ГЕОДЕЗИЯ-2005. С. И. Чекалин г е оде з и я москва 2005 ббк 26. 1 Удк геодезия Учебник
 Скачать 37.56 Mb.
|
|
Глава 3 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ 19. Виды измерений Измерения в геодезии являются количественной и качественной основой для изучения Земли, для получения исходной информации при решении всех инженерно-геодезических задачи выполнения топографических работ. Любое измерение выражается количественной характеристикой (величиной угла, длиной линии, превышением, площадью участка местности и т.п.) и имеет качественную сторону, которая характеризует точность полученного результата. Величины, которые получают в процессе производства геодезических работ, можно классифицировать на измеренные и вычисленные. В первом случае величину получают обычно непосредственно, путем сравнения ее с единицей средства измерения, или косвенно, как функцию двух или нескольких непосредственно измеренных величин. Например, площадь прямоугольника может быть получена как произведение его сторон, измеренных непосредственно. Под результатом измерения предусматривается конечный результат, который получается в процессе всех произведенных измерений и вычислений. Например, конечным результатом может быть высота точки, ее координаты, площадь участка и т.п. Результаты измерений в своей группе могут быть равноточными и неравноточными. Если измерения выполнены прибором одного итого же класса точности, по одной и той же методике (программе, в одинаковых внешних условиях, одними тем же наблюдателем (либо наблюдателями одной квалификации, то такие измерения относят к равноточным. При несоблюдении хотя бы одного из перечисленных выше условий результаты измерений классифицируют как неравноточные. Примером равноточных измерений могут являться результаты измерений длины одной и той же линии, либо линий, примерно равных друг другу, полученные при неизменных условиях внешней среды, одними тем же измерительным средством (прибором, одними и теми же исполнителями работ, по общей для всех результатов измерений программе. Если в процессе измерений длины линии, например, стальной лентой, изменится температура окружающего воздуха или поверхности грунта, на который укладывается полотно ленты, то это приведет к получению части неравноточных результатов в общей группе результатов измерений, поскольку при изменении температуры происходит и изменение длины стальной ленты. Число измеренных величин и число измерений может быть необходимыми избыточным. При измерении, например, углов в треугольнике число необходимых измеренных величин равно двум. Значение третьего угла можно вычислить по сумме двух измеренных углов. Если необходимо решить плоский треугольник, то дополнительно обязательным является знание длины хотя бы одной из сторон, в связи с чем число необходимых измеренных величин должно быть равно трем, при этом одно из измерений – линейное при двух известных углах, либо два линейных измерения и один угол, заключенный между измеренными сторонами треугольника. Таким образом, числом необходимых измеренных величин является минимально необходимое их число, при котором обеспечивается решение поставленной задачи. Число же измеренных величин, превышающих число необходимых, называется числом избыточных величин. В геодезии принято обязательным получать и избыточные величины, что обеспечивает обнаружение грубых погрешностей и промахов, позволяет повысить точность результатов измерений. Поэтому в треугольнике, например, обязательно измеряют все три угла и сравнивают полученную сумму углов с теоретической. Если сформулировать задачу сточки обеспечения заданной точности измерений, то необходимое число измерений должно обеспечивать заданную точность измерения одной величины или самого результата измерений. Так, в том же треугольнике каждый из его углов может быть измерен несколько раз. Все избыточные измерения повышают надежность результатов, а также их точность, нов тоже время и увеличивают объем работ, и часто прирост увеличения точности становится экономически нецелесообразным из-за большого числа наблюдений. Иногда говорят, что числом необходимых измерений является одно измерение, остальные – избыточные. Это не всегда так, поскольку, как будет показано выше, одно измерение не позволяет производить оценку точности и может содержать неконтролируемую грубую погрешность (промах 20. Классификация погрешностей измерений Любые измерения, как бы они тщательно не выполнялись, сопровождаются погрешностями, которые представляют собой отклонение результата измерения от истинной его величины. Отклонения результатов измерения от истинной величины возникают из-за изменения условий измерений. Изменение условий измерений вызывает также изменение характеристик средства измерения, приводит к появлению личных ошибок (погрешностей) самого наблюдателя, колебаниям видимого положения наблюдаемого объекта (точки). Если результат измерения Х известен точно, то разность между измеренной величиной хи истинным значением 67 X x − = ∆ (называют абсолютной погрешностью. Отношение абсолютной погрешности к результату измерения называют относительной погрешностью (Не для любого результата измерения можно определить относительную погрешность. Например, при определении горизонтального угла можно оперировать только абсолютной погрешностью. А величина относительной погрешности в этом случае может быть определена только косвенно, с привлечением результатов линейных измерений, для оценки, например, планового положения точки наземной поверхности в принятой системе прямоугольных координат. В результате измерений могут появиться грубые погрешности, проявляющиеся в виде промахов и просчетов наблюдателя, из-за незамеченных неисправностей прибора, либо из-за резких изменений внешних условий наблюдений. Результаты грубых измерений обнаруживаются при повторных измерениях, отбраковываются и заменяются новыми. Как будет показано выше, критерием отбраковки грубых результатов может явиться и величина установленной для данного вида работ предельной погрешности измерений. Особое место при геодезических измерениях занимают систематические и случайныепогрешности. Внешние условия измерений, изменение характеристик измерительного средства могут вызвать появление погрешностей одностороннего (одного знака) или знакопеременного вида – систематических погрешностей. Систематические погрешности являются весьма опасными при измерениях, поскольку для их учета надо знать чаще всего изменение характеристик измерительного средства, как внутреннего свойства, определяемых конструкцией прибора и технологией его изготовления, таки при воздействии внешних условий. Например, длина мерной ленты из стального полотна при температуре t 1 о С равна L 1 , а при изменении температуры до о она станет равной L 2 . Если не учитывать изменение температуры (те. не определять ее в момент измерений, то наблюдатель при температуре о будет пользоваться прежним значением длины ленты L 1 , что и даст в результатах измерений систематическую погрешность величиной (L 1 - L 2 ) n, где n – число укладок ленты в измеряемой линии. Часто систематические погрешности исключают особыми приемами в работе (в рассмотренном выше случае – введением поправок на изменение длины ленты из-за изменения температуры, устанавливают в результате исследования особенности работы прибора, выполняют работы по специальной методике, при которой систематические погрешности исключаются полностью, либо действие их значительно ослабляется. В некоторых случаях полное исключение систематических погрешностей является практически неосуществимым, в связи с чем проводят специальные исследования с целью 68 установления закона изменения систематических погрешностей и введения поправок в результаты измерений. Источниками случайных погрешностей в измерениях являются неподдающиеся учету мгновенные изменения (флуктуации) внешних условий, которые приводят к неопределенности в каждый момент времени в видимом положении наблюдаемой целик относительно мгновенным изменениям характеристик прибора, погрешностям считывания по шкалам прибора и устройств, устанавливаемых на цели и др. По своей величине каждая из составляющих случайных погрешностей является малой, однако в некоторых случаях их совместное действие может быть существенным. В первом приближении случайную погрешность можно определить как разность результата измерения и истинного значения, если в измеренной величине отсутствует грубая погрешность и учтена погрешность систематическая 21. Свойства случайных погрешностей Группа случайных погрешностей измерения одной и той же величины подчиняется нормальному закону распределения. Рассмотрим ряд случайных погрешностей, определяемых как отклонение результата измерениях одной и той же величины, свободного от грубых и систематических погрешностей, от истинного значения Х) На основании теоретических и опытных данных установлены следующие свойства ряда случайных погрешностей Свойство 1. При выполнении измерений одной величины равновероятно появление случайных погрешностей, равных по величине, но противоположных по знаку. Свойство 2. Малые по абсолютной величине погрешности встречаются чаще, чем большие. Свойство 3. При неизменных условиях измерений случайные погрешности не превосходят по абсолютной величине известного предела: ПРЕД МАКС ∆ ≤ ∆ (Свойство 4. При большом числе измерений среднее арифметическое из случайных погрешностей стремится к нулю, те. Ο → ∆ n i ] [ (при n → ∞ ) (Здесь ив дальнейшем квадратные скобки [...] являются символом суммы символ введен Гауссом 22. Среднее арифметическое Как уже говорилось выше, погрешность измерения представляет собой разность между самим результатом измерениях и его истинным значением Х, определяемую по формуле (3.3). 69 Если результат измерения заранее известен, то, казалось бы, зачем производить измерения Однако такие действия часто приходится выполнять. Например, при проверке правильности работы или показаний прибора по эталону. Да и при самих непосредственных измерениях, например, углов в треугольнике, сумма углов треугольника (или многоугольника) является эталоном, известной величиной. В основном результаты измерений заранее неизвестны. Что же представляет собой погрешность измерений в этом случае, и каким образом можно ее определить? Рассмотрим ряд измерений одной и той же величины Х для случая, когда число измерений весьма большое (n → ∞). Составим ряд истинных погрешностей измерений, полагая, что измеряемая величина нам известна. Сложим все разности в правых и левых частях формул (3.3) и разделим полученные результаты на n, получим (В соответствии со свойствами случайных погрешностей отношение [∆] /n стремится к нулю при n → ∞ . Отношение х = хо называется средним арифметическим из результатов измерений. С учетом сказанного можно записать, что (хо Х) n → ∞ , (3.7) те. среднее арифметическое из результатов измерений при возрастании числа измерений стремится к истинному значению. Таким образом, при определении погрешностей измерений с какой-то долей надежности (зависящей от числа измерений) можно использовать величину среднего арифметического вместо истинного значения измеряемой величины. В этом случае истинные погрешности будут являться уклонениями результатов измерений от среднего арифметического v i = хо (В теории погрешностей измерений доказано, что ряд уклонений v i от арифметического среднего также подчиняется нормальному закону распределения и обладает всеми свойствами случайных погрешностей 23. Средняя квадратическая погрешность Средняя квадратическая погрешность (СКП) является мерой точности результатов измерений, либо функций измеренных величин, и является вероятностной характеристикой. Предположим, что нам известно значение средней квадратической погрешности. В соответствии с нормальным законом распределения график распределения истинных погрешностей по виду будет подобен графику рис. 3.1. Параметр r характеризует частоту (или частость) появления случайных погрешностей той или иной величины и знака. При этом вероятность появления погрешностей в заданном наперед диапазоне, например, ±∆ , определяется площадью фигуры, ограниченной кривой распределения и отрезками ординат при значениях + ∆ и −∆ . Для нормального закона распределения вероятность появления погрешностей в установленных диапазонах равна следующим значениям для диапазона ±∆ → Р = 68,3% ( ≈ для диапазона ± 2 ∆→ Р = 95,5% ( ≈ для диапазона ± 3 ∆→ Р = 99,7% (практически Рис. 3.1. Нормальный закон распределения случайных погрешностей Таким образом, только в х случаях из 1000 может появиться погрешность, превышающая значение 3 ∆ . Такие погрешности принято считать грубыми, и результаты измерений, содержащие такие погрешности, исключают из дальнейшей обработки. В некоторых случаях, для ужесточения требований к точности измерений, устанавливают предельную погрешность доили до 2m). Часто значение СКП указывают с коэффициентом t (коэффициент Стьюдента), который и определяет доверительный вероятностный интервал (х ± tm) результата измерений при установленном уровне вероятности Р. Для этого удобно пользоваться табл. 3.1. Например, необходимо определить доверительный интервал для величины Х с вероятностью 75%. По таблице интерполированием находим, что для Р = 72,9 t 1 = 1,1 , для Р = 77,0 t 2 = 1,2 : t х ≈ 1,15 Это значит, что результат измерений с вероятностью 75% находится в пределах (Х ± 1,15 Таблица 3.1 t P% t P% t P% 0,1 8,0 1,1 72,9 2,1 96,4 0,2 15,9 1,2 77,0 2,2 97,2 0,3 23,6 1,3 80,6 2,3 97,9 0,4 31,1 1,4 83,8 2,4 98,4 0,5 38,3 1,5 86,6 2,5 98,8 0,6 45,1 1,6 89,0 2,6 99,1 0,7 51,6 1,7 91,1 2,7 99,3 0,8 57,6 1,8 92,8 2,8 99,5 0,9 63,2 1,9 94,3 2,9 99,6 1,0 68,3 2,0 95,5 3,0 Если измеряемая величина Х известна, то значение СКП определяется по формуле Гаусса , (где Δ - истинные погрешности измерений Для случаев, когда измеряемая величина неизвестна, используется формула Бесселя , (где v - уклонения результатов измерений от среднего арифметического. Как видно из формул (3.9) ив случае, когда измеряемая величина известна, для оценки точности достаточно уже одного измерения (оно и является необходимым. Как уже указывалось выше, чаще всего формулу Гаусса используют при оценках точности эталонируемых приборов при измерении известных величин (эталонов. Для оценки точности по формуле Бесселя необходимыми являются как минимум два измерения. Формула Бесселя используется при оценках точности результатов массовых (многократных) измерений одной величины. При возрастании числа измерений значения СКП, полученные по формулам Гаусса и Бесселя, становятся практически одинаковыми (примерно с n ≥ 20). При этом значение СКП одного измерения стремится к пределу пред, который определяется точностью прибора, точностью метода или программы измерений. Очевидно, что на практике невозможно, да и нецелесообразно по ряду причин, обеспечивать весьма большое число измерений одной величины. При этом практическое число измерений должно обеспечивать получение результата измерения с заданной точностью при установленном уровне доверительной вероятности. Поскольку число измерений является ограниченным, то сама СКП содержит погрешность, определяемую по приближенной формуле. (3.11) § 24. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин В § 23 рассмотрены средние квадратические погрешности непосредственно измеренных величин. Чаще всего сами непосредственно измеренные величины используются в различных формулах, результатом вычисления по которым являются косвенные величины. Например, площадь прямоугольника, как косвенная величина, может быть определена как произведение сторон прямоугольника, полученных при измерениях непосредственно. Оценку точности площади в этом случае необходимо производить с учетом погрешностей в измерениях его сторон. Предположим, что имеется функция F аргументов х , х , ... , х F = f (x 1 , х, …, х. (3.12) Величины х известны из непосредственных измерений, а также известны и их СКП: m 1 , m 2 , ... , m n . В этом случае СКП функции определяется последующей формуле ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 n n F m x f m x f m x f m , где (х) - частная производная функции по аргументу х i Правила определения СКП функций следующие. 1. Выполнить последовательно дифференцирование функции отдельно по каждому из аргументов, считая остальные аргументы постоянными числами (коэффициентами). 2. Полученные выражения умножить на СКП аргументов, по которым производилось дифференцирование функции и возвести полученные выражения каждое отдельно в квадрат. 3. Записать полученные выражения в виде суммы под знаком квадратного корня. Рассмотрим несколько примеров определения СКП функций. Пример 3.1. Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического. Очевидно, что значение среднего арифметического является функцией суммы измеренных величин х (3.1). Представим это выражение в виде хо = (х + х + … + х ) / n (Поскольку 1/n является постоянным коэффициентом, то при почленном дифференцировании и после умножения на m i и возведения в квадрат пролучим: ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 2 2 1 / / / n m n m n m M m n x o + + + = = , (или 2 2 2 1 + + + = = (Полагая измерения равноточными, те. m 1 = m 2 = ... = m n = m, выражение (3.16) преобразуем к виду (Те. СКП среднего арифметического в корень из числа измерений меньше СКП одного измерения. С учетом (3.10) ) 1 ( ] [ 2 − = n n M ν (Очевидно, что, если при увеличении числа измерений значение СКП одного измерения стремится к предельному значению, отличному от нуля, то значение СКП среднего арифметического стремится при увеличении числа измерений к нулю, а само среднее арифметическое – к истинному значению. Пример 3.2. Объем пирамиды, основанием которой является прямоугольник, определен по формуле (где h – высота пирамиды, аи стороны основания. Требуется определить СКП объема пирамиды, вычисленного по формуле (3.19), если известно, что h = 12,34 мам ми их СКП равны соответственном м, m b = =0,04 м. Решение. Выполняем последовательное дифференцирование по аргументами- по аргументу h: h m ab h V 3 = ∂ ∂ ; - по аргументу а a m hb a V 3 = ∂ ∂ ; - по аргументу b: Возводим в квадрат полученные части и записываем в виде суммы в подкоренном выражении 1 2 2 2 2 2 2 b a h V m ha m hb m ab m + + = (Формулу (3.20) можно преобразовать к следующему виду. Разделим правую и левую части соответственно на ( h a b) и V, получим 2 2 3 1 + + = h m b m a m V m h b a V (или 2 2 3 1 h b a V δ δ δ δ + + = (где δ - относительные СКП аргументов и функции. Выполним вычисления по формуле (3.20). 42 , 7 ) 02 , 0 63 , 39 34 , 12 ( ) 04 , 0 46 , 23 34 , 12 ( ) 70 , 0 63 , 39 46 , 23 ( 3 1 2 2 2 = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = V m м 3 Значение V = (23,46 · 39,63 х) : 3 = 1274,75 м 3 Относительная СКП определения объема равна δ V = 7,42 /1274,75 = 0,00582 = 1718 Выполним проверку значения δ V по формуле (Относительные СКП аргументов равны = 0,07 : 12,34 = 0,00567, δ a = 0,02 : 23,46 = 0,00085, δ b = 0,04 : 39,63 = После подстановки в формулу (3.22) получим δ V = 0,00582, что совпадает с предыдущим результатом. Пример 3.3. Сторона а треугольника определена по теореме синусов по значению стороны b и двум углам треугольника Аи В: Известно: b = 140,12 мм, А = о' А = 0,4'), Во' (В = Необходимо определить СКП стороны а. Решение. Вычисление стороны а производится по формуле sin = (Запишем члены подкоренного выражения для СКП параметра а- для аргумента b: (m b sin A / sin B ) 2 ; - для аргумента А (b m A cos A / ρ ' sin B где ρ ' = 3438 ′ (число минут в радиане для выражения угловой меры СКП угла в меру радианную- для аргумента В (b m B sin A cos B / ρ ' sin 2 Следовательно 2 2 2 sin cos sin sin cos sin sin ′ + ′ + = B B A b m B A b m B A m m B A b a ρ ρ (После подстановки значений аргументов получим а 0,096 м Как показывают данные расчетов, большее влияние на погрешность стороны а оказывает первый в записи член, определяемый погрешностью аргумента b. Двумя другими членами общего выражения для погрешности стороны а практически можно пренебречь. Однако следует иметь ввиду и то, что малое влияние второго и третьего членов подкоренного выражения обусловлено сравнительно малой погрешностью измерения углов по сравнению с погрешностью измерения стороны b. Следовательно, в рассмотренном случае углы можно измерять с большей погрешностью, чем это было выполнено по условиям задачи. Значение стороны а, вычисленное по формуле (3.23), равном. Относительная погрешность стороны а будет равна а = m a / а = 0,096 / 189,81 = 1:1977, те. практически она равна относительной погрешности измерения стороны b. |