Роль механики в подготовке будущего инженерамеханика. Основные этапы развития механики
 Скачать 2.42 Mb.
|
|
Теорема сложения ускоренийпри непоступательном переносном движенииподвижной системы отсчета Теорема:При непоступательном переносном движении подвижной системы отсчета абсолютное ускорение  точки  равно геометрической сумме переносного  , относительного  и кориолисова ускорений . (13)Учитывая, что  и - величины в этом случае переменные, и дифференцируяуравнение (9) по времени второй раз последовательно: вначале переменные , которые характеризуют переносное движение в каждом слагаемом, а затем- переменные , которые характеризуют относительное движение, имеем (14) Вэтойформуле:  ; (15) (16)  (17) . (18)Подставляя результаты дифференцирования в исходное уравнение (14), окончательно получим (19). Здесь: - ускорение, установленное французским профессором механикомКориолисом и названное в его честь кориолисовым ускорением.Придерживаясь принципа последовательности, видим, что ввыражении (20)для наблюдателя, находящегося в неподвижной системе отсчета  ,важны в первую очередь те составляющие, которые характеризуютпереносную часть движения. Это составляющие: (21)В них заложен механический смысл, соответствующий вращению подвижной системы отсчета  впространстве. Следовательно, эти составляющие мы можемзаменить вектором угловой переносной скорости  ,с которой вращаетсяподвижная система отсчета. Составляющие же , (22)соответствуют векторуотносительной скорости  точки. Учитывая это и опускаяпреобразования в скобке выражения (20), можем записать его так (23)Это и есть кориолисово ускорение. Оно характеризует одновременное изменение направления вектора переносной угловой скорости (ввидутого, чтоорты, входящие в выражение (20), переменны понаправлению), а также изменение модуля и направления вектораотносительной скорости точки .Обратим внимание на то, что в процессе вывода (14-22) формулы кориолисоваускорения (23) физический смысл появления множителя 2 в формуле (23) остался в тумане – не до конца понятным [1]. Теорема сложения скоростей при поступательном переносном движении подвижной системы отсчета Теорема:При поступательном переносном движении абсолютная скорость  точки равна геометрической сумме переносной  и относительной скоростей [1]. (1)Из векторного треугольника  на рис. 1для радиуса – вектора точки относительно неподвижной системы отсчётаимеем . (2)Разложимвектор  насоставляющиепоосям, имеем (3)Таккакоси параллельныосямто, дифференцируясоставляющиеэтогоуравнения, характеризующиепоступательноедвижение,повремени, имеем [1] (4) Вэтойформуле:  ;  ; Подставляя результаты в уравнение (4),получим (1). Теоремадоказана.Сложение скоростей при сложном движении точки П  ервые три слагаемых представляют собой ускорение точки в переносном движении: – ускорение полюса О; – вращательное уск., – осестремительноеуск., т.е. . Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса): , где – ускорение Кориолиса (кориолисово ускорение) – в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение = геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений.65 Сложное движение твердого тела. Сложение поступательных движений движение твердого тела, как и движение точки, может быть сложным. Пусть тело совершает некоторое движение относительно системы координат 0x1y1z1, которая, в свою очередь, движется относительно неподвижных осей 0xyz.Относительным движением тела называют его движение по отношению к подвижной системе координат 0x1y1z1. Для выяснения переносного движения тела в каждый момент времени следует считать тело жестко скрепленным с подвижной системой отсчета, и движение, которое будет совершать тело с подвижной системой отсчета относительно неподвижной системы, и будет переносным движением. Движение тела относительно неподвижной системы координат называетсяабсолютным. Основной задачей кинематики сложного движения твердого тела является установление соотношений между кинематическими характеристиками абсолютного, относительного и переносного движений. Сложное движение твердого тела может состоять из поступательных и вращательных движений или может быть получено в результате сложения поступательного и вращательного движений. В некоторых задачах кинематики заданное сложное движение твердого тела раскладывают на составляющие движения (анализ); в других - требуется определить сложное движение как результат сложения более простых (синтез). Как при анализе, так и при синтезе движений речь идет о разложении и сложении движений, рассматриваемых в данный момент (мгновенных движений). Сложение поступательных движений твердого тела Пусть твердое тело одновременно участвует в двух мгновенно поступательных движениях, из которых одно является поступательным со скоростью v1, второе - переносным со скоростью v2(рис 2.73). Выделим какую-либо точку М тела. Найдем абсолютную скорость точки М va = vr + ve = v1 + v2. (2.113) Т  ак как и относительное, и переносное движение твердого тела являются мгновенно поступательными, то относительные, переносные и, следовательно, согласно формуле (2.113), абсолютные скорости всех точек тела будут равны между собой в каждый момент времени (равны по величине и параллельны по направлению), т.е. абсолютное движение тела также является мгновенно поступательным.Очевидно, что данный вывод применим к сложному движению твердого тела, состоящему из трех и более мгновенно поступательных движений, тогда в общем случае . (2.114) Итак, в результате сложения мгновенных поступательных движений твердого тела результирующее движение получается мгновенно поступательным. Замечание. Мгновенно поступательное движение твердого тела отличается от поступательного тем, что при поступательном движении в каждый момент времени равны между собой скорости и ускорения всех точек тела, а при мгновенно поступательном движении в данный момент времени равны между собой только скорости всех точек тела. 66, 67 Сложение вращений вокруг параллельных осей Рассмотрим случай, когда относительное движение тела является вращением с угловой скоростью вокруг оси , закрепленной на кривошипе (рис.1а), а переносное – вращением кривошипа вокруг оси , параллельной , с угловой скоростью . Тогда движение тела будет плоскопараллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной к осям.  Примем, что вращения направлены в одну сторону. Изобразим сечение тела плоскостью, перпендикулярной осям (рис. 1 б). Следы осей в сечении обозначим буквами и . Тогда и . При этом векторы и параллельны друг другу, перпендикулярны и направлены в разные стороны. Тогда точка является мгновенным центром скоростей , а следовательно, ось , параллельная осям и , является мгновенной осью вращения. Для определения угловой скорости абсолютного вращения тела вокруг оси и положения самой оси, т.е. точки , воспользуемся свойством мгновенного центра скоростей , откуда . Подставив в эти равенства значения и , окончательно получим
Итак, при сложении двух направленных в одну сторону вращений вокруг параллельных осей результирующее движение тела будет мгновенным вращением с абсолютной скоростью вокруг мгновенной оси, параллельной данным, положение которой определяется пропорциями (2). С течением времени мгновенная ось вращения меняет свое положение, описывая цилиндрическую поверхность.  Рассмотрим теперь случай, когда вращения направлены в разные стороны (рис.2). Допустим, что . Тогда, рассуждая, как в предыдущем случае, для угловой скорости абсолютного движения тела вокруг оси и положения самой оси, получим
Таким образом, при сложении двух направленных в разные стороны вращений вокруг параллельных осей, результирующее движение тела будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг мгновенной оси, положение которой определяется пропорциями (4). Заметим, что в этом случае точка делит расстояние между параллельными осями внешним образом. Рассмотрим частный случай, когда вращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны, но по модулю (рис.3).  Такая совокупность вращений называется парой вращений, а векторы и образуют пару угловых скоростей. В этом случае получим и , то есть = . Тогда мгновенный центр скоростей находится в бесконечности и все точки тела в данный момент времени имеют одинаковые скорости . Следовательно, результирующее движение тела будет поступательным (или мгновенно поступательным) движением со скоростью, численно равной и направленной перпендикулярно плоскости , проходящей через векторы и . Таким образом, пара вращений эквивалентна мгновенно поступательному движению со скоростью , равной моменту пары угловых скоростей этих вращений. Примером пары угловых скоростей является движение велосипедной педали относительно рамы велосипеда (рис.4).  Это движение представляет собой совокупность переносного вращения вместе с кривошипом вокруг оси и относительного вращения педали по отношению к кривошипу вокруг оси . Педаль за все время движения остается параллельной своему первоначальному положению, т.е. совершает поступательное движение. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Кривошип вращается вокруг оси по часовой стрелке с угловой скоростью , а диск радиуса вращается вокруг оси по часовой стрелке с той же угловой скоростью относительно кривошипа. Найти величину и направление абсолютных скоростей точек и (рис.5).  Решение. Так как угловые скорости переносного и относительного вращений равны по модулю и направлены в одну сторону, то мгновенный центр вращений диска лежит посредине между и , т.е. . Модуль абсолютной угловой скорости вращения диска вокруг точки равен . Отсюда находим:  , , , . Пример 2. Кривошип вращается вокруг оси с угловой скоростью . На палец кривошипа свободно насажена шестерня радиуса , сцепленная с неподвижным зубчатым колесом радиуса . Найти абсолютную угловую скорость шестерни и ее угловую скорость относительно кривошипа (рис.6). Решение. Так как шестерня сцеплена с неподвижным колесом, то абсолютная скорость точки зацепления шестерни с этим колесом равна нулю, т.е. точка является для шестерни мгновенным центром вращения. Отсюда или , откуда . Заметим, что направление вращения шестерни совпадает с направлением вращения кривошипа. Тогда абсолютную угловую скорость шестерни находим из равенства или . |