Учебник Информатика. Базовый курс. Симонович С.В.. С. В. Симоновичаинформатикабазовый курс2е издание
 Скачать 17.96 Mb.
|
|
514 Глава Средства автоматизации научно-исследовательских работ Рис. 18.2. Панели инструментов программы для ввода формул • панель управления Graph (График) для построения графиков; • панель управления Matrix (Матрица) для ввода векторов и матриц и задания матричных операций; • панель управления Calculus (Исчисление) для задания операций, относящихся к математическому анализу; • панель управления Greek (Греческий алфавит) для ввода греческих букв (их можно также вводить с клавиатуры, если сразу после ввода соответствующего латин- ского символа нажимать сочетание клавиш CTRL+G, например — a, • панель управления Symbolic (Аналитические вычисления) для управления ана- литическими преобразованиями. Введенное выражение обычно вычисляют или присваивают переменной. Для вывода результата выражения используют знак вычисления, который выглядит как знак равенства и при помощи кнопки Evaluate Numerically (Вычислить выражение) на панели инструментов Evaluation (Вычисление). Знак присваивания изображается как а вводится при помощи кнопки Definition (Определить) на панели инструментов Evaluation (Вычисление). Слева от знака при- сваивания указывают имя переменной. Оно может содержать латинские и грече- Приемы работы с системой ские буквы, цифры, символы «'», и а также описательный индекс. Описа- тельный индекс вводится с помощью символа «.» и изображается как нижний ин- декс, но является частью имени переменной, например «Настоящие» индексы, определяющие отдельный элемент вектора или матрицы, задаются по-другому. Переменную, которой присвоено значение, можно использовать далее в документе в вычисляемых выражениях. Чтобы узнать значение переменной, следует исполь- зовать вычисления. В следующем примере вычислена площадь круга с радиусом 2 (использованы пере- менные и значение постоянной р определено в программе Mathcad по умолча- нию). r:=2 5=12.566 Ввод текста Текст, помещенный в рабочий лист, содержит комментарии и описания и предназна- чен для ознакомления, а не для использования в расчетах. Программа Mathcad определяет назначение текущего блока автоматически при первом нажатии кла- виши ПРОБЕЛ. Если введенный текст не может быть интерпретирован как формула, блок преобразуется в текстовый и последующие данные рассматриваются как текст. Создать текстовый блок без использования автоматических средств позволяет команда Insert • Text Region (Вставка • Текстовый блок). Иногда требуется встроить формулу внутрь текстового блока. Для этого служит команда Insert • Math Region (Вставка • Формула). Форматирование формул и текста Для форматирования формул и текста в программе Mathcad используется панель инструментов Formatting (Форматирование). С ее помощью можно индивидуально отформатировать любую формулу или текстовый блок, задав гарнитуру и размер шрифта, а также полужирное, курсивное или подчеркнутое начертание символов. В текстовых блоках можно также задавать тип выравнивания и применять марки- рованные и нумерованные списки. В качестве средств автоматизации используются стили оформления. Выбрать стиль оформления текстового блока или элемента формулы можно из списка Style (Стиль) на панели инструментов Formatting (Форматирование). Для формул и текстовых блоков применяются разные наборы стилей. Чтобы изменить стиль оформления формулы или создать новый стиль, использу- ется команда Format • Equation (Формат • Выражение). Изменение стандартных сти- лей Variables (Переменные) и Constants (Константы) влияет на отображение фор- мул по всему документу. Стиль оформления имени переменной учитывается при ее определении. Так, переменные х и х рассматриваются как различные и не взаи- мозаменяемы. При оформлении текстовых блоков можно использовать более набор стилей. Настройка стилей текстовых блоков производится при помощи команды Format • Style (Формат • Стиль). Глава Средства автоматизации научно-исследовательских работ Работа с матрицами Векторы и матрицы рассматриваются в программе Mathcad как одномерные и дву- мерные массивы данных. Число строк и столбцов матрицы задается в диалоговом окне Insert Matrix (Вставка матрицы), которое открывают командой Insert • Matrix (Вставка • Матрица). Вектор задается как матрица, имеющая один столбец. После щелчка на кнопке в формулу вставляется матрица, содержащая вместо элементов заполнители. Вместо каждого заполнителя надо вставить число, пере- менную или выражение. Для матриц определены следующие операции: сложение, умножение на число, перемножение и прочие. Допустимо использование матриц вместо скалярных выра- жений: в этом случае предполагается, что указанные действия должны быть приме- нены к элементу матрицы, и результат также представляется в виде мат- рицы. Например, выражение М + 3, где М — матрица, означает, что к каждому элементу матрицы прибавляется число 3. Если требуется явно указать необходи- мость поэлементного применения операции к матрице, используют знак векториза- ции, для ввода которого служит кнопка Vectorize (Векторизация) на панели инстру- ментов Matrix (Матрица). Например: 1 (1 (7 1 1 произведение матриц; | поэлементное произведение матриц с использованием векторизации. Для работы с элементами матрицы используют индексы элементов. Нумерация строк и столбцов матрицы начинается с нуля. Индекс элемента задается числом, переменной или выражением и отображается как нижний индекс. Он вводится после щелчка на кнопке Subscript (Индекс) на панели инструментов Matrix (Матрица). Пара индексов, определяющих элемент матрицы, разделяется запятой. Иногда (например, при построении графиков) требуется выделить вектор, представляю- щий собой столбец матрицы. Номер столбца матрицы отображается как верхний индекс, заключенный в угловые скобки, например Для его ввода использу- ется кнопка Matrix Column (Столбец) на панели инструментов Matrix (Матрица). Чтобы задать общую формулу элементов матрицы, типа := i + j, используют диапазоны. Диапазон фактически представляет собой вектор, содержащий ариф- метическую прогрессию, определенную первым, вторым и последним элементами. Чтобы задать диапазон, следует указать значение первого элемента, через запятую значение второго и через точку с запятой значение последнего элемента. Точка с запятой при задании диапазона отображается как две точки (..). Диапазон использовать как значение переменной, например х := Если разность прогрессии равна единице (то есть, элементы просто нумеруются), значение второго элемента и соответствующую запятую опускают. Например, чтобы сформировать по приведенной выше формуле матрицу размером 6x6, перед Приемы работы с системой 5 1 7 этой формулой надо указать i := 0..5 j := 0..5. При формировании матрицы путем присвоения значения ее элементам размеры матрицы можно не задавать заранее. Всем неопределенным элементам автоматически присваиваются нулевые значе- ния. Например, формула := 1 создает матрицу М размером 6x6, у которой все элементы, кроме расположенного в правом нижнем углу, равны 0. Стандартные и пользовательские функции Произвольные зависимости между входными и выходными параметрами задаются при помощи функций. Функции принимают набор параметров и возвращают значе- ние, скалярное или векторное (матричное). В формулах можно использовать стан- дартные встроенные функции, а также функции, определенные пользователем. Чтобы использовать функцию в выражении, надо определить значения входных параметров в скобках после имени функции. Имена простейших математических функций можно ввести с панели инструментов Calculator (Счет). Информацию о других функциях можно почерпнуть в справочной Вставить в выражение стандартную функцию можно при помощи команды Insert • Function (Вставка • В диалоговом окне Insert Function (Вставка функции) слева выбирается категория, к которой относится функция, а справа — конкретная функция. В ниж- ней части окна выдается информация о выбранной функции. При вводе функции через это диалоговое окно автоматически добавляются скобки и заполнители для значений параметров. Пользовательские функции должны быть сначала определены. Определение зада- ется при помощи оператора присваивания. левой части указывается имя пользо- вательской функции и, в скобках, формальные параметры — переменные, от которых она зависит. Справа от знака присваивания эти переменные должны использоваться в выражении. При использовании пользовательской функции в последующих фор- мулах ее имя вводят вручную. В диалоговом окне Insert Function (Вставка оно не отображается. Решение уравнений и систем Для численного поиска корней уравнения в Mathcad используется функ- ция root. Она служит для решения уравнений = 0, — выражение, корни которого нужно — неизвестное. Для поиска корней с помощью функции root надо присвоить искомой переменной начальное значение, а затем вычислить корень при вызова функции: f(x) — функция переменной х, используемой в качестве второго параметра. Функция root возвращает значение независимой переменной, обращающее функ- в 0. Например: = 1.895 Если уравнение имеет несколько (как в данном примере), то результат, выдаваемый функцией root, зависит от выбранного начального приближения. Глава Средства автоматизации научно-исследовательских работ Если надо решить систему уравнений (неравенств), используют так называемый блок решения, который начинается с ключевого given (дано) и заканчивается вызовом функции find (найти). Между ними располагают «логические утвержде- ния», задающие ограничения на значения искомых величин, иными словами, урав- нения и неравенства. Всем переменным, используемым для обозначения неизвес- тных величин, должны быть заранее присвоены начальные значения. Чтобы записать уравнение, в котором утверждается, что левая и правая части равны, используется знак логического равенства — кнопка Equal to (Равно) на панели инструментов Boolean (Логика). Другие знаки логических условий также можно найти на этой панели. Заканчивается блок вызовом функции find, у которой в качестве аргу- ментов должны быть перечислены искомые величины. Эта функция возвращает вектор, содержащий вычисленные значения неизвестных. Например: х := 0 у := О given Построение графиков Чтобы построить двумерный график в координатных осях X-Y, надо дать команду Insert • Graph • X-Y Plot (Вставка • График • Декартовы координаты). В области размеще- ния графика находятся заполнители для указания отображаемых выражений и диа- пазона изменения величин. Заполнитель у середины оси координат предназначен для переменной или выражения, отображаемого по этой оси. Обычно используют диапа- зон или вектор значений. Граничные значения по осям выбираются автоматически в соответствии с диапазоном изменения величины, но их можно задать и вручную. В одной графической области можно построить несколько графиков. Для этого надо у соответствующей оси перечислить несколько выражений через запятую. Разные кривые изображаются разным цветом, а для форматирования графика надо дважды щелкнуть на области графика. Для управления отображением построенных линий служит вкладка Traces (Линии) в открывшемся диалоговом окне. Текущий формат каждой линии приведен в списке, а под списком расположены элементы управления, позволяющие изменять формат. Поле Legend Label (Описание) задает описание линии, которое отображается только при сбросе флажка Hide Legend (Скрыть описание). Список Symbol (Символ) позволяет выбрать маркеры для отдельных точек, список Line (Тип линии) задает тип линии, список Color (Цвет) — цвет. Список (Тип) определяет способ связи отдельных точек, а список Weight (Толщина) — толщину линии. Точно так же можно построить и отформатировать график в полярных координа- тах. Для его построения надо дать команду Insert • Graph • Polar Plot (Вставка • Гра- фик • Полярные координаты). Приемы работы с системой 519 Для построения простейшего трехмерного графика, необходимо задать матрицу значений. Отобразить эту матрицу можно в виде поверхности — Insert • Graph • Surface Plot (Вставка • График • Поверхность), диаграммы — Insert • Graph • 3D Bar Plot (Вставка • График • Столбчатая диаграмма) или линий уровня — Insert • Graph • Contour Plot (Вставка • График • Линии уровня). Для отображения векторного поля при помощи команды • Graph • Vector Field Plot (Вставка • График • Поле векторов) значения матрицы должны быть комплек- сными. В этом случае в каждой точке графика отображается вектор с координатами, равными действительной и мнимой частям элемента матрицы. Во всех этих случаях после создания области графика необходимо указать вместо заполнителя имя мат- рицы, содержащей необходимые значения. Для построения параметрического точечного графика командой Insert • Graph • 3D Scatter Plot (Вставка • График • Точки в пространстве) необходимо задать три вектора с одинаковым числом элементов, которые соответствуют у- и 2-координатам точек, отображаемых на графике. В области графика три вектора указываются внут- ри скобок через запятую. Аналогичным образом можно постро- ить поверхность, заданную параметри- чески. Для этого надо задать три мат- рицы, содержащие, соответственно, у- и 2-координаты точек поверхности. Теперь надо дать команду построения поверхности Insert • Graph • Surface Plot (Вставка • График • Поверхность) и указать в области графика эти три мат- рицы в скобках и через запятую. Таким образом можно построить практичес- ки любую криволинейную поверх- ность (например, представленную на рис. 18.3), в том числе с самопересече- ниями. Диалоговое окно для форматирования трехмерных графиков также открыва- ют двойным щелчком на области гра- фика. Рис. 18.3. Пятикратно перекрученная замкнутая лента, заданная параметрически Аналитические вычисления С помощью аналитических вычислений находят аналитические или полные реше- ния уравнений и систем, а также проводят преобразования сложных выражений (например, упрощение). Иначе говоря, при таком подходе можно получить нечис- ловой результат. В программе Mathcad конкретные значения, присвоенные пере- менным, при этом игнорируются — переменные рассматриваются как неопреде- ленные параметры. Команды для выполнения аналитических вычислений в основном сосредоточены в меню Symbolics (Аналитические вычисления). 5 2 0 Глава Средства автоматизации научно-исследовательских работ Чтобы упростить выражение (или часть выражения), надо выбрать его при помощи уголкового курсора и дать команду Symbolics • Simplify (Аналитические вычисления- • Упростить). При этом выполняются арифметические действия, сокращаются общие множители и приводятся подобные члены, применяются тригонометричес- кие тождества, упрощаются выражения с радикалами, а также выражения, содер- жащие прямую и обратную функции (типа Некоторые действия по раскры- тию скобок и упрощению сложных тригонометрических выражений требуют применения команды Symbolics • Expand (Аналитические вычисления • Раскрыть). Команду Symbolics • Simplify (Аналитические вычисления • Упростить) применяют и в более сложных случаях. Например, с ее помощью можно: • вычислить предел числовой последовательности, заданной общим членом; • найти общую формулу для суммы членов числовой последовательности, за- данной общим членом; • вычислить производную данной функции; • найти первообразную данной функции или значение определенного интеграла. Другие возможности меню Symbolics (Аналитические вычисления) состоят в выпол- нении аналитических операций, ориентированных на переменную, использован- ную в выражении. Для этого надо выделить в выражении переменную и выбрать команду из меню Symbolics • Variable (Аналитические вычисления • Переменная). Команда Solve (Решить) ищет корни функции, заданной данным выражением, например, если выделить уголковым курсором переменную х в выражении + + с, то в результате применения команды Symbolics • Variable • Solve (Ана- литические вычисления • Переменная • Решить), будут найдены все корни: Другие возможности использования этого меню включают: • аналитическое дифференцирование и интегрирование: Symbolics • Variable • Differentiate (Аналитические вычисления • Переменная • Дифференцировать) и Symbolics • Variable • Integrate (Аналитические вычисления • Переменная • Инте- грировать); • замена переменной: Symbolics • Variable • Substitute (Аналитические вычисле- ния • Переменная • Подставить) — вместо переменной подставляется содержи- мое буфера обмена; • разложение в ряд Тейлора: Symbolics • Variable • Expand to Series (Аналитичес- кие вычисления • Переменная • Разложить в ряд); • представление дробно-рациональной функции в виде суммы простых дробей с линейными и квадратичными знаменателями: Symbolics • Variable • Convert to Partial Fraction (Аналитические вычисления • Переменная • Преобразовать в простые дроби). Практическое занятие Наконец, самым мощным инструментом аналитических вычислений является опе- ратор аналитического вычисления, который вводится с помощью кнопки Evaluate Symbolically (Вычислить аналитически) на панели инструментов Evaluation (Вычис- ление). Его можно, например, использовать для аналитического решения системы уравнений и неравенств. Блок решения задается точно так же, как при численном решении (хотя начальные значения переменных можно не задавать), а последняя формула блока должна выглядеть find(x, у...)®, где в скобках приведен список искомых величин, а далее следует знак аналитического вычисления, отображае- мый в виде стрелки, направленной вправо. Любое аналитическое вычисление можно применить с помощью ключевого слова. Для этого используют кнопку Keyword Evaluation (Вычисление с ключевым словом) на панели инструментов Evaluation (Вычисление). Ключевые слова вводятся через панель инструментов Symbolics (Аналитические вычисления). Они полностью охватывают возможности, заключенные в меню Symbolics (Аналитические вычис- ления), позволяя также задавать дополнительные параметры. Практическое занятие Упражнение Простые вычисления с использованием программы Задача. Найти ребро куба, равновеликого шару, площадь поверхности которого равна площади боковой поверхности прямого кругового конуса, у которого высо- та вдвое меньше, чем длина образующей. Объем этого конуса равен 1. Анализ. Основные геометрические формулы, используемые при расчете. Объем — Площадь боковой поверхности конуса — S = Соотношение в конусе между радиусом основания, высотой и длиной образую- щей — г 2 + К 1 = Площадь поверхности шара — 4nR 2 . 4 Объем шара — V=—nr . Объем куба — V= a . 1. Запустите программу Mathcad через Главное меню (Пуск • Программы • MathSoft Apps • Mathcad). 2. Откройте панель инструментов Calculator (Счет) щелчком на кнопке Calculator Toolbar (Панель инструментов Счет) на панели инструментов Math (Математи- ка) или с помощью команды View • Toolbars • Calculator (Вид • Панели инстру- ментов • Счет). 3. Для удобства расчета будем обозначать каждую из вычисляемых величин отдельной переменной. Объем конуса обозначим как и присвоим ему значе- ние 1. Оператор присваивания вводится символом «:» или кнопкой Definition 5 2 2 Глава Средства автоматизации научно-исследовательских работ (Определить) на панели инструментов Calculator (Счет). Итак, надо ввести В документе появится полноценный оператор присваивания. 4. Путем несложных преобразований получим, что радиус основания конуса можно вычислить по формуле i • Вводить эту формулу следует слева направо. Порядок ввода этой формулы следующий. Сначала введите знак корня произвольной степени: кнопка Nth Root (Корень данной степени) на панели инструментов Calculator (Счет) или комбинация клавиш CTRL+V Щелкните на черном квадратике, стоящем на ме- сте показателя степени, и введите цифру 3. Щелкните на квадратике, замеща- ющем подкоренное выражение, нажмите клавиши V*. Введите знак квадратно- го корня: кнопка Square Root (Квадратный корень) на панели инструментов Calculator (Счет) или \ — и цифру Прежде чем вводить знаменатель, дважды нажмите клавишу ПРОБЕЛ. Обратите внимание на синий уголок, кото- рый указывает на текущее выражение. Предполагается, что знак операции свя- зывает выбранное выражение со следующим. В данном случае это безразлично, но в целом этот прием позволяет вводить сложные формулы, избегая ручного ввода дополнительных скобок. Нажмите клавишу /. Чтобы ввести число можно воспользоваться комбинацией клавиш или соответствующей кнопкой на панели инструментов Calculator (Счет). На экране появится следующая надпись: r= 5. Введите формулы для вычисления длины образующей и площади боковой поверхности конуса: S Указание знака умножения между переменными обязательно, так как иначе программа Mathcad сочтет, что указана одна переменная с именем из несколь- ких букв. 6. Для вычисления радиуса шара R введите формулу R = 4 з 7. Для вычисления объема шара введите формулу . Использовать переменную второй раз не следует, так как теперь мы опре- деляем совершенно другой объем. 8. Заключительная формула W позволит получить окончательный резуль- тат. После этого снова имя переменной а и нажмите клавишу = или щелкните на кнопке Evaluate Expression (Вычислить выражение) на панели инст- Практическое рументов Calculator (Счет). После формулы появится знак равенства и вычис- ленный = 0.7102 Вычислять можно как действительные, так и комплексные выражения. Обозначение мнимой единицы (i) следует вводить непосредственно после числового коэффициента, который нельзя опускать, даже если он равен единице. 9. Вернитесь к самому первому выражению и отредактируйте его. Вместо значе- ния 1 присвойте переменной значение 8. Сразу же перейдите к последней вве- денной формуле и обратите внимание, что результат расчета сразу же стал отра- жать новые начальные данные. Мы познакомились с методикой простейших вычислений в программе Опи- санная техника позволяет использовать эту программу как «интеллектуальный каль- кулятор» для автоматического расчета по известным формулам. Особенностью про- граммы является возможность практически мгновенного перерасчета с другими начальными данными. Упражнение__Физические_вычисления_с_использованием_единиц_измерения__мин_Постановка_задачи.'>Упражнение Физические вычисления с использованием единиц измерения мин Постановка задачи. Теплоизолированный космический аппарат, находящийся на ор- бите Земли, имеет на борту приборы с электрической мощностью, которая может изменяться в ходе работы от = 75 Вт (дежурный режим) до = 200 Вт (се- анс С целью обеспечения пред- сказуемого теплового режима в тепло- изоляции сделано отверстие площадью на которое попадает поток солнечной энергии W= 1400 Вт/м 2 . Полученная энергия излучается аппаратом через это и дополнительное отверстие в теплоизо- ляции с площадью в режиме «черно- го тела». Каковы должны быть площади отверстий, если допустимый диапазон тем- ператур для оборудования, расположенного в аппарате, составляет Анализ задачи. Минимальная температура аппаратуры соответствует режиму минимального тепловыделения. В этом случае поступающая мощность = + Излучаемая мощность = + где — минимальная допустимая температура в градусах Кельвина. В условиях теплового баланса эти мощности должны быть равны. Режим максимального тепловыделения соответствует максимальной температуре аппаратуры. В этом случае + = стГ 24 + Используя два полученных уравнения, получаем: W 5 2 4 Глава Средства автоматизации научно-исследовательских работ 1. Запустите программу Mathcad. 2. Введите значения известных величин, присвоив их переменным с соответству- ющими именами. Вместо нижних индексов просто дополнитель- ную цифру в названии переменной. watt N2 := := (20 + Т2 := (30 + 3. Обозначения физических единиц присоединяйте к соответствующим значе- ниям через знак умножения. Если нужное обозначение неизвестно, исполь- зуйте команду Insert • Unit (Вставка • Единица измерения). Измеряемая величина выбирается в списке Dimension (Размерность), а нужная единица измерения — в списке Unit (Единица измерения). 4. Присвойте переменной значение постоянной Стефана-Больцмана м • Чтобы ввести греческую букву, используйте панель инструментов Greek (Гре- ческий алфавит) или введите соответствующую латинскую букву (в данном случае «5») и сразу же нажмите комбинацию клавиш Так как специ- альной единицы для размерности этой константы не существует, ее следует составить из стандартных единиц с помощью умножения и деления. 5. Введите полученные в ходе анализа формулы для вычисления площадей отвер- стий, присвоив полученные значения переменным 51 и 52. (N2 - N1)- 91 • . 6. Изменение значений параметров, заданных в условии задачи, приводит к авто- матическому перерасчету формул. В частности, исследуйте, изменяя значение переменной W, как изменяются требования к такому методу терморегуляции при удалении аппарата от Солнца и приближении к нему Вт W= 2700 на орбите Марса W= 500 7. Обратите внимание, что результат содержит единицы измерения в соответствии с системой единиц СИ. Используемая система единиц отображается в диало- говом окне Insert Unit (Вставка единиц измерения). 8. Чтобы изменить используемую систему единиц, дайте команду Math • Options (Математика • Параметры) и в открывшемся диалоговом окне Math Options (Параметры расчета) выберите вкладку Unit System (Система единиц). Выберите систему CGS и посмотрите, как изменились результаты (они теперь выража- ются в квадратных сантиметрах). Если, например, выбрать американскую сис- тему единиц (U.S.), то результат будет выражен в квадратных футах. Практическое занятие 525 Мы научились производить вычисления с использованием реальных размерных физи- ческих величин, а также производить преобразование данных из одной системы еди- ниц в другую. Это позволяет немедленно получать результат в наиболее удобной форме. Упражнение Векторы и матрицы Задача. Разложить вектор рицы 1 2 2 2 6 1 2 1 1 V= 1 1 1 мин по нормированным собственным векторам мат- Анализ. Первый этап решения задачи состоит в нахождении собственных значе- ний и собственных векторов данной матрицы. Затем необходимо найти вектор такой, что где S — матрица, столбцы которой представляют собой собст- венные вектора матрицы М. 1. Запустите программу Mathcad. 2. Создайте матрицу М. Начните запись а для ввода правой части нажмите комбинацию клавиш CTRL+M, воспользуйтесь коман- дой Insert • Matrix (Вставка • Матрица) или щелкните на кнопке Matrix or Vector (Матрица или вектор) на панели инструментов Matrix (Матрица). 3. В открывшемся диалоговом окне Insert Matrix (Вставка матрицы) укажите число строк и столбцов (по три) и щелкните на кнопке ОК. 4. Введите значения элементов матрицы в отведенные места. 5. Аналогичным образом сформируйте вектор V. Он будет представлять собой матрицу, имеющую только один столбец. 6. Собственные значения квадратной матрицы можно получить при помощи функ- ции eigenvals. Результатом ее работы вектор собственных значений, присвойте его переменной L. 7. Функция eigenvec позволяет получить собственный вектор, соответствующий данному собственному значению. Ей нужны два параметра: матрица, для кото- рой ищется собственный вектор, и собственное значение, которому он соответ- ствует. Чтобы записать собственные вектора в качестве столбцов матрицы S, надо присвоить вычисленное значение столбцу матрицы. Столбцы матрицы в программе Mathcad выбираются специальным верхним индексом, заключенным в угловые скобки. Чтобы ввести номер столбца, нажмите комбинацию клавиш CTRL+6 или щелкните на кнопке Matrix Column (Столбец) на панели инстру- ментов Matrix (Матрица), после чего введите номер нужного столбца матрицы. Будьте внимательны — столбцы и строки матрицы нумеруются начиная с нуля. 526 Глава Средства автоматизации научно-исследовательских работ 8. В правой части оператора присваивания надо указать собственное значение матрицы. Собственные значения являются элементами вектора L. Номер эле- мента указывается как нижний индекс. Для ввода нижнего индекса нажмите клавишу [ или воспользуйтесь кнопкой Subscript (Индекс) на панели инстру- ментов Matrix (Матрица). Итоговый оператор для первого собственного вектора будет выглядеть следующим образом: := Аналогично задайте операторы для второго и третьего собственных значений. 9. Для нахождения коэффициентов при собственных векторах в разложении необ- ходимо решить систему линейных уравнений. Ее удобно записать в матричной форме. Создайте вектор с тремя элементами. Величины этих элементов зна- чения не имеют. 10. Запишите ключевое слово given. Ниже запишите матричное уравнение Знак логического равенства вве- дите с помощью комбинации клавиш CTRL+=. 12. Найдите коэффициенты в разложении при помощи find. 0,836 0,334 0,148 Мы научились производить операции с векторами и матрицами, использовать соот- ветствующие функции, выделять столбцы матриц и отдельные элементы. Матричная запись часто позволяет представить задачу в более удобной форме. Упражнение Аналитические вычисления мин Задача 1. На приведенной схеме сопротивление RR является переменным. Опре- делить, как меняется ток между точками В в зависимости от величины этого сопротивления. А 18.4. Исследуемая электрическая схема Практическое занятие 527 Анализ. Перенумеровав сопротивления в указанном порядке и воспользовавшись законами Кирхгофа, получим систему уравнений, позволяющую найти величины Эту систему надо решить, не подставляя конкретных значений вместо параметров R, RR и Е, 1. Запустите 2. Введите ключевое слово given. 3. Введите уравнения системы, полученной в ходе анализа. Обозначьте неизвест- ные токи переменными /О, Фиксированное сопротивление R обо- значьте переменной Обратите внимание, что присваивать начальные зна- чения токов или задавать значения переменных RR и не требуется. 4. Введите функцию find, перечислив в качестве параметров неизвестные /О, Л, Затем введите оператор аналитического вычисления, который дит как стрелка, направленная вправо, и вводится комбинацией клавиш CTRL+. или кнопкой Evaluate Symbolically (Вычислить аналитически) на панели инстру- ментов Evaluation (Вычисление). 5. Щелкните за пределами данного и программа Mathcad произведет ана- литическое решение системы уравнений. Полученный результат позволяет провести полный анализ схемы. 5 2 8 Глава Средства автоматизации научно-исследовательских Задача 2. Найти все корни уравнения: + у 2 Анализ. Это уравнение четвертого порядка. Легко подобрать один корень {у = 1). Остающееся уравнение третьего порядка не имеет рациональных корней, так что поиск других корней этого уравнения — дело непростое. Неясно даже, сколько еще действительных корней имеет данное уравнение. Результаты численного решения зависят подбора начального приближения и поэтому не гарантируют отыскания всех корней уравнения. Мы же решим это уравнение аналитически. 6. Введите заданное уравнение. Чтобы раскрыть скобки, дайте команду Symbolics • Simplify (Аналитические вычисления • Упростить). 7. Выделите в полученном уравнении независимую переменную (в данном слу- и дайте команду Symbolics • Variable • Solve (Аналитические вычисления • Переменная • Решить). Программа Mathcad выдаст вектор, элементами которого являются корни дан- ного уравнения. 8. Полученный результат содержит сложные комплексные выражения, и его невозможно применить с пользой (все еще непонятно, являются ли корни дейст- или комплексными). Чтобы разделить действительную и мнимую части, выделите результат вычисления целиком и дайте команду Symbolics • Evaluate • Complex (Аналитические вычисления • Вычислить • В комплексном виде). Если программа Mathcad не справится с преобразованием всего набора корней целиком, выполните преобразование корней поочередно: дайте коман- ду Symbolics • Evaluate • Complex (Аналитические вычисления • Вычислить • В комплексном виде), поочередно выделив каждый из корней, записанных в комплексном виде. 9. Теперь полученное выражение надо упростить. Выделив его целиком, дайте команду Symbolics • Simplify (Аналитические вычисления • Упростить). Выраже- ние станет существенно проще, причем станет понятно, что все корни уравне- ния действительные (все мнимые компоненты сократятся). 10. Последний шаг — раскрытие скобок, в данном случае упрощение аргументов тригонометрических функций. Для этого примените команду Symbolics • Expand (Аналитические вычисления • Раскрыть). Полученная запись — наилучшее пред- ставление точного решения, которое можно получить с помощью программы Mathcad. Чтобы получить результат в числовом виде, достаточно ввести в конце выраже- ния (итогового или на любой из предыдущих стадий) команду вычисления Мы научились использовать программу Mathcad для выполнения аналитических вычис- лений. Это позволяет получать точные решения задач, содержащих переменные пара- метры, анализировать полученные результаты, а также получать полный набор решений для некоторых типов уравнений. Практическое занятие 529 Упражнение Анализ результатов испытаний мин Задача. К пружине последовательно подвешивали грузы массой 1, 2, 3, ..., 20 кг. В результате был получен список величин удлинения пружины (в миллиметрах). Определить основные статистические параметры полученного набора измерений. Рассчитать жесткость пружины и массу узла, использованного для крепления гру- зов к пружине, воспользовавшись методом наименьших Таблица измерений: Вес, кг Растяжение, 1 3,5 2 6,9 3 4 5 13,5 6 7 8 24,2 9 27,8 10 29,6 11 31,8 12 13 39,6 14 42,8 15 16 46,6 17 52,1 18 19 56,7 20 62,4 Анализ. Для решения этой задачи достаточно использовать стандартные средства статистических вычислений, имеющиеся в программе Mathcad, Теоретически, растяжение пружины определяется формулой k • х = + g. Если определить статистическими методами коэффициенты а • т + то получим: 1. Запустите программу Mathcad. 2. Введите таблицу данных, предназначенных для статистического анализа, как матрицу с двумя столбцами, первый из которых содержит веса грузов, а вто- рой — значения растяжения пружины. 3. Определите число точек в наборах данных с помощью функции rows. п := rows(data) n = 4. Вычислите среднее растяжение пружины в ходе эксперимента с помощью функ- ции mean. Y:= = 31.695 5 3 0 Глава Средства автоматизации научно-исследовательских работ 5. Вычислите медиану значений растяжения пружины при помощи функции median. median(Y) = 30.7 6. Вычислите среднеквадратичное отклонение и дисперсию величины растяже- ния пружины при помощи функции stdev. 17.39625 302.62947 7. Определите коэффициенты линейного уравнения являющегося наилучшим приближением для данных наборов данных. Функция slope позволяет вычис- лить коэффициент наклона прямой, а функция intercept — свободный член. = 0.07421 = 3.0115 8. Определите жесткость пружины. 9. Определите массу узла крепления. т 24,64 (г) 10. Сохраните созданный документ для использования в следующем упражнении. Мы научились применять функции, используемые для статистического анализа дан- ных. Программа содержит и другие функции аналогичного назначения, кото- рые можно использовать для интерполяции и экстраполяции данных, а также их сгла- живания. Т Упражнение 18.6. Построение графиков Задача. Используя результаты, полученные в предыдущем упражнении, постро- ить график, отображающий экспериментальные данные и аппроксимирующую зависимость. Построить другой график, отображающий величину отклонения экс- периментальных значений от аппроксимирующей прямой. Анализ. Для графика можно использовать функцию, заданную набором данных или формулой. Формулы для функций, полученных в результате проде- ланных расчетов, необходимо определить, прежде чем их можно будет использо- вать при построении графика. 1. Запустите программу Mathcad. 2. Загрузите документ, созданный в предыдущем упражнении. 3. Переместите точку ввода в нижнюю часть документа. 4. Запишите формулу функции для определения точек, лежащих на аппроксимирующей прямой. Коэффициенты соответствующего уравнения были получены в предыдущем упражнении. + Практическое занятие 5. Нажмите клавишу @, щелкните на кнопке X-Y Plot (Декартовы координаты) на панели Graph (График) или дайте команду Insert • Graph • X-Y Plot (Вставка • График • Декартовы координаты). В документе появится область для создания графика. 6. Вместо заполнителя в нижней части графика укажите в качестве независимой переменной первый столбец матрицы data или X). 7. Вместо заполнителя слева от графика укажите, что по вертикальной оси должны откладываться значения из второго столбца матрицы data и определенная выше линейная функция В качестве разделителя используется запятая. Диапа- зон значений для осей координат выбирается программой автомати- чески. 8. Чтобы изменить вид автоматически построенного графика, дважды щелкните внутри Откроется диалоговое окно Formatting Currently Selected X-Y Plot (Форматирование графика в декартовых Первая запись в списке на вкладке Traces (Кривые) соответствует первой отображенной кривой. Для изменения записи используются поля под списком.\ 18.5. Задание способа отображения линий графика 9. Под столбцом Legend Label (Подпись) введите название графика. 10. В раскрывающемся списке под столбцом Symbol (Маркер) способ обозначения для отдельных точек. Под столбцом (Вид линии) укажите, что необходимо пометить отдельные точки (points), а не провести непрерывную линию. Выберите в списке вторую кривую и настройте ее отображение по своему вкусу. 13. Установите флажок Hide Arguments (Скрыть параметры), чтобы не отображать названия осей. 5 3 2 Глава Средства автоматизации научно-исследовательских работ 14. Сбросьте флажок Hide Legend (Скрыть подписи), чтобы включить отображение под графиком заданных подписей кривых. 15. В поле Title (Заголовок) на вкладке Labels (Надписи) задайте название графика и включите режим его отображения: флажок Show Title (Показать заголовок). 16. Постройте график, на котором отображалась бы величина отклонения экспе- риментальных точек от линии приближения + Отформатируйте его, используя те же средства, что и в предыдущем случае. Заголовок и подписи, использующие русские буквы, могут отображаться неправильно. Коррекцию обеспечивает выбор шрифта, правильно воспроизводящего кириллицу. Дайте команду Format • Equation (Формат • Выражение), в раскрывающемся списке Style Name (Имя стиля) выберите пункт (Переменные) и щелкните на кнопке Modify (Изменить). Для задания шрифта используйте со списком Шрифт. Упражнение 18.7. Построение трехмерных графиков 30 мин Задача. Изобразить на графике приблизительную форму электронных облаков в атомах. Анализ. По современным представлениям, электронные уровни в атоме определя- ются четырьмя квантовыми числами. Форма электронного облака определяется двумя из этих чисел: • число / определяет тип орбитали (значения 0-3 соответствуют s-, p-, d- и /- орбиталям); • число т определяет магнитный момент электрона и может изменяться в диа- пазоне -/ /. При форма электронного облака определяется на основе многочленов Лежан- дра первого рода: 1 = • —- -1), где — степень многочлена. 2/+1 В этом случае - Параметрическое задание соответствующей поверхности имеет следующий вид: 9 9 ф Углы ф изменяются в диапазоне от до 2л. 1. Запустите программу Mathcad. 2. Определите переменную /, которая укажет тип орбитали. 3. Построение поверхности будем производить по точкам. Задайте два диапазона, которые будут определять изменение параметров 9, ф, задающих поверхность. Практическое занятие 533 Линейное приближение О 5 . 10 +++ Данные метода наименьших квадратов 20 Рис. 18.6. График экспериментальных точек и аппроксимирующей прямой Удобно определить границы диапазона в целых числах (через точку с запятой, на экране изображаются две точки), а затем произвести перемасштабирование на отрезок [0; 2-Я 100 ' 100 4. Определите двумерные матрицы, определяющие значения координат х, у z зави- симости от значения параметров. Используйте названия переменных Х0, 20. 1 5. Дайте команду Insert • Graph • Surface Plot (Вставка • График • Поверхность) или воспользуйтесь кнопкой Surface Plot (Поверхность) на панели инструментов Graph (График). 534 Глава Средства автоматизации научно-исследовательских работ . 6. В появившейся области графика вместо заполнителя укажите имена отобра- жаемых матриц через запятую, заключив все их в скобки: 7. Чтобы изменить формат построенного графика, дважды щелкните на его обла- сти. Откроется диалоговое окно 3-D Plot Format 8. На вкладке General (Общие) установите флажок Equal Scales (Равный масш- таб), чтобы обеспечить одинаковый масштаб по осям координат. 9. На вкладке Appearance (Оформление) установите переключатель Fill Surface (Заливка поверхности), чтобы обеспечить заливку построенной поверхности. 10. На вкладке Lighting (Подсветка) включите режим освещения поверхности. Уста- новите флажок Enable Lighting (Включить подсветку), отключите все источники света, кроме первого. 11. На панели Light Location (Размещение источника) задайте координаты источ- ника света. Используйте кнопку Применить, чтобы сразу видеть последствия сделанных настроек. По окончании настройки закройте диалоговое окно щелч- ком на кнопке ОК. Путем протягивания мыши в области графика измените направление осей коор- динат, чтобы изображение было видно наиболее отчетливо. 13. Изменяя значение /, можно увидеть форму электронных облаков для разных орбиталей, в том числе и не встречающихся в Мы научились строить трехмерные графики с изображением объемных поверхностей, заданных параметрически. Это фак- тически означает умение изобра- жать любые фигуры, которые могут потребоваться в ходе практической работы. Упражнение 18.8. Решение дифференциальных уравнений Задача. Найти функцию удов- летворяющую дифференциальному dy уравнению —— + cosx имею- dx щую значение 0 при х - 0 . Анализ. Это простое дифференци- альное уравнение допускает точное аналитическое решение. В данном Рис. 18.7. Трехмерное изображение электронной упражнении предполагается исполь- f-орбитали зование стандартной функции программы Mathcad, осуществляющей численное решение данного уравнения. Результат вычислений можно после этого сравнить с точным решением. 1. Запустите программу Mathcad. Практическое занятие 535 2. Задайте начальное значение функции как элемент вектора у, размерность кото- рого соответствует числу решаемых уравнений (в данном случае единице): := 0. 3. Создайте функцию Т(х, у), которая вычисляет значение производной при задан- ных значениях независимой переменной и неизвестной функции: Т(х,у) := + 4. Определите начальное (точка 0) и конечное значение отрезка интегрирования. а 0, Ъ 5. Укажите число шагов интегрирования. =20 6. Вычислите численное решение уравнения при помощи функции rkfixed. Результат вычислений — матрица Z с двумя столбцами, первый из содержит значения независимой переменной, а второй — соответствующие значения функции. 7. Постройте график полученного решения. 8. Определите аналитическое решение данного уравнения при тех же начальных условиях. 9. Нанесите аналитическую кривую на тот же график и сравните поведение чис- ленного и точного решения. Рис. 18.8. Графики численного и точного решения дифференциального уравнения 5 3 6 Глава Средства автоматизации научно-исследовательских работ 10. Измените число шагов, на которые делится отрезок интегрирования, и иссле- дуйте, как изменяется результат расчета при уменьшении и увеличении этого параметра. Мы научились численно решать дифференциальные уравнения первого порядка с помощью программы Использованный метод без изменений переносится на системы, содержащие два или большее число дифференциальных уравнений. Увели- чение величины шага интегрирования ускоряет получение результата, но снижает его точность. При слишком большой величине шага результат расчетов может вообще не соответствовать реальному решению. Размещение собственных материалов в Интернете включает два этапа: подготовку материалов и их публикацию. Подготовка материалов состоит в создании докумен- тов, имеющих формат, принятый в Интернете, то есть написанных на языке HTML. Публикация материалов, то есть открытие к ним доступа, осуще- ствляется после решения организационных вопросов, связанных с получением дискового пространства на для их размещения. Создание Автономные HTML Markup Language — язык разметки гипертекста). Гипертекст, то есть расширенный текст, включает дополнительные элементы: иллюстрации, ссылки, вставные объекты. понимается использование специальных кодов, легко отделяемых от смыслового содержания документа и используемых для реализации гипертекста. Применение этих кодов подчиняется строгим правилам, определяемым HTML. Особенность описания документа средствами языка HTML связана с принципиаль- ной невозможностью достижения абсолютной точности воспроизведения исход- ного документа. Предполагается, что документ будет широко доступен в Интернете, и поэтому неизвестно, как будет организовано его воспроизведение. Документ может быть представлен на графическом экране, выведен в чисто текстовом виде или просто «прочитан» программой синтеза речи. HTML во всех этих случаях должна быть принята во внимание. Поэтому язык HTML предназначен не для фор- матирования документа, а для его функциональной разметки. Например, документы обычно начинаются с заголовков. Свойство части документа «быть заголовком» — это не особенность форматирования документа, а характеристика его содержания. Конкретное средство отображения документа (браузер) выбирает свой способ пред- ставления части документа, описанной как заголовок. Современная версия HTML 4.0 может в настоящий момент рассматриваться как «окончательная» редакция языка HTML, содержащая все необходимое для функ- циональной разметки документа. Недостаток оформительских средств и средств 5 3 8 19. Публикация Web-документов обеспечения интерактивности восполняется внешними по отношению к HTML средствами, такими как списки стиля и динамические сценарии. Многие выполняют автоматическую генерацию на основе содержания некото- рой базы данных и запроса пользователя. Подобные элементы стали стандартными компонентами современных Web-страниц, но лежат за пределами данного пособия. Управляющие конструкции языка HTML называются тегами и вставляются непо- в текст документа. Все теги заключаются в угловые скобки <...>. Сразу после открывающей скобки помещается ключевое слово, определяющее тег, напри- мер . Теги HTML бывают парными и непарными. Непарные теги оказывают воздействие на весь документ или определяют разовый эффект в месте своего появ- ления. При использовании парных тегов в документ добавляются открывающий и ). Закрытие парных тегов выполняется чтобы соблюдались правила вложения.закрывающий теги, которые воздействуют на часть документа, заключенную между ними. Закрывающий тег отличается от открывающего наличием символа (косая черта) перед ключевым словом ( этот текст воздействуют Эффект применения тега может видоизменяться путем добавления атрибутов. В парных тегах атрибуты добавляются только к открывающему тегу. Атрибуты представляют собой дополнительные ключевые слова, отделяемые от ключевого слова, определяющего тег, и от других атрибутов пробелами и размещаемые до завершающего тег символа «>». Способ применения некоторых атрибутов требует указания значения атрибута. Значение атрибута отделяется от ключевого слова атрибута символом «=» (знак равенства) и заключается в кавычки. <Н1 Определение HTML как языка разметки основывается на том, что при удалении из документа всех тегов получается текстовый документ, совершенно эквивалент- ный по содержанию исходному гипертекстовому документу. Таким образом, при отображении документа HTML сами теги не отображаются, но влияют на способ отображения остальной части документа. Если говорить о создании документов HTML, то можно представить себе два спо- соба их формирования. Первый состоит в разметке существующего (или создава- емого) документа вручную. При этом автор или редактор добавляет в документ теги разметки. Эту работу можно выполнять в текстовом редакторе HTML, имеющем специальные элементы управления для упрощения ввода тегов. В обоих этих случаях работа ведется средствами языка HTML, и человек, выпол- няющий эту работу, должен знать и уметь применять этот язык. Принципы иного подхода можно понять на основе изучения работы текстовых про- цессоров. Информацию о форматировании документа можно рассматривать как «разметку», добавляемую в форматируемый документ. Однако для использования текстового процессора не требуется знаний о формате документа и «языке разметки»: изменения, отображаемые на экране, вносятся в документ автоматически. Такой прин- цип соответствия экранного изображения реальному получил название WYSIWYG (от английского What You See Is What You Get — Что видите, то и получаете). Применение языка HTML 5 3 9 В редактора WYSIWYG для языка HTML можно использовать текстовый процессор или входящую в состав Microsoft Office FrontPage. Существуют и другие программы того же самого назначения. Работа вручную позволяет создавать более универсальные, более качественные и более разнообразные документы. Второй способ проще освоить, так как он не требует знания языка HTML. Однако в этом случае используются средства форматирования вместо средств описания, что может иногда приводить к нежелательным последствиям. При подготовке крупных Web-узлов, содержащих десятки, а то и сотни ниц, та или иная автоматизация работы необходима. Как правило, в таких случаях используют комбинированный подход: «рядовые» страницы готовят с помощью автоматизированных средств, а в особо сложных или в особо важных случаях задают оформление вручную. Процесс создания сродни программированию и так же подвержен ошибкам. Независимо от того, каким способом создается документ, следует регу- лярно проверять его соответствие замыслу, просматривая его в различных браузе- рах. Для художественной оценки получающейся страницы следует обратиться к не- зависимому мнению. Применение языка HTML Структура документа HTML Все документы HTML имеют одну и ту же структуру, определяемую фиксирован- ным тегов структуры. Документ HTML всегда должен начинаться с тега |