммой этого ряда. Если lim
n
n
S
12
не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.
Необходимый признак сходимости ряда: если ряд (1) сходится, то его nй член стремится к нулю при n
® ¥, т. е. lim
0.
n
n
a
12 3
Признак сравнения I. Пусть кроме ряда (1) имеем ряд
1 2
1
n
n
n
b
b
b
b
1 2
3 3 3 3 2 4
(2)
Если при n
³ n
0
выполняется неравенство
0
£ a
n
£ b
n
,
то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
В частности, если a
n
эквивалентно b
n
при n
® ¥, т. е. lim
1,
n
n
n
a
b
12 3
то ряды с положительными членами (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

8. РЯДЫ
209
Признак сравнения II. Если
1
n
p
a
O
n
1 2
3 4 5
6 7
при n
® ¥, т. е.
12 3
lim
,
p
n
n
a n
A
где A — конечное число, то при p > 1 ряд (1) схо
дится, а при p
£ 1 ряд расходится.
Признак Даламбера. Если a
n
> 0 (n = 1, 2, ...) и
1
lim
,
n
n
n
a
q
a
1 23 4
то при q < 1 ряд (1) сходится, а при q > 1 ряд расходится.
Признак Коши. Если a
n
³ 0 (n = 1, 2, ...) и lim
,
n
n
n
a
q
12 3
то при q < 1 ряд (1) сходится, а при q > 1 ряд расходится.
Интегральный признак Коши. Если f(x) — непрерывная, неотрицатель
ная, невозрастающая функция для x > 0, то ряд
1
( )
n
f n
1 2
3
сходится или расхо
дится одновременно с интегралом
1
( )
f x dx
1 2
Ряд, членами которого являются действительные числа произвольного знака, называется знакопеременным. Знакопеременный ряд
1 2
1
n
n
n
c
c
c
c
1 2
3 3 3 3 2 4
(3)
сходится, если сходится ряд, составленный из модулей его членов, т. е. ряд
1 2
1
n
n
n
c
c
c
c
1 2
2 3
3 3 3
4
(4)
В этом случае ряд (3) называется абсолютно сходящимся. Если ряд (3)
сходится, а ряд (4) расходится, то ряд (3) называется условно сходящимся.
Знакопеременный ряд, у которого любые два соседних члена имеют раз
ные знаки, называется знакочередующимся.
Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд
1 1
( 1)
,
0,
n
n
n
n
a
a
1 2
3 4
5 6
сходится, если 1) a
n
³ a
n
+1
(n = 1, 2, ...); 2)
lim
0.
n
n
a
12 3
Если знакочередующийся ряд сходится, то остаток ряда
1 1
( 1)
t
n
t
t n
R
a
1 2
3 2 3
4 5
удовлетворяет неравенству |R
n
|
£ a
n
+1

210
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Ряд вида
1 2
1
( )
( ) ...
( ) ...
( ),
n
n
n
u x
u x
u
x
u
x
1 2
3 3 3 3 2 4
(5)
где u
i
(x), i = 1, 2, ..., n, ..., — функции, определенные на некотором множе+
стве X, называется функциональным рядом.
Сумма
1 1
2 2 2 1
3 1
2 1
( )
( )
( ) ...
( )
( )
n
n
n
i
i
S
x
u x
u x
u
x
u x
называется n+й частной суммой ряда (5).
При каждом конкретном x
0
Î X функциональный ряд (5) превращается в числовой ряд
1 0
2 0
0 0
1
(
)
(
) ...
(
) ...
(
),
n
n
n
u x
u x
u
x
u
x
1 2
3 3 3 3 2 4
(6)
который может оказаться сходящимся или расходящимся. Если числовой ряд (6) сходится, то говорят, что функциональный ряд (5) сходится в точ+
ке x
0
, и x
0
называется точкой сходимости. Если ряд (6) расходится, то x
0
называется точкой расходимости функционального ряда (5).
Совокупность значений x
Î X, при которых функциональный ряд (5)
сходится, называется областью сходимости этого ряда, а суммой ряда —
функция
1
( )
lim
( )
lim
( ).
n
n
i
n
n
i
S x
S x
u x
12 12 3 3
3 4
Степенным рядом
называется функциональный ряд вида
1 2
3 4
3 4
3 3 4
3 2
4 5
2 0
1 0
2 0
0 0
0
(
)
(
)
(
)
(
) ,
n
n
n
n
n
a
a x
x
a x
x
a
x
x
a
x
x
(7)
где a
0
, a
1
, a
2
, ..., a
n
, ... — действительные числа, называемые коэффициен
тами ряда
При x
0
= 0 степенной ряд принимает вид
2 0
1 2
0
n
n
n
n
n
a
a x
a x
a x
a x
1 2
3 3
3 3 3 2 4
(8)
Степенной ряд (8) всегда сходится по крайней мере в точке x = 0, а ряд (7) —
в точке x = x
0
. Ряд (8) называется рядом по степеням x, а ряд (7) — по степе+
ням x – x
0
. Ряд (7) принимает вид ряда (8) при соответствующей замене пере+
менных y = x – x
0
Теорема Абеля: если степенной ряд (8) сходится при x = x
0
, x
0
¹ 0, то он сходится абсолютно при всех x, удовлетворяющих условию |x| < |x
0
|. Если же ряд расходится при x = x
1
, то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x| > |x
1
|.
Радиусом сходимости
степенного ряда (8) называется неотрицательное число R такое, что при |x| < R ряд сходится, а при |x| > R — расходится. Ин+
тервал (–R, R) называется интервалом сходимости ряда.

8. РЯДЫ
211
Если степенной ряд (8) сходится на всей числовой оси, то R =
¥, если он сходится только при x = 0, то R = 0.
Радиус сходимости можно вычислить по одной из следующих формул:
1 1
lim
,
lim
|
|
n
n
n
n
n
n
a
R
R
a
a
12 3
12 4
4
Этими формулами вычисляется и радиус сходимости ряда (7), а интервал сходимости выражается в виде (x
0
– R; x
0
+ R).
Степенной ряд (8) сходится в интервале сходимости (–R; R), а на концах интервала сходимости, т. е. при x = –R, x = R, ряд может либо сходиться,
либо расходиться, и необходимо дополнительное исследование. Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда отдельно.
Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифферен*
цировать и интегрировать, при этом полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.
Если функция f(x) в некоторой окрестности точки x
0
имеет производные любых порядков, то степенной ряд
1 2
3 33 4
5 4
5 4 4 5
4 2 2
5 6
( )
0 0
0 2
0 0
0 0
( )
0 0
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1!
2!
!
(
)
(
)
!
n
n
n
n
n
f x
f x
f
x
f x
x
x
x
x
x
x
n
f
x
x
x
n
(9)
называется рядом Тейлора функции f(x) в точке x
0
Если x
0
= 0, то ряд
1 2
3 33 4
4 4 4 4
2 5
( )
( )
2 0
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
1!
2!
!
!
n
n
n
n
n
f
f
f
f
f
x
x
x
x
n
n
называется рядом Маклорена.
Ряд (9), составленный для функции f(x), как всякий степенной ряд будет иметь интервал сходимости и сумму, причем сумма может быть и не рав*
ной f(x).
Для сходимости ряда Тейлора (9) к функции f(x) необходимо и достаточ*
но выполнение условия lim
( )
0,
n
n
R
x
12 3
где R
n
(x) — остаток ряда, который можно представить в виде
(
1)
1 0
0 0
( )
( )
(
)
,
(
), 0 1.
(
1)!
n
n
n
f
b
R
x
x
x
b
x
k x
x
k
n
1 1
2 3
2 1
3 4 4 1
Если функция f(x) является суммой степенного ряда в каком*либо проме*
жутке, то говорят, что f(x) в этом промежутке разлагается в степенной ряд.

212
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
Практически важное достаточное условие разложения функции в ряд
Тейлора выражается следующей теоремой: если производные любого поряд2
ка функции f(x) ограничены в окрестности точки x
0
одним и тем же чис2
лом C, т. е. |f
(n)
(x)|
£ C для всех n, то ряд Тейлора этой функции сходится к
f
(x) для любого x из этой окрестности.
Если функция f(x) разложима в ряд Тейлора, то это разложение единст2
венное.
Приведем разложения в степенной ряд некоторых элементарных функций:
2 3
2 1
1 2
2 2
2 1
... (
);
1!
2!
!
sin
... ( 1)
... (
);
1!
3!
(2 1)!
cos
1
... ( 1)
... (
);
2!
(2 )!
(
1)
(
1)
(
1)
(1
)
1
... ( 1 1);
2!
!
ln(1
)
n
x
n
n
n
n
m
n
x
x
x
e
x
n
x
x
x
x
x
n
x
x
x
x
n
m m
m m
m
n
x
mx
x
x
x
n
x
x
x
1 1
2 3 3 3 3 3
14 5 5 34 2 1 3 3 1 3
14 5 5 34 1
2 1 3 3 1 3
14 5 5 34 1
1 6 1 3 3
2 3 3
3 3 3
1 5 5 3
2 1 3
1
... ( 1)
... ( 1 1).
2 3
n
n
x
x
x
n
1 3
1 3 1 3
1 5 5
Разложение функций в степенные ряды позволяет применять эти ряды для приближенного вычисления значений функций, определенных интегралов, ре2
шения дифференциальных уравнений. Для вычисления приближенного зна2
чения функции в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов, а остальные члены отбрасывают. Чтобы получить погрешность найденного при2
ближенного значения, нужно оценить сумму отброшенных членов.