Роль механики в подготовке будущего инженерамеханика. Основные этапы развития механики
 Скачать 2.42 Mb.
|
Рисунок 1.Уравнения сферического движения:  РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ. Во всякий момент времени существует проходящая через неподвижную точку О прямая OΩ, скорости точек которой равны нулю. Это мгновенная ось вращения. Мгновенная угловая скорость определяется соотношением  где - векторы, численно равные производным углов Эйлера и направленные соответственно по осям z, ON и ζ. Мгновенная угловая скорость может менять свое положение в пространстве, описывая коническую поверхность, поэтому вектор углового ускорения в общем случае не совпадает по направлению с (рис. 2).  Рисунок 2.Скорость точки при сферическом движении тела  или в аналитической форме (формулы Эйлера):  Ускорение точки складывается из осестремительной и вращательной составляющих (рис. 2):  55 Теорема Эйлера Даламбера Теорема Эйлера-Даламбера: всякое перемещение тела, имеющего неподвижную точку, можно заменить одним поворотом вокруг некоторой мгновенной оси вращения, проходящей через эту точку. Скорости всех точек тела, лежащих на мгновенной оси вращения в данный момент времени равны нулю. Вектор угловой скорости (мгновенной угловой скорости) откладывается о неподвижной точки по мгновенной оси в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение происходящим против час.стр. Вектор угловой скорости со временем изменяется не только по численной величине, но и по направлению. Конец вектора описывает годограф скорости вектора . Угловое ускорение: – скорость конца вектора , совпадает по направлению с касательной к годографу вектора угловой скорости. В случае сферич. движение в отличии от случая вращения вокруг неподвижной оси вектор не совпадает с направлением . Скорости точек при сферич. движ.: – векторное произведение, – радиус-вектор точки, проведенный из неподвижной точки, модуль v=rsin=h, h– расстояние от точки до мгновенной оси вращения. Формулы Эйлера: . 56 МГНОВЕННАЯ ОСЬ ВРАЩЕНИЯ прямая, неподвижная в данный момент в нек-рой инерциальнойсистеме отсчёта, относительно к-рой сложное движение твёрдого тела в этот момент можно представить каквращат. вокруг этой прямой. М. о. в. может лежать как внутри тела, так и вне его. С течением времениположение М. о. в. изменяется относительно как неподвижной системы отсчёта, так и системы отсчёта,движущейся вместе с телом. Угловая скорость сферического движения твердого тела – вектор, направленный вдоль мгновенной оси вращения, модуль которого равен:  Угловое ускорение сферического движения твердого тела – характеризует изменение вектора угловой скорости:    - среднее угловое ускорениев интервале времени t, Угловое ускорение в момент времени t: Вектор угловой скорости с началом в неподвижной точке при движении тела изменяется подобно радиусу-вектору точки, движущейся в пространстве по некоторой траектории. Вектор скорости этой точки направлен по касательной к траектории и определяется выражением:  Траектория конца вектора угловой скорости с началом в неподвижной точке при движении тела описывает кривую, называемую годографом вектора угловой скорости. Сравнивая выражения для вектора углового ускорения тела и вектора скорости точки можно установить, что угловое ускорение тела геометрически равно линейной скорости конца вектора угловой скорости. Прямая, по которой направлен вектор углового ускорения, называется осью мгновенного углового ускорения (E 57 Сферическое движение тела Сферическим движением (движением тела с одной закрепленной точкой) называется такое движение тела, при котором одна его точка О остается неподвижной во все время движения. Все остальные точки тела движутся при этом по траекториям, расположенным на поверхности сфер с центром в неподвижной точке О. Положение тела определяется углами Эйлера (рис. 1): углом прецессии φ, углом нутации θ и углом собственного вращения φ. Эти углы характеризуют положение координатного трехгранника осей Oξηζ, связанного с телом, по отношению к неподвижному трехграннику Oxyz. Линия ON пересечения координатных плоскостей Оху и Oξη называется линией узлов.  Рисунок 1. Уравнения сферического движения: РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ. Во всякий момент времени существует проходящая через неподвижную точку О прямая OΩ, скорости точек которой равны нулю. Это мгновенная ось вращения. Мгновенная угловая скорость определяется соотношением где - векторы, численно равные производным углов Эйлера и направленные соответственно по осям z, ON и ζ. Мгновенная угловая скорость может менять свое положение в пространстве, описывая коническую поверхность, поэтому вектор углового ускорения в общем случае не совпадает по направлению с (рис. 2). Рисунок 2. Скорость точки при сферическом движении тела или в аналитической форме (формулы Эйлера): Ускорение точки складывается из осестремительной и вращательной составляющих (рис. 2): 58. Формулы Пуассона. При рассмотрении вращательного движения тела вокруг неподвижной оси получена векторная формула Эйлера, по которой скорости точек тела полностью характеризуются общей для всех точек тела угловой скоростью вращения и расположением точек тела относительно оси вращения. Cкорость v какой-либо точки М тела , по векторной формуле Эйлера: υ= ω* r Скорость какой-либо точки можно вычислить как первую производную по времени от радиуса-вектора г этой точки, проведенного из неподвижной точки. С другой стороны, скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, можно вычислить по векторной формуле Эйлера. Следовательно, производная по времени от радиуса-вектора любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определится по формуле dr/dt=ω*r Длина радиуса-вектора г как расстояние между двумя точками твердого тела является постоянной величиной при движении этого тела. Следовательно, равенство dr/dt=ω*r можно рассматривать как формулу для вычисления производной по времени от вектора, модуль которого постоянен, и изменение этого вектора происходит только вследствие вращения его с угловой скоростью ш вместе с телом вокруг неподвижной точки. Если взять подвижную систему координат Oxyz, скрепленную с телом, которое вращается вокруг неподвижной точки с угловой скоростью ω, то для единичных векторов i, j, k направленных по этим осям координат, как для векторов, модули которых постоянны имеем: di//dt = ω*i ; dj/dt = ω *j; dk/dt = ω*k Эти формулы называют формулами Пуассона. 59. Общий случай движения свободного твердого тела. Любое движение свободного твердого тела можно заменить совокупностью поступательных движений вместе с какой-либо точкой тела и вращений вокруг этой точки, совершаемых за то же время, что и истинное движение. Поступательное движение вместе с точкой тела и подвижной системой координат является переносным движением, а движение тела относительно этой подвижной системы координат, являющееся в каждый момент времени вращением вокруг своей мгновенной оси, проходящей через эту подвижную точку тела, есть относительное движение. Любое движение свободного твердого тела можно составить из поступательного движения вместе с подвижной системой координат и сферического движения относительно этой системы координат. Для относительного сферического движения можно ввести угловую скорость и угловое ускорение, которое является первой производной по времени как в случае вращения тела вокруг неподвижной точки. Угловую скорость и угловое ускорение относительного вращательного движения вокруг какой-либо точки тела на- называют в общем случае угловой скоростью и угловым ускорением свободного твердого тела. Эти величины не зависят от выбора точки тела. От выбора точки тела зависит только переносное поступательное движение тела. 60.Абсолютное, относительное и переносное движение точки. Введем обозначения производных от векторных величин при рассмотрении их изменения относительно различных систем отсчета, движущихся друг относительно друга. Для любого вектора b(t) его производную по времени по отношению к неподвижной системе отсчета называют полной (или абсолютной) производной и обозначают db\dt. Производную по времени при учете изменения вектора относительно подвижной системы отсчета называют относительной (или локальной) производной и обозначают db\dt. Установим зависимость между полной и относительной производными по времени вектора b и величинами, характеризующими движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной. Для этого разложим вектор b на составляющие, параллельные осям подвижной системы координат. 
Переносная скорость — это скорость в базовой системе отсчёта произвольной точки, зафиксированной относительно подвижной СО, обусловленная движением этой подвижной СО относительно базовой. Например, это скорость той точки подвижной системы отсчёта, в которой в данный момент времени находится материальная точка. В переносная скорость равна  только в тех случаях, когда подвижная СО движетсяпоступательно.Также вводятся и понятия соответствующих ускорений , , , и . С точки зрения только чистой кинематики (задачи пересчёта кинематических величин — координат, скоростей, ускорений — от одной системы отсчета к другой) не имеет значения, является ли какая-то из систем отсчета инерциальной или нет; это никак не сказывается на формулах преобразования кинематических величин при переходе от одной системы отсчета к другой (то есть эти формулы можно применять и для перехода от одной произвольной неинерциальной вращающейся системы отсчета к другой). Однако для динамики инерциальные системы отсчета имеют особое значение: в них механические явления описываются наиболее простым образом и, соответственно, уравнения динамики формулируются изначально именно для инерциальных систем отсчета. Поэтому особенно важны случаи перехода от инерциальной системы отсчета к другой инерциальной, а также от инерциальной к неинерциальной и обратно. 61. Сложение скоростей при сложном движении точки. При сложном движении материальной точки её абсолютная скорость равна сумме относительной и переносной скоростей. Движение точки можно рассматривать, как состоящее из двух движений: первое — движение относительно движущейся системы отсчёта, второе — движение вместе с движущейся системой относительно неподвижной. Такое движение точки называют сложным или составным.  Пусть материальная точка в некоторый момент времени находилась в точке А, а через промежуток времени оказалась в точке В (см. рис.). Тогда её перемещение относительно системы К (абсолютное перемещение) будет равно . Точка А подвижной системы K' за время переместилась вместе с K' и оказалась в точке С, совершив перемещение относительно системы К (переносное перемещение), изображённое на рисунке вектором . С точки зрения наблюдателя, связанного с системой K', точка С является той точкой, в которой МТ находилась первоначально, поэтому вектор представляет собой перемещение МТ относительно подвижной системы K', то есть относительное перемещение. Из сказанного и векторной диаграммы на рисунке следует  Деля данное равенство на промежуток времени , а затем устремляя его к нулю, в пределе получаем где — абсолютная, — переносная, а — относительная скорость движения МТ. Полученное равенство является математическим выражением теоремы о сложении скоростей, которая формулируется так: При сложном движении абсолютная скорость материальной точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей. 62,63,64 Когда_равна_нулю Для определения направления кориолисова ускорения нужно спроецировать вектор относительной скорости в плоскость, перпендикулярную вектору переносной угловой скорости и полученную проекцию повернуть на в сторону переносного вращения (рисунок 3.4).  Рисунок 3.4 Из формулы (3.5) видно, что кориолисово ускорение равно нулю, если - равна нулю относительная скорость; - переносное движение - поступательное (ωe=0 ); - угол между ωe и Vr равен 0o или 180o (вектор Vr параллелен оси переносного вращения). Определение_направления_и_модуля . Определение модуля и направления кориолисова ускорения  (24)Известно, что модуль векторного произведения двух векторов равен  (25)Если  то (26)Для определения направления вектора кориолисоваускорения  надоспроектировать вектор  относительной скорости точки  на плоскость,перпендикулярную вектору  (оси переносного вращения), и полученную проекциюповернуть в сторону этого вращения на  .Полученное таким образомнаправление совпадает с направлением вектора (рис. 2, 3 и 4).Если точка движется в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения (вектору , то  и формула (26) становится такой (27) Рис. 3. К определению направления вектор кориолисоваускорения при движении точки в пространстве Кориолисово ускорение обращается в нуль, если: 1.  - переносное движение поступательно или когда в данный момент  2.  - относительная скорость в данный момент равна нулю.3. Когда  или , то есть когда вектор параллелен вектору .А теперь рассмотрим фазы движения материальной точки вдоль горизонтально вращающегося стержня и покажем, что при совпадении вектров  и кориолисово ускорение выполняет функции ускорения, а когда эти векторы противоположны, то оно выполняет функции замедления  (рис. 4). Вариации возможных сочетаний направления вектров переносной и относительной скоростей  материальной точки, движущейся вдоль вращающегося стержня, представлены на рис. 4. Рис. 4. Примеры определения направления векторов и для точки Абсолютное ускорение точки в сложном движении в общем случае определяется геометрической суммой пяти слагаемых  Для определения величины абсолютного ускорения удобнее пользоваться аналитическим методом сложения векторов:  Ускорение кориолиса Ускорение Кориолиса можно получить, спроецировав вектор относительной скорости точки на плоскость, перпендикулярную вектору переносной угловой скорости , увеличив полученную проекцию в раз и повернув её на 90 градусов в направлении переносного вращения. Способы вычисления ускорения Кориолиса: 1. По правилу векторного произведения (рис. 3)   .Теорема_кориолиса Пусть точка совершает сложное движение: движется относительно неинерциальной системы отсчёта со скоростью ; система при этом сама движется относительно инерциальной системы координат , причём линейная скорость движущегося вместе с ней полюса равна , а угловая скорость системы равна . Тогда абсолютная скорость рассматриваемой точки (то есть её линейная скорость в инерциальной системе координат) будет такой:  , причём  ,где — радиус-вектор точки относительно полюса . Первые два слагаемых в правой части равенства представляют собойпереносную скорость точки, а последнее — её относительную скорость. Продифференцируем это равенство по времени:  Найдём значение каждого слагаемого в инерциальной системе координат:    где  — линейное ускорение точки относительно системы ,  — угловое ускорение системы .Таким образом, имеем:  Полученное равенство служит математическим выражениемтеоремыКориолиса: Абсолютное ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме её переносного ускорения (сумма первых трёх слагаемых в правой части),относительного ускорения (четвёртое слагаемое) и добавочного кориолисова ускорения (последнее слагаемое), равного . Используя обозначения  и  , получим запись теоремы Кориолиса в более сжатом виде: Причиной возникновения кориолисова ускорения является взаимное влияние друг на друга переносного и относительного движений. Сам Кориолис выражал в 1835 г. свои результаты в иной форме, вводя в рассмотрение переносную и кориолисову силы инерции; общепринятая же ныне чисто кинематическая формулировка теоремы Кориолиса предложена в 1862 г. Анри ЭмеРезалем[12]. Заметим, что если система также является неинерциальной и движется относительно другой системы, а та другая относительно следующей и т. д., то величины , для системы в последнем уравнении следует считать полными — то есть как сумму собственных ускорений (скоростей) всех систем координат (каждой относительно предыдущей), начиная с первой подвижной системы, а — абсолютным ускорением поступательного движения относительно неподвижной инерциальной системы координат. Заметим также, что в частности, чтобы точка относительно неинерциальной системы отсчёта двигалась прямолинейно по радиусу к оси вращения (см. рис.), необходимо приложить к ней силу, которая будет противодействующей суммы Кориолисовойсилы  , переносной вращательной силы  и переносной силы инерции поступательного движения системы отсчёта . Составляющая же ускорения  не отклонит тело от этой прямой, так как являетсяосестремительным переносным ускорением и всегда направлена по этой прямой. Действительно, если рассматривать уравнение такого движения, то после компенсации в нём вышеупомянутых сил получится уравнение  , которое если умножить векторно на , то с учетом  получим относительно дифференциальное уравнение  , имеющее при любых и общим решением  , которое и является уравнением такой прямой —  . |