Рекомендовано

• Название: Рекомендовано
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 6.62 Mb.
• Имя файла: Matematika_dlya_ekonomistov_Sbornik_zadaniy_by_Nalivayko_L_V_Iva.pdf
• Тип: Учебное пособие; #577094
• страница: 19 из 62

119
Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, необходимо:
1) найти стационарные точки функции, расположенные в данной облас4
ти, и вычислить значения функции в этих точках;
2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, обра4
зующих границу области;
3) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
ИДЗ 14.
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Найти
0 0
0
(
),
(
),
(
).
x
y
z
f M
f M
f M
1 1
1 2
0 1. ( , , )
arctg(
);
(2;1; 0).
f x y z
xy
z
M
1 2
2 2
0 2. ( , , )
;
(1; 0;1).
x
f x y z
y
z
M
1 2
2 0
3. ( , , )
arcsin
;
(2;5; 0).
x
f x y z
z
y
M
1 2
3 4
5 6
7 8
2 2
0 4. ( , , )
;
( 2, 2, 2).
z
f x y z
x
y
M
1 2
3 3
3 3
0 5. ( , , )
ln(
2
);
(2;1; 0).
f x y z
x
y
z
M
1 2
3 0
6. ( , , )
ln
;
2
(1;2;1).
y
f x y z
x
z
M
1 2
3 4
5 6
7 8
1 2 2
2 0
7. ( , , )
ln cos(
);
0; 0;
4
f x y z
x y
z
M
3 4
5 1 2 0
8. ( , , )
(sin )
;
;1;2 .
6
yz
f x y z
x
M
3 4
2 3
3 0
9. ( , , )
27
;
(3; 4;2).
f x y z
x
y
z
M
1 2
2 2
2 0
10. ( , , )
;
(0; 1;1).
z
f x y z
x
y
M
1 2
3 2
2 2
0 1
11. ( , , )
;
(1;2;2).
f x y z
x
y
z
M
1 2
3 2
2 0
12. ( , , )
;
( 1;1; 0).
y
f x y z
x
z
M
1 2
3 1
2 0
13. ( , , )
ln sin
2
;
4
(1; 0,5; ).
z
f x y z
x
y
M
3 4
5 6
0 14. ( , , )
sin ;
(2; 0; 4).
y
f x y z
z
x
M
1 1
2 3
2 0
15. ( , , )
;
(0,25; 4; 1).
xy
f x y z
z
y
M
3 4
2 0
16. ( , , )
arctg
;
(2;1;1).
xz
f x y z
y
M
1 2
2 2
0
ln(
)
17. ( , , )
;
(5;2;3).
x
y
f x y z
x
z
M
1 2
1 0
18. ( , , )
;
(1;2; 4).
y
f x y z
z x
M
1 2
þ

120
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
3 3
0 19. ( , , )
ln(
);
(2;1; 8).
f x y z
x
y
z
M
1 2
3 4
2 0
20. ( , , )
;
(2;3;25).
z
f x y z
x
y
M
1 2
3 2
5 0
21. ( , , )
8
;
(3;2;1).
f x y z
x
y
z
M
1 2
2 1
2 0
sin(
)
22. ( , , )
;
;
;
3 .
2 3
x
y
f x y z
z
M
3 4
5 5 2
2
(
)
2 0
23. ( , , )
;
(0;0;1).
x
y
f x y z
z e
M
1 2
3 4 2
2 0
2 24. ( , , )
;
(3; 0;1).
x
f x y z
y
z
M
1 2
3 5
4 0
25. ( , , )
ln(
);
(1;1;1).
f x y z
x
y
z
M
1 2
3 0
26. ( , , )
;
(3;1;1).
xz
f x y z
x
y
M
1 2
0 27. ( , , )
ln(
);
(4;1; 4).
f x y z
z
x
y
M
1 2
0 28. ( , , )
;
(1;1;2).
y
z
x
f x y z
x
y
z
M
1 2 3 2
0 29. ( , , )
arcsin(
)
;
(0; 4;1).
f x y z
x y
yz
M
1 2
0 30. ( , , )
;
( 1; 0;1).
xy
f x y z
ze
M
1 2
1
2. Найти
du
dt
при t = t
0 2
3 0
1.
,
sin ,
,
0.
x
y
u
e
x
t y
t
t
1 2
2 2
2 2
3 0
2.
,
sin ,
,
0.
y
x
u
e
x
t y
t
t
1 2
2 2
2 2
2 0
3.
,
sin ,
cos ,
2
y
x
u
e
x
t y
t t
1 2 3
4 4
4 4
2 1
0 4.
,
cos ,
sin ,
2
y
x
u
e
x
t y
t t
1 1 2
3 3
3 3
2 0
5.
,
sin ,
cos ,
2
y
u
x e
x
t y
t t
1 2
2 2
2 2
0 6.
,
sin ,
cos ,
x
u
y e
x
t y
t t
1 1
1 1 2 0
7.
,
,
ln ,
1.
y
t
u
x
x
e
y
t t
1 1
1 1
2 0
8.
,
ln(
1),
,
2.
t
x
u
y
x
t
y
e
t
1 1
2 1
1 2
3 0
9.
ln(
),
,
,
1.
x
y
u
e
e
x
t
y
t
t
1 2
1 1
1 2
3 0
10.
ln(
),
,
,
1.
x
y
u
e
e
x
t
y
t
t
1 2
3 2
2 2 1 2
2 4
0 11.
ln(
),
,
,
1.
x
y
u
e
e
x
t
y
t
t
1 2
1 1
1 2
3 0
12.
ln(
),
,
,
1.
x
y
u
e
e
x
t
y
t
t
1 2
3 2
2 2 1
þ

6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
121
3 2
2 0
13.
ln(
),
,
,
1.
3
x
y
t
u
e
e
x
t
y
t
1 1
2 3
2 2
2 0
14.
arcsin ,
sin ,
cos ,
x
u
x
t y
t t
y
1 1
1 1 2 2
0 15.
arcsin
,
sin ,
cos ,
x
u
x
t y
t t
y
1 1
1 1 2 2
2 0
16.
arcsin ,
,
1,
1.
x
u
x
t
y
t
t
y
1 1
1 2
1 0
2 17.
arcsin
,
sin ,
cos ,
x
u
x
t y
t t
y
1 1
1 1 2 0
18.
arcsin
,
sin ,
cos ,
2
x
u
x
t y
t t
y
1 1
1 1 2 0
2 19.
arccos
,
sin ,
cos ,
x
u
x
t y
t t
y
1 1
1 1 2 0
20.
arccos
,
sin ,
cos ,
2 3
x
u
x
t y
t t
y
1 2
2 2
2 2
0 21.
3,
ln ,
,
1.
u
x
y
x
t y
t
t
1 2 2 1
1 1
2 2
0 22.
3,
ln ,
,
1.
u
x
y
x
t y
t
t
1 2 2 1
1 1
2 2
0 23.
3,
ln ,
,
1.
u
x
y
x
t y
t
t
1 2
2 1
1 1
2 2
3 0
24.
3,
ln ,
,
1.
u
x
y
x
t y
t
t
1 2
2 1
1 1
2 0
25.
,
,
1
,
0.
t
t
y
u
x
e
y
e
t
x
1 1
1 2 1
2 0
26.
,
,
2
,
0.
t
t
x
u
x
e
y
e
t
y
1 1
1 2 1
2 0
27.
,
1 2 ,
arctg ,
0.
1
x
u
x
t y
t t
y
1 1 2 1
1 3
2 0
2 3
28.
,
,
arctg ,
0.
1
t
x
u
x
e
y
t t
y
1 1
1 1
2 0
29.
,
sin ,
cos ,
4
y
x
u
x
t y
t t
x
y
1 2 3 2
2 2
2 0
30.
,
sin2 ,
tg ,
4
y
x
u
x
t y
t t
x
y
1 2 3 4 2
2 2

122
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
3. Найти и
z
z
x
y
1 1
1 1
в точке M
0 1. z
2
= xy – z + x
2
– 4, M
0
(2; 1; 1).
2. x
2
– y
2
– z
2
+ 6z + 2x – 4y + 12 = 0, M
0
(0; 1; –1).
3. x
3
+ 3xyz – z
3
= 27, M
0
(3; 1; 3).
4. x
2
– 2xy – 3y
2
+ 6x – 2y + z
2
– 8z + 20 = 0, M
0
(0; –2; 2).
5. x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy – yz – 4x – 3y – z = 0, M
0
(1; –1; 1).
6. x
2
+ y
2
+ z
2
– 2xy – 2xz – 2yz = 17, M
0
(–2; –1; 2).
2 2
2 0
7.
3 3,
(4;3;1).
x
y
z
z
M
1 1
2 3
8. ln z = 2y + z + ln 3 – 6 + x, M
0
(1; 1; 3).
9. x
2
+ 2y
2
+ 3z
2
= 59, M
0
(3; 1; 4).
10. x
2
+ y
2
– z
2
= y + z + 3, M
0
(1; 2; 0).
11. x
2
+ y
2
– z
2
– xy = 0, M
0
(–1; 0; 1).
12. 2x
2
+ 2y
2
+ z
2
– 8xz – z + 6 = 0, M
0
(2; 1; 1).
1 2
0 13. cos cos cos
,
0;
;
2 2
x
y
y
z
z
x
M
3 3
4 4
5 3
14. x
3
+ 2y
3
+ z
3
– 3xyz – 2y – 15 = 0, M
0
(1; –1; 2).
15. x
2
– 2y
2
+ 3z
2
– yz + y = 2, M
0
(1; 1; 1).
16. 3x
2
y
2
+ 2z
2
xy
– 2zx
3
+ 4zy
3
– 4 = 0, M
0
(2; 1; 2).
17. xz = 3x – 2y + z, M
0
(2; 1; –1).
1 2
2 2
2 0
3 3
18. cos cos cos
,
;
;
2 4
4 4
x
y
z
M
3 3 3 4
4 5
19. e
z
– xyz – x + 1 = 0, M
0
(2; 1; 0).
20. x
2
– 2y
2
+ z
2
– 4x + 2z + 2 = 0, M
0
(1; 1; 1).
21. x
2
+ y
2
+ z
2
– z – 4 = 0, M
0
(1; 1; –1).
22. e
z
–1
= cos x
× cos y + e
x
– z,
1 2 0
0;
; 1 .
2
M
3 23. x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xz = 5, M
0
(0; 2; 1).
24. x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz = 4, M
0
(2; 1; 1).
25. e
z
+ x + 2y + z = 4, M
0
(1; 1; 0).
26. xyz = x + y + z + 2, M
0
(2; –1; –1).
27. x
2
+ y
2
+ z
2
– 2zx = 2, M
0
(0; 1; –1).
3 0
28.
2 3 ,
(1; 0; 1).
y
z
yz
y
x M
x
1 2
2 3
3 29. x
2
+ y
2
+ z
2
– 6x = 0, M
0
(1; 2; 1).
30. z
3
+ 3xyz + 3y = 7, M
0
(1; 1; 1).
4. Проверить, удовлетворяет ли функция u(x, y) заданному уравнению.
2 2
2 2
2 2
2 1.
,
2 0.
y
u
u
u
u
x
xy
y
x
x y
x
y
1 1
1 2
3 3
2 1 1 1
1 2
2 2
2 2
2 2.
,
0.
y
u
u
u
y
x
y
x
x
y
1 1
2 3
2 1
1
þ
þ

6. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
123
2 3.
,
(1
ln )
y
u
u
u
x
y
y
x
x y
x
1 1
2 2 3 1 1 1
4.
,
2 .
xy
u
u
u
x
y
u
x
y
x
y
1 1
2 3
2 3
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
5.
,
0.
u
u
u
u
x
y
z
x
y
z
1 1
1 2
3 3
2 1
1 1
3 3
2 2
2 2
2 2
6.
,
0.
xy
u
u
u
e
x
y
x
y
1 1
2 3
2 1
1 2
2 2
2 2
7.
sin (
2 ), 4
u
u
u
x
y
x
y
1 1
2 3
2 1
1 2
2 2
2 2
2 8.
ln(
(
1) ),
0.
u
u
u
x
y
x
y
1 1
2 3 3 3
2 1
1 9.
(
)(
)(
),
0.
u
u
u
u
x
y y
z z
x
x
y
z
1 1
1 2
3 3
3 4
4 2
1 1
1 2
2
cos(
3 )
2 2
10.
, 9
x
y
u
u
u
e
x
y
1 2
3 3
4 4
3 3
2 2
11.
,
x
y
x
y
u
u
u
x
y
x
y
x
y
1 1
2 2
3 1
3 4
2 2
4 3
3 3
3 12.
ln
,
3(
).
x
u
u
u
x
y
x
y
x
y
y
x
y
1 1
2 3
4 3
2 4
1 1
2 2
2 3
13.
,
0.
x
y
u
u
u
x
y
u
x
y
x
y
1 2
2 3
1 1 3 2
2 1
14.
ln ,
y
u
u
u
x
x
y
u
x
x
y
1 1
2 3
2 1
1 2
2 15.
(
)tg ,
2 .
x
u
u
u
x
y
x
y
u
y
x
y
1 1
2 3
3 2
1 1
2 2
2 2
2 2
16.
ln(
2 1),
0.
u
u
u
x
y
x
x
y
1 1
2 3
3 3
3 2
1 1
2 2 5 2
1 1
17.
,
(
)
y
u
u
u
u
x x
y y
x
y
y
1 1
2 3
2 1
1 4
18.
arctg ,
0.
x
u
u
u
x
y
y
x
y
1 1
2 3
2 1
1 2
2 19.
ln(
),
0.
u
u
u
x
y
y
x
x
y
1 1
2 3
4 2
1 1

124
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. СБОРНИК ЗАДАНИЙ
2 20.
arctg
,
0.
1
x
y
u
u
xy
x y
1 2
3 3
4 2 2 2
2
(
3 )
2 2
21.
sin(
3 ), 9 0.
x
y
u
u
u
e
x
y
x
y
1 2 3
3 4
5 2
2 4
3 3
2 2
2 2
22.
arctg
,
0.
y
u
u
u
x
x
y
1 1
2 3
2 1
1 1 2 1 2 2
2 2
2 2
2 23.
,
1.
u
u
u
u
x
y
z
x
y
z
3 3
3 4
5 6
7 7
7 7
6 8
9 3
3 3
2 2
24.
2
,
y
u
u
u
xy
y
x
y
u
1 1
2 3
3 2
1 1
25.
arcsin
,
0.
x
u
u
u
x
y
x
y
x
y
1 1
2 3
2 3
1 1
2 2
2 2
2 2
2 26.
,
2 2
0.
xy
u
u
u
u
e
x
xy
y
xyu
x y
x
y
1 1
1 2
3 4
4 2
1 1 1
1 2
2 2
27.
arcsin(
),
0.
3
y
u
u
u
xy
x
xy
y
x
x
y
1 1
2 3
4 3
2 1
1 28.
arccos
,
2
x
u
u
u
xy
x
y
xy
y
x
y
1 1
2 3
4 2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 29.
,
2 0.
y
x
u
u
u
u
xe
x
xy
y
x y
x
y
1 1
1 2
3 3
2 1 1 1
1 2
2 2
30.
ln(
),
0.
y
u
u
u
u
u
x
e
x
x y
y
x
1 2
2 2 2 3
4 5
1 5
3 2 2 2 2 2