Роль механики в подготовке будущего инженерамеханика. Основные этапы развития механики
![]()
|
Теорема сложения ускоренийпри непоступательном переносном движенииподвижной системы отсчета Теорема:При непоступательном переносном движении подвижной системы отсчета абсолютное ускорение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Учитывая, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вэтойформуле: ![]() ![]() ![]() ![]() Подставляя результаты дифференцирования в исходное уравнение (14), окончательно получим ![]() . Здесь: ![]() Придерживаясь принципа последовательности, видим, что ввыражении ![]() для наблюдателя, находящегося в неподвижной системе отсчета ![]() ![]() В них заложен механический смысл, соответствующий вращению подвижной системы отсчета ![]() ![]() ![]() соответствуют векторуотносительной скорости ![]() ![]() ![]() Это и есть кориолисово ускорение. Оно характеризует одновременное изменение направления вектора переносной угловой скорости ![]() ![]() ![]() ![]() Обратим внимание на то, что в процессе вывода (14-22) формулы кориолисоваускорения (23) физический смысл появления множителя 2 в формуле (23) остался в тумане – не до конца понятным [1]. Теорема сложения скоростей при поступательном переносном движении подвижной системы отсчета Теорема:При поступательном переносном движении абсолютная скорость ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из векторного треугольника ![]() ![]() ![]() Разложимвектор ![]() ![]() Таккакоси ![]() ![]() ![]() Вэтойформуле: ![]() ![]() ![]() Подставляя результаты в уравнение (4),получим ![]() Сложение скоростей при сложном движении точки П ![]() 65 Сложное движение твердого тела. Сложение поступательных движений движение твердого тела, как и движение точки, может быть сложным. Пусть тело совершает некоторое движение относительно системы координат 0x1y1z1, которая, в свою очередь, движется относительно неподвижных осей 0xyz.Относительным движением тела называют его движение по отношению к подвижной системе координат 0x1y1z1. Для выяснения переносного движения тела в каждый момент времени следует считать тело жестко скрепленным с подвижной системой отсчета, и движение, которое будет совершать тело с подвижной системой отсчета относительно неподвижной системы, и будет переносным движением. Движение тела относительно неподвижной системы координат называетсяабсолютным. Основной задачей кинематики сложного движения твердого тела является установление соотношений между кинематическими характеристиками абсолютного, относительного и переносного движений. Сложное движение твердого тела может состоять из поступательных и вращательных движений или может быть получено в результате сложения поступательного и вращательного движений. В некоторых задачах кинематики заданное сложное движение твердого тела раскладывают на составляющие движения (анализ); в других - требуется определить сложное движение как результат сложения более простых (синтез). Как при анализе, так и при синтезе движений речь идет о разложении и сложении движений, рассматриваемых в данный момент (мгновенных движений). Сложение поступательных движений твердого тела Пусть твердое тело одновременно участвует в двух мгновенно поступательных движениях, из которых одно является поступательным со скоростью v1, второе - переносным со скоростью v2(рис 2.73). Выделим какую-либо точку М тела. Найдем абсолютную скорость точки М va = vr + ve = v1 + v2. (2.113) Т ![]() Очевидно, что данный вывод применим к сложному движению твердого тела, состоящему из трех и более мгновенно поступательных движений, тогда в общем случае . (2.114) Итак, в результате сложения мгновенных поступательных движений твердого тела результирующее движение получается мгновенно поступательным. Замечание. Мгновенно поступательное движение твердого тела отличается от поступательного тем, что при поступательном движении в каждый момент времени равны между собой скорости и ускорения всех точек тела, а при мгновенно поступательном движении в данный момент времени равны между собой только скорости всех точек тела. 66, 67 Сложение вращений вокруг параллельных осей Рассмотрим случай, когда относительное движение тела является вращением с угловой скоростью вокруг оси , закрепленной на кривошипе (рис.1а), а переносное – вращением кривошипа вокруг оси , параллельной , с угловой скоростью . Тогда движение тела будет плоскопараллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной к осям. ![]() Примем, что вращения направлены в одну сторону. Изобразим сечение тела плоскостью, перпендикулярной осям (рис. 1 б). Следы осей в сечении обозначим буквами и . Тогда и . При этом векторы и параллельны друг другу, перпендикулярны и направлены в разные стороны. Тогда точка является мгновенным центром скоростей , а следовательно, ось , параллельная осям и , является мгновенной осью вращения. Для определения угловой скорости абсолютного вращения тела вокруг оси и положения самой оси, т.е. точки , воспользуемся свойством мгновенного центра скоростей , откуда . Подставив в эти равенства значения и , окончательно получим
Итак, при сложении двух направленных в одну сторону вращений вокруг параллельных осей результирующее движение тела будет мгновенным вращением с абсолютной скоростью вокруг мгновенной оси, параллельной данным, положение которой определяется пропорциями (2). С течением времени мгновенная ось вращения меняет свое положение, описывая цилиндрическую поверхность. ![]() Рассмотрим теперь случай, когда вращения направлены в разные стороны (рис.2). Допустим, что . Тогда, рассуждая, как в предыдущем случае, для угловой скорости абсолютного движения тела вокруг оси и положения самой оси, получим
Таким образом, при сложении двух направленных в разные стороны вращений вокруг параллельных осей, результирующее движение тела будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг мгновенной оси, положение которой определяется пропорциями (4). Заметим, что в этом случае точка делит расстояние между параллельными осями внешним образом. Рассмотрим частный случай, когда вращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны, но по модулю (рис.3). ![]() Такая совокупность вращений называется парой вращений, а векторы и образуют пару угловых скоростей. В этом случае получим и , то есть = . Тогда мгновенный центр скоростей находится в бесконечности и все точки тела в данный момент времени имеют одинаковые скорости . Следовательно, результирующее движение тела будет поступательным (или мгновенно поступательным) движением со скоростью, численно равной и направленной перпендикулярно плоскости , проходящей через векторы и . Таким образом, пара вращений эквивалентна мгновенно поступательному движению со скоростью , равной моменту пары угловых скоростей этих вращений. Примером пары угловых скоростей является движение велосипедной педали относительно рамы велосипеда (рис.4). ![]() Это движение представляет собой совокупность переносного вращения вместе с кривошипом вокруг оси и относительного вращения педали по отношению к кривошипу вокруг оси . Педаль за все время движения остается параллельной своему первоначальному положению, т.е. совершает поступательное движение. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Кривошип вращается вокруг оси по часовой стрелке с угловой скоростью , а диск радиуса вращается вокруг оси по часовой стрелке с той же угловой скоростью относительно кривошипа. Найти величину и направление абсолютных скоростей точек и (рис.5). ![]() Решение. Так как угловые скорости переносного и относительного вращений равны по модулю и направлены в одну сторону, то мгновенный центр вращений диска лежит посредине между и , т.е. . Модуль абсолютной угловой скорости вращения диска вокруг точки равен . Отсюда находим: ![]() ![]() ![]() Пример 2. Кривошип вращается вокруг оси с угловой скоростью . На палец кривошипа свободно насажена шестерня радиуса , сцепленная с неподвижным зубчатым колесом радиуса . Найти абсолютную угловую скорость шестерни и ее угловую скорость относительно кривошипа (рис.6). Решение. Так как шестерня сцеплена с неподвижным колесом, то абсолютная скорость точки зацепления шестерни с этим колесом равна нулю, т.е. точка является для шестерни мгновенным центром вращения. Отсюда или , откуда . Заметим, что направление вращения шестерни совпадает с направлением вращения кривошипа. Тогда абсолютную угловую скорость шестерни находим из равенства или . |