Самарский государственный аэрокосмический университет имени С. П. Королева (национальный исследовательский университет) Межвузовская кафедра космических исследований
 Скачать 2.46 Mb.
|
|
2. Невозмущенное движение космического аппарата Рассматривается движение летательного аппарата как материальной точки в поле тяготения одного небесного тела (Земли), создающего центральное поле притяжения. Принимаются следующие допущения: - притягивающее тело имеет сферическую форму и сферическое распределение плотности (рис.12); - масса ЛА ничтожно мала по сравнению с массой Земли (ЛА не оказывает влияния на движение Земли); - пренебрегается действием возмущающих сил: гравитационными возмущениями, сопротивлением воздуха, силами светового давления, электромагнитными силами. - применяется сферическая система координат Рис.12. Модель сферической Земли 2.1. Уравнение движения космического аппарата в поле центральной силы Запишем уравнение движения тела в центральном поле притяжения r G dt V d m ; r r m r r r Mm G r 3 2 , где γ – универсальная постоянная тяготения, μ – гравитационный параметр Земли, r r g Г 3 , - вектор ускорения притяжения. Дифференциальное уравнение движения ЛА в векторной форме 0 3 r r M dt V d где 5 10 98602 , 3 M км 3 /с 2 Дифференциальные уравнения движения в проекциях на оси координат инерциальной системы координат: 0 0 0 3 3 3 z r z y r y x r x где 6 1 3 6 1 2 6 1 1 ,..., , ,..., , ,..., , C C t f z C C t f y C C t f x - называются первыми интегралами; 6 1 6 6 1 5 6 1 4 ,..., , ,..., , ,..., , C C t f z C C t f y C C t f x - называются вторыми интегралами. Проинтегрировав дифференциальные уравнения в векторной форме можно получить три интеграла. 2.2 Основные интегралы уравнений движения Интеграл энергии Умножим скалярно векторное дифференциальное уравнение на вектор скорости 0 3 dt r d r r dt V d V Учитывая , что 2 2 1 2 1 2 2 2 V dt d dt dV V dt dV dt V d dt V d V dt dr r dt r d r , r dt d dt dr r r 3 0 2 2 r V dt d , выполняем интегрирование и получаем 2 2 2 h r V , где h - константа. h r V 2 2 - называется интегралом энергии Первое слагаемое выражения представляет собой кинетическую энергию единицы массы тела, второе слагаемое- потенциальную энергию. Таким образом, интеграл энергии выражает закон сохранения полной механической энергии в центральном поле притяжения: сумма кинетической и потенциальной энергии единицы массы тела в течение всего времени его движения остается постоянной. Постоянная интеграла энергии h находится из начальных условий: t = 0, r = r 0 , V = V 0 => 0 2 0 2 r V h В зависимости от знака постоянной интеграла энергии орбита может быть замкнутой и незамкнутой. Так как 0 2 2 h r V , то при h ≥ 0 – орбита разомкнута, при h < 0: 0 2 h r , h r 2 - орбита замкнута. Интеграл площадей Умножим векторно слева векторное дифференциальное уравнение движения на радиус-вектор r : 0 3 r r r dt V d r dt V d r V dt r d V r dt d 0 0 V r dt d Проинтегрировав полученное выражение находим в векторной форме интеграл площадей C V r Интеграл площадей выражает закон сохранения момента количества движения в центральном поле притяжения. Найдем величину векторной константы С интеграла площадей. В скалярной форме интеграл площадей имеет вид (рис. sin cos r V r V C , где θ-угол наклона вектора скорости к местному горизонту. cos r V C - скалярная форма интеграла площадей. Модуль константы интеграла площадей находится через начальные условия: t = t 0 , r = r 0 , V = V 0 , θ = θ 0 0 0 0 cos V r C Рис.13 Графическая интерпретация интеграла площадей Запишем интеграл площадей в координатной форме: z y x z y x k j i V r 0z) на C константы (проекция C y x - y x 0y) на C константы (проекция 0x) на C константы (проекция 3 2 1 C z x x z C z y z y - интеграл площадей в координатной форме. Умножив интеграл площадей на dt ,получим dt C dt V r Откуда следует dt C d 2 dt d C 2 - второй закон Кеплера, который гласит: в центральном поле притяжения площадь, ометаемая радиусом-вектором движущейся точки за единицу времени, остается постоянной. Из интеграла площадей также следует, что в центральном поле притяжения движение ЛА происходит в одной и той же плоскости (два вектора r и V образуют неизменную плоскость движения). Интеграл Лапласа Умножим векторно справа векторное дифференциальное уравнение движения на векторную константу интеграла площадей 0 3 dt r d r r r C dt V d Тогда после элементарных преобразований C V dt d C dt V d r r dt d dt r d r r dt dr r r r dt r d dt r d r r r dt r d r r r 1 1 2 3 3 0 r r C V dt d Получаем выражение, которое называется интегралом Лапласа в векторной форме f r r C V ) ( где f - векторная постоянная интеграла Лапласа (рис 14). Рис.14 Графическое изображение интеграла Лапласа Из интеграла Лапласа вытекает важное свойство движения в центральном поле притяжения: в плоскости движения существует некоторое неизменное направление, определяемое вектором Лапласа. Линия, проходящая через притягивающий центр параллельно вектору Лапласа, называется осью апсид и принимается за направление отсчета углового движения тела (угол истинной аномалии ν). Так как 3 2 1 3 2 1 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) i j k V C x y z y C z C i z C x C j x C y C k C C C , то интеграл Лапласа в скалярной форме имеет вид 3 1 2 2 3 3 1 2 3 f z r C y C x f y r C x C z f x r C z C y Вектор f перпендикулярен вектору C , отсюда следует, что существует связь между константами найденных интегралов 3 3 2 2 1 1 0 C f C f C f C f 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; 2 2 2 ( ) f f V C r V C r V C r r V C C r V C r r r f V C C C V r r Уравнение связи между величиной константы Лапласа и величиной константы интеграла площадей и энергии h C f 2 2 2 Так как между константами интегралов существует два соотношения, то из семи полученных скалярных интегралов независимыми являются только пять. 2.3 Уравнения орбиты и скорость в полярных координатах Умножим векторно слева интеграл Лапласа на радиус-вектор r c r r r C V r r r C V r f 2 2 cos r f r f cos 2 r f r c Тогда получаем уравнение орбиты в полярных координатах cos 1 cos 1 cos 2 2 e p f c f c r где использованы следующие обозначения: 2 c p - фокальный параметр (характеризует геометрический размер орбиты); f e - эксцентриситет (характеризует форму орбиты). Этот результат отражает первый закон Кеплера: движение тела в центральном гравитационном поле совершается по коническому сечению, один из фокусов которого находится в притягивающем центре , а главная фокальная ось совпадает с направлением вектора Лапласа. Существует следующая классификация орбит в зависимости от величины эксцентриситета: e = 0 – орбита – окружность; 0 < e < 1 – орбита – эллипс; e = 1 – орбита – парабола); e > 1 – орбита – гипербола. Найдем проекции скорости движения в полярных координатах (рис. Рис.15. Скорость в полярных координатах dt d d dr dt dr V r - радиальная составляющая скорости - проекция вектора скорости на направление радиус- вектора; cos V dt d r V n - трансверсальная составляющая скорости - проекция вектора на направление , перпендикулярное радиусу - вектору. cos n n c C r V r V V r r C dt d r 2 r C dt d Отсюда sin cos 1 cos 1 sin 2 2 2 e p p e c e p V r cos 1 cos 1 cos 1 2 e p p e p e p V n cos 2 1 2 2 2 e p V V V n r Вышеприведенные выражения используются для решения задач , связанных с наблюдением за движением спутников и с измерением параметров орбит с поверхности Земли 2.4 Движение по эллиптическим орбитам Геометрия эллиптической орбиты Эллиптические орбиты самые распространенные в природе (рис. 16) Рис.16. Движение космического аппарата по эллиптической орбите Уравнение эллиптической орбиты 1 2 2 2 2 b y a x -. 0 < e <1, cos 1 e p r Основные соотношения, используемые при расчете геометрических параметров эллиптической орбиты: а) e, p – заданы, тогда e p r 1 , e p r 1 2 1 1 1 2 1 2 e p e p e p r r a ae p pe e p e p r r c 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 e p e e p e a c a b a c e - эксцентриситет эллиптической орбиты б) r r , - заданы, тогда H R r , H R r r e r p 1 r e r p 1 r r b 2 r r r r p 2 - фокальный параметр эллиптической орбиты r r r r e - эксцентриситет эллиптической орбиты Интеграл энергии для эллиптической орбиты. h r V 2 2 h C f 2 2 2 , p C 2 h C e 2 2 2 1 h e a e 2 2 2 1 1 Выразим константу интеграла энергии через величину большой полуоси: a h a e V эл 2 2 a r r V эп 2 Время движения по эллиптической орбите Определим связь времени движения с положением тела на эллиптической орбите. ? f t Учитывая, что cos , n d V V r dt найдем 2 , r dt d p Тогда в результате интегрирования находим 0 2 1 d r c t τ – время прохождения через перицентр. Введем в рассмотрение угол эксцентрической аномалии Е (рис.17). Рис.17 Угол эксцентрической аномалии Соответствие между углами: ν → Е; Е = 0 при ν = 0; Е < 90º при ν = 90º; Е = 180º при ν = 180º. Выразим координаты тела в системе отсчета, связанной с центром эллипса E a X cos , E e a a E a b a x b Y sin 1 cos 1 1 2 2 2 2 2 2 Тогда в результате преобразований a E a c X x cos E e a Y y sin 1 2 E b e E a y x r 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 cos Находим выражение для уравнения орбиты через угол эксцентрической аномалии E e a r cos 1 Выражая угол истинной аномалии через угол эксцентрической аномалии, E e E e r y cos 1 sin 1 sin 2 E e a e E r x cos 1 cos cos в результате преобразований dE E e E e E E e d d 2 2 cos 1 sin cos cos 1 1 cos sin 0 2 1 d r c t 2 2 2 cos 1 E e a r E e E e cos 1 sin 1 sin 2 E re e E cos cos cos E e dE e d cos 1 1 2 E e E a E e dE E e p e a t E sin cos 1 cos 1 1 2 3 0 2 2 2 находится искомое соотношение для определения времени полета (шестой интеграл), которое называется уравнением Кеплера E e E a t sin 2 3 Окончательный вид выражения связи углов истинной и эксцентрической аномалий E e e E cos 1 cos 1 cos 1 E e E e cos 1 cos 1 1 cos 1 получается разделив вышеприведенные соотношения друг на друга 2 1 1 2 2 2 E tg e e tg 2 1 1 2 tg e e E tg Из уравнения Кеплера следует формула для определения периода обращения по эллиптической орбите 2 3 2 a T Из этого выражения легко получается тритий закон Кеплера, согласно которому квадраты периодов обращения относятся как кубы их больших полуосей 3 2 3 1 2 2 2 1 a a T T Для прогнозирования движения формула Кеплера представляется в виде трансцендентного уравнения M E e E sin , где t a M 3 |